三角函数及反三角函数151.pdf

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1、三角函数的基本关系式 倒数关系:商的关系：平方关系：tan cot1 sin csc1 cos sec1 sin/costan sec/csc cos/sincot csc/sec sin2 cos2 1 1tan2 sec2 1cot2 csc2 诱导公式 sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sin（）sin c

2、os（）cos tan（）tan cot（）cot sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（2 ）sin cos（2 ）cos tan（2 ）tan cot（2 ）cot sin（2k ）sin cos（2k ）cos tan（2k ）tan cot（2k ）cot (其中 kZ)两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin（）sincos cossin sin（）sincos cossin cos（）coscos sinsin?2tan

3、(/2)sin?1tan2(/2)cos（）coscos sinsin?tan tan tan（）?1tan tan?tan tan tan（）?1tan tan?1tan2(/2)cos?1tan2(/2)?2tan(/2)tan?1tan2(/2)半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2 2sincos cos2 cos2 sin2 2cos2 112sin2?2tan tan2?1tan2 sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos?3tan tan3 tan3?13tan2 三角函数的和差化

4、积公式 三角函数的积化和差公式?sin sin 2sincos?2?2?sin sin 2cossin?2?2?cos cos 2coscos sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)?2?2?coscos2sinsin?2?2 化 asin bcos 为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）函数变换 360k+sin cos tan cot sec csc 90-cos sin cot tan csc sec 90+c

5、os -sin -cot -tan -csc sec 180-sin -cos -tan -cot -sec csc 180+-sin -cos tan cot -sec -csc 270-cos -sin cot tan -csc -sec 270+-cos sin -cot -tan csc -sec 360-sin cos -tan -cot sec -csc -sin cos -tan -cot sec -csc 反三角函数 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦 Arcsin x，反余弦 Arccos x，反正切Arctan x，反余切 Arccot x 等，各自表示其正弦、余弦

6、、正切、余切、正割、余割为 x 的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值 y 限在 y=-/2y/2，将 y 为反正弦函数的主值，记为 y=arcsin x；相应地，反余弦函数 y=arccos x 的主值限在 0y；反正切函数 y=arctan x 的主值限在-/2y/2；反余切函数 y=arccot x 的主值限在 0y。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了 arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是 f-1(x).反三角函数主要是三个：y=arcsin(x)，定

7、义域-1,1，值域-/2,/2，图象用红色线条；y=arccos(x)，定义域-1,1，值域0,，图象用兰色线条；y=arctan(x)，定义域(-,+)，值域(-/2,/2)，图象用绿色线条；sinarcsin(x)=x,定义域-1,1,值域【-/2,/2】证明方法如下：设 arcsin(x)=y,则 sin(y)=x,将这两个式子代如上式即可得 为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值 y 限在 y=-/2y/2，将 y 为反正弦函数的主值，记为 y=arcsin x；相应地，反余弦函数 y=arccos x的主值限在 0y；反正切函数 y=arctan x的主值限在-/2y/2；反余

8、切函数 y=arccot x的主值限在0y。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了 arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是 f-1(x).（1）正弦函数 y=sin x 在-/2,/2上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x 表示一个正弦值为 x 的角，该角的范围在-/2,/2区间内。（2）余弦函数 y=cos x 在0,上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x 表示一个余弦值为 x 的角，该角的范围在0,区间内。（3）正切函数 y=tan x 在(-/2,/2)上的

9、反函数，叫做反正切函数。arctan x 表示一个正切值为 x 的角，该角的范围在(-/2,/2)区间内。反三角函数主要是三个：yarcsin(x)，定义域-1,1，值域-/2,/2图象用红色线条；y=arccos(x)，定义域-1,1，值域0,，图象用蓝色线条；y=arctan(x)，定义域(-,+)，值域(-/2,/2)，图象用绿色线条；sin(arcsin x)=x,定义域-1,1,值域-1,1 arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下：设 arcsin(x)=y,则 sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得 其他几个用类似方法可得 cos(arccos x)=x,arc

10、cos(-x)=-arccos x tan(arctan x)=x,arctan(-x)=-arctanx 反三角函数其他公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=arccotx arcsinx+arccosx=/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当 x/2，/2时，有 arcsin(sinx)=x 当 x0,arccos(cosx)=x x(/2，/2),arctan(tanx)=x x(0，),arccot(cotx)=x x0,arctanx=/2-arctan1/x,arccotx 类似 若(arctanx+arctany)(/2，/2),则 arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)