高中数学幂函数、零点与函数的应用.板块一.幂函数.学生版8347.pdf

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1、 题型一：幂函数的定义【例1】下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A3xy B3 xy C32xy D13 xy【考点】幂函数的定义【难度】1 星 【题型】选择【关键词】无【解析】形如(01)xyaaa且的函数叫做幂函数，答案为 B【答案】B 【例2】11函数yx32的定义域是 .【考点】幂函数的定义【难度】1 星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】(,)0 【例3】如果幂函数()f xx的图象经过点2(2,)2，则(4)f的值等于（）.A.16 B.2 C.116 D.12【考点】幂函数的定义【难度】1 星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D 【例4】幂函数()yf x的图象过

2、点1(4,)2，则(8)f的值为 .典例分析 板块一.幂函数 【考点】幂函数的定义【难度】1 星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】24 【例5】下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（）.A.12yx B.4yx C.2yx D.13yx【考点】幂函数的定义【难度】1 星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B 【例6】下列命题中正确的是 （）A当0时函数xy 的图象是一条直线 B幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C若幂函数xy 是奇函数，则xy 是定义域上的增函数 D幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义【难度】2 星 【题型】选择【关键词】无【

3、解析】A 错，当0时函数yx的图象是一条直线（去掉点（0，1）；B 错，如幂函数1yx的图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1yx在定义域上不是增函数；D 正确，当0 x 时，0 x【答案】D 【例7】函数2221(1)mmymmx是幂函数，求m的值.【考点】幂函数的定义【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】幂函数需要保证系数为 1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到 关于 m 的等式和不等式，从而解出 m 的值.2221(1)mmymmx是幂函数，函数可以写成如下形式ayx(a是有理数)211mm，解得121,2mm 当11m 时，211212mmQ 22m 时，222

4、211mmQ m的值域为-1 或 2.【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a是有理数.【答案】-1 或 2 【例8】求函数1302(3)yxxx的定义域.【考点】幂函数的定义【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为 0、被开方数大于等于 0.使函数有意义，则x必须满足0030 xxx，解得：0 x 且3x 即函数的定义域为|0,3x xx且.【答案】|0,3x xx且 【例9】函数1224(42)(1)ymxxmmmx的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（）(512)，(51)，(2 2)

5、，(1515)，【考点】幂函数的定义【难度】2 星 【题型】选择【关键词】无【解析】要使函数1224(42)(1)ymxxmmmx的定义域是全体实数，可转化为2420mxxm对一切实数都成立，即0m 且244(2)0m m 解得51m 故选（）【答案】【例10】讨论幂函数ayx(a 为有理数)的定义域.【考点】幂函数的定义【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】(1)若*aN，则xR，这是函数的定义域为R.(2)若a负整数 0，则(,0)(0,)x，这时函数的定义域是(,0)(0,)(3)若nam*(,)m nNm n且互质，则：m是偶数，xR，这是函数的定义域是R；m是奇数，xR，这

6、时函数的定义域为R(4)若nam*(,)m nNm n且互质，则：m是偶数，xR，这是函数的定义域是R；m是奇数，(,0)(0,)x，这时函数的定义域是(,0)(0,).【答案】(1)若*aN，则xR，这是函数的定义域为R.(2)若a负整数 0，则(,0)(0,)x，这时函数的定义域是(,0)(0,)(3)若nam*(,)m nNm n且互质，则：m是偶数，xR，这是函数的定义域是R；m是奇数，xR，这时函数的定义域为R(4)若nam*(,)m nNm n且互质，则：m是偶数，xR，这是函数的定义域是R；m是奇数，(,0)(0,)x，这时函数的定义域是(,0)(0,).【例11】已知幂函数6(

7、)myxmZ与2()myxmZ的图象都与x、y轴都没有公共点，且2()myxmZ的图象关于 y 轴对称，求m的值【考点】幂函数的定义【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无【解析】幂函数图象与x、y轴都没有公共点，6020mm，解得26m.又 2()myxmZ的图象关于 y 轴对称，2m为偶数，即得4m.【答案】4m 【例12】幂函数27 3235()(1)ttf xttx 是偶函数，且在(0,)上为增函数，求函数解析式.【考点】幂函数的定义【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】()f x是幂函数，311tt ，解得1,10t 或.当0t 时，75()f xx是奇函数，不合题意；当

