概率统计公式大全复习重点汇总281.pdf

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1、第一章 随机事件和概率 1排列 组 合公式)!(!nmmPnm 从 m 个人中挑出 n 个人进展排列的可能数。)!(!nmnmCnm 从 m 个人中挑出 n 个人进展组合的可能数。2加法 和 乘法原理 加法原理两种方法均能完成此事：某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，那么这件事可由 种方法来完成。乘法原理两个步骤分别不能完成这件事：mn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，那么这件事可由mn 种方法来完成。3一些 常 见排列 重复排列和非重复排列有序 对立事件至少有一个 顺序问题 4随机 试

2、 验和 随 机事件 如果一个试验在一样条件下可以重复进展，而每次试验的可能结果不止一个，但在进展一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，那么称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。5根 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出本领件、样本 空 间和事件 这样一组事件，它具有如下性质：每进展一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的局部事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为根本领件，用来表示。根本领件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的局部点 根本领件 组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，

3、为不可能事件。不可能事件的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。6事件 的 关系 及 运算 关系：如果事件 A 的组成局部也是事件B的组成局部，A发生必有事件B发生：BA 如果同时有BA，AB，那么称事件A及事件B等价，或称A等于B：。A、B中至少有一个发生的事件：，或者。属于A而不属于B的局部所构成的事件，称为A 及 B的差，记为，也可表示为或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：，或者。，那么表示 A 及 B 不可能同时发生，称事件 A 及事件 B 互不相容或者互斥。根本领件是互不相容的。称为事件

4、A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A()=()C A(BC)=(AB)C 分配率：()(AC)(BC)(AB)()()德摩根率：11iiiiAA BABA，BABA 7概率 的 公理 化 定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，假设满足以下三个条件：1 0P(A)1，2 P()=1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11)(iiiiAPAP 常称为可列完全可加性。那么称 P(A)为事件A的概率。8古典概型 1 n21,，2 nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，那么有

5、 P(A)=)()()(21m=)()()(21mPPP nm基本事件总数所包含的基本事件数A 9几何概型 假设随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个根本领件可以使用一个有界区域来描述，那么称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，)()()(LALAP。其中 L 为几何度量长度、面积、体积。10 加 法 公式 P()(A)(B)()当 P()0 时，P()(A)(B)11 减 法 公式 P()(A)()当时，P()(A)(B)当时，P(B)=1-P(B)12 条 件 概率 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，那么称)()(APABP为事件 A

6、发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P()=1P(B)=1()13 乘 法 公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件A1，A2，假设P(A1A21)0，那么有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。14 独立性 两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP，那么称事件A、B是相互独立的。假设事件A、B相互独立，且0)(AP，那么有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP 假设事件A、

7、B相互独立，那么可得到A及B、A及B、A及B也都相互独立。必然事件和不可能事件 及任何事件都相互独立。及任何事件都互斥。多个事件的独立性 设是三个事件，如果满足两两独立的条件，P()(A)P(B)；P()(B)P(C)；P()(C)P(A)并且同时满足 P()(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。15 全 概 公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容，),2,1(0)(niBPi，2niiBA1，那么有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。16 贝 叶 斯公式 设事件1B，2B，nB及A满足 1

8、1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2 niiBA1，0)(AP，那么 njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，1i，2，n，通常叫先验概率。)/(ABPi，1i，2，n，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果的概率规律，并作出了“由果朔因的推断。17 伯 努 利我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进展的，即A发生的概率每次均一样；概型 每次试验是独立的，即每次试验A发生及否及其他次试验A发生及否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努

9、利试验。用p表示每次试验A发生的概率，那么A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2,1,0。第二章 随机变量及其分布 1 离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为(1,2,)且取各个值的概率，即事件()的概率为 P()，1,2,，那么称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足以下条件：10kp，,2,1k，211kkp。2 连续型随机变量的分布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数，假设存在非负函数)(xf，对任意

10、实数x，有 xdxxfxF)()(，那么称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf。2 1)(dxxf。3 离散及连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用及kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。4 分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，那么函数 )()(xXPxF 称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP 可以得到 X 落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间，x内的概率

11、。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0 xF x；2 )(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有)(1xF)(2xF；3 0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4 )()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5 )0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。5 八大分布 0-1 分布 P(1),P(0)二 项 分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，那么X可能取值为n,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,2,1,0,10,1，那么称随机变

12、量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是0-1分布，所以0-1分布是二项分布的特例。泊 松 分布 设随机变量X的分布律为 ekkXPk!)(，0，2,1,0k，那么称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布，n。超 几 何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM 随机变量 X 服从参数为的超几何分布，记为H()。几 何 分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中 p0，1。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为G(p)。均 匀 分布 设随机变量X的值

13、只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数ab 1，即 ,0,1)(abxf 其他，那么称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为(a，b)。分布函数为 xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时，X 落在区间21,xx内的概率为 abxxxXxP1221)(。0，xb。ax指 数 分布 其中0，那么称随机变量 X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为 记住积分公式：!0ndxexxn)(xf,xe 0 x,0,)(xF,1xe 0 x,0 x0。正 态 分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(xexf，x，其中、0为常数，那么称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯分布，记