8、1t 时；25()f xx是偶函数，在(0,)上为增函数；当1t 时；85()f xx是偶函数，在(0,)上为增函数.所以，25()f xx或85()f xx.【答案】25()f xx或85()f xx.【例13】已知幂函数223()()mmf xxmZ 的图形与x轴对称，y轴无交点，且关于y轴对称，试确定f x()的解析式.【考点】幂函数的定义【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】由22230232mmmmn nNmZ 得1 13m ，1m 和3时解析式为 0f xx，1m 是解析式为 4f xx【答案】4f xx 题型二：幂函数的性质与应用【例14】下列函数在区间(0,3)上是增

9、函数的是（）.A.1yx B.12yx C.1()3xy D.2215yxx【考点】幂函数的性质与应用【难度】1 星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B 【例15】下列函数中既是偶函数又是(,0)上是增函数的是（）A43yx B32yx C2yx D14yx【考点】幂函数的性质与应用【难度】1 星 【题型】选择【关键词】无【解析】A、D 中的函数为偶函数，但 A 中函数在(,0)为减函数【答案】C 【例16】942aaxy是偶函数，且在),0(是减函数，则整数a的值是 .【考点】幂函数的性质与应用【难度】1 星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】5；【例17】比较下列各组中两个值

10、大小（1）6110.6与6110.7（2）5533(0.88)(0.89).与【考点】幂函数的性质与应用【难度】1 星 【题型】解答【关键词】无【解析】（1）函数611yx在(0,)上是增函数且00.60.7 6611110.60.7 （2）函数53yx在(0,)上增函数且89.088.00 55330.880.89 55330.880.89，即5533(0.88)(0.89).【答案】（1）6611110.60.7（2）5533(0.88)(0.89).【例18】幂函数(1)knmyx（,*,m n kNm n互质）图象在一、二象限，不过原点，则nmk,的奇偶性为 .【考点】幂函数的性质与应

11、用【难度】2 星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】km,为奇数，n是偶数；【例19】求证：函数3xy 在 R 上为奇函数且为增函数.【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】显然)()()(33xfxxxf，奇函数；令21xx，则)()()(22212121323121xxxxxxxxxfxf，其中，显然021 xx，222121xxxx=2222143)21(xxx，由于0)21(221xx，04322x，且不能同时为0，否则021 xx，故043)21(22221xxx.从而0)()(21xfxf.所以该函数为增函数.【例20】设120.7a

12、，120.8b，c3log 0.7，则（）.A.cba B.cab C.abc D.ba,a，所以aaa，从而()aaaaa.比较aa与()aaa的大小，也可以将它们看成底数相同(都是 a)的两个幂，于是可以利用指数函数,01xaybbaa是减函数，由于 1a，得到aaa.由于aaa，函数xya(0a1)是减函数，因此()aaaaa.综上，aaaaaaaa【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决.【答案】aaaaaaaa 【例29】已知1133(1)(32)aa，求a的取值范围.【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无 【解

13、析】13()f xx在(,0)、(0,)上是减函数，对于不同的 a+1 和 3-2a 进行讨论，将它们等价转化到同一个单调区间.13(1)a和13(32)a是幂函数13()f xx的两个函数值，且13()f xx在(,0)、(0,)上是减函数 当10,320aa 时，有1320aa，解得2332a；当10,320aa 时，有3210aa，此时无解 当(1)(32)0aa时，有10a 且320a，解得1a 综上可知a的取值范围为2 3(,1)(,)3 2.【答案】2 3(,1)(,)3 2.【例30】若11(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星 【题

14、型】解答【关键词】无【解析】（分类讨论）：（1）10320132mmmm ，解得2332dm；（2）10320132mmmm ，此时无解；（3）10320mm，解得1m 综上可得2 3(1)3 2m，【答案】2 3(1)3 2m，【例31】若33(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】（利用单调性）：由于函数3yx在()，上单调递增，所以132mm，解得23m 【答案】23m 【例32】若1122(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】由图

15、 3，10320321mmmm，解得 213m 【答案】213m 【例33】若44(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围【考点】幂函数的性质与应用【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】作出幂函数4yx的图象如图 4由图象知此函数在(0)(0)，上不具有 单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键考虑4时，44xx于是有44(1)(32)mm，即44132mm.又幂函数4yx在(0)，上单调递增，132mm，解得23m，或 m4【答案】23m，或 m4 【例34】已知函数2()f xx，设函数()()(21)()1g xqf f xqf x，问是否存在实数(0)

16、q q，使得()g x在区间4，是减函数，且在区间(4 0)，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由【考点】幂函数的性质与应用【难度】3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】2()f xx，则42()(21)1g xqxqx 假设存在实数(0)q q，使得()g x满足题设条件，设12xx，则4242121122()()(21)(21)g xg xqxqxqxqx 22122112()()()(21)xxxxq xxq 若124xx ，易知120 xx，210 xx，要使()g x在4，上是减函数，则应有2212()(21)0q xxq恒成立 14x ，24x，221232xx而0

17、q，2212()32q xxq.从而要使2212()21q xxq恒成立，则有2132qq，即130q 若12(4 0)xx ，易知1221()()0 xxxx，要使()f x在(4 0)，上是增函数，则 应有2212()(21)0q xxq恒成立 140 x，240 x，221232xx，而0q，2212()32q xxq 要使2212()21q xxq恒成立，则必有2132qq，即130q 综上可知，存在实数130q ，使得()g x在4，上是减函数，且在(4 0)，上是增函数【答案】存在，130q 【例35】由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨 x 成（即上涨率为10 x），涨价

18、后，商品卖出个数减少 bx 成，税率是新定价的 a 成，这里 a,b 均为正常数，且 a10，设售货款扣除税款后，剩余 y 元，要使 y 最大，求 x 的值.【考点】幂函数的性质与应用【难度】3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】设原定价 A 元，卖出 B 个，则现在定价为 A(110 x)，现在卖出个数为110bxB，现在售货金额为111110101010 xbxxbxABAB，应交税款为11101010 xbxaAB，剩余款为21111111010101010010 xbxaabbyABABxx ，所以5(1)bxb时y最大 要使y最大，x的值为5(1)bxb.【答案】5(1)bxb 题

19、型三：幂函数的图像 【例36】函数3xy 和31xy 图象满足 （）A关于原点对称 B关于x轴对称 C关于y轴对称 D关于直线xy 对称【考点】幂函数的图像【难度】1 星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D 【例37】函数43yx的图象是（）【考点】幂函数的图像【难度】1 星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A 【例38】幂函数myx与nyx在第一象限内的图象如图所示，则（）.A101nm B1,01nm C10,1nm D1,1nm 【考点】幂函数的图像【难度】2 星 【题型】选择【关键词】无【解析】由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x 的右侧，图象由下

20、至上，依次是nyx，1yx，0yx，myx，1yx，所以有 101nm .选 B.点评：观察第一象限内直线1x 的右侧，结合所记忆的分布规律.注意比较两个隐含的图象1yx与0yx.【答案】B.【例39】【答案】如图 19 所示，幂函数xy 在第一象限的图象，比较1,04321的大小（）A102431 B104321 C134210 D142310【考点】幂函数的图像【难度】2 星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D 【例40】下图为幂函数yx在第一象限的图象，则1234,按由小到大的顺序排列为 。【考点】幂函数的图像【难度】2 星 【题型】选择 1 3 4 2 【关键词】无【解析】【答

21、案】3241 【例41】如图的曲线是幂函数nyx在第一象限内的图象.已知n分别取2，12四个值，与曲线1c、2c、3c、4c相应的n依次为（）.42510c4c3c2c1 A112,222 B.112,2,22 C.11,2,2,22 D.1 12,22 2【考点】幂函数的图像【难度】2 星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A 【例42】下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）32yx；（2）13yx；（3）23yx；（4）2yx；（5）3yx；（6）12yx 【考点】幂函数的图像【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】（1）32yx定义域为0,)，

22、非奇非偶函数，在0,)上为增函数，对应图（A）；（2）13yx定义域为R，奇函数，在R上为增函数，对应图（F）；（3）23yx定义域为R，偶函数，在0,)上为增函数，对应图（E）；（4）2yx定义域为|0 x xRx且，偶函数，在0,)上为减函数，对应图（C）；（5）3yx定义域为|0 x xRx且，奇函数，在0,)上为减函数，对应图（D）；（6）12yx定义域为(0,)，非奇非偶函数，在(0,)上为减函数，对应图（B）【答案】（1）（A），（2）（F），（3）（E），（4）（C），（5）（D），（6）（B）【例43】利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）53(2)1yx；（2）222221xxyxx【考点】幂函数的图像【难度】3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】（1）函数53(2)1yx的图象可以由53yx的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位而得到 （2）1)1(1112112222222xxxxxxxy，把函数21,xy 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，可以得到函数122222xxxxy的图象