14、为),(2NX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于x对称的；2 当x时，21)(f为最大值；假设),(2NX，那么X的分布函数为 。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(NX，其密度函数记为 2221)(xex，x，分布函数为 xtdtex2221)(。)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。()1-(x)且(0)21。如果X),(2N，那么X)1,0(N。1221)(xxxXxP。6 分位数 下分位表：)(XP；上分位表：)(XP。e x F x t 2 2 2)(2 1)(7 函数分布 离散型 X的分布列为 ,)(2121nnipppxxxxXPX，

15、)(XgY 的分布列)(iixgy 互不相等如下：,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，假设有某些)(ixg相等，那么应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。连续型 先利用 X 的概率密度(x)写出 Y 的分布函数(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出(y)。第三章 二维随机变量及其分布 1联合分布 离散型 如果二维随机向量X，Y的所有可能取值为至多可列个有序对，那么称为离散型随机量。设=X，Y 的 所 有 可 能 取 值 为),2,1,)(,(jiyxji，且事件=),(jiyx的概率为,称),2,1,(),(),(jipyxYXPijji 为

16、=X，Y的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Y X y1 y2 x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j 1 ijp 这里具有下面两个性质：101,2,；2.1ijijp 连续型 对于二维随机向量),(YX，如果存在非负函数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即()xyx1时，有 Fx2F(x1);当 y2y1时，有 F(2)F(1);3F分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF 4.1),(,0),(),(),(FxFyFF 5对于，2121yy

17、xx 0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，.4离散 型 及连 续 型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，5边缘分布 离散型 X 的边缘分布为),2,1,()(jipxXPPijjii；Y 的边缘分布为),2,1,()(jipyYPPijijj。连续型 X 的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y 的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY 6条件分布 离散型 在的条件下，Y 取值的条件分布为；iijijppxXyYP)|(在的条件下，X 取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP 连续型 在的条件下，X 的条件分布密度为)(

18、),()|(yfyxfyxfY；在的条件下，Y 的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX 7独立性 一般型 F()(x)(y)离散型 jiijppp 有零不独立 连续型 f()(x)(y)直接判断，充要条件：可别离变量 正概率密度区间为矩形 二 维 正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf 0 随 机 变量 的 函数 假设 X12,1,相互独立，为连续函数，那么：hX1，X2,和 g1,相互独立。特例：假设 X 及 Y 独立，那么：hX和 gY独立。例如：假设 X 及 Y 独立，那么：31 和 52 独立。8二维 均 匀分布 设随机向量X，Y

19、的分布密度函数为 其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中为区域 D 的面积，那么称X，Y服从 D 上的均匀分布，记为X，YUD。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1 D1 O 1 x y 1 O 2 x D2 9二维 正 态分布 设随机向量X，Y的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212 yyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21是 5 个参数，那么称X，Y服从二维正态分布，记为X，YN).,2221,21 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN).(),22,2211NY 但是假设 XN)(),22

20、,2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。10 函 数 分布 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ 对于连续型，(z)dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布222121,。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。iiiC，iiiC222(X12,)假设nXXX21,相互独立，其分布函数分别为)()()(21xFxFxFnxxx，那么(X12,)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)(1)(1)(1 1)(21minxFxFxFxFnxxx 2分布 设 n 个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方

21、和 niiXW12 的分布密度为.0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的2分布，记为W)(2n，其中.2012dxexnxn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设 ),(2iinY 那么).(2112kkiinnnYZ t 分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且),(),1,0(2nYNX 可以证明函数 nYXT/的概率密度为 2121221)(nntnnntf).(t 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为 Tt(n)。)()(1ntnt F 分布 设)(),(2212n

22、YnX，且 X 及 Y 独立，可以证明21/nYnXF 的概率密度函数为 0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF 第四章 随机变量的数字特征 1一 维随 机变 量的 数字 特征 离散型 连续型 期望 期望就是平均值 设 X 是离散型随机变量，其 分 布 律 为P(kxX)，1,2,，nkkkpxXE1)(要求绝对收敛 设 X 是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，dxxxfXE)()(要求绝对收敛

23、函数的期望(X)nkkkpxgYE1)()(X)dxxfxgYE)()()(方差 D(X)(X)2，标准差)()(XDX，kkkpXExXD2)()(dxxfXExXD)()()(2 矩 对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为,即()=iikipx,1,2,.对于正整数 k，称随机变量 X 及 EX差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为k，即.)(kkXEXE=iikipXEx)(，1,2,.对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为,即()=,)(dxxfxk 1,2,.对于正整数 k，称

24、随机变量 X 及 EX差的k 次幂的数学期望为 X的 k 阶中心矩，记为k，即.)(kkXEXE=,)()(dxxfXExk 1,2,.切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 EX=，方差 DX=2，那么对于任意正数，有以下切比雪夫不等式 22)(XP 切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率)(XP 的一种估计，它在理论上有重要意义。2期 望的 性质（1）E(C)（2）E()(X)（3）E()(X)(Y)，niniiiiiXECXCE11)()(（4）E()(X)E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。3方 差的 性质（1）D(C)=0；E(C

25、)（2）D()2D(X)；E()(X)（3）D()=a2D(X)；E()(X)（4）D(X)(X2)2(X)（5）D(XY)(X)(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。D(XY)(X)(Y)2E(X)(Y)，无条件成立。而 E()(X)(Y)，无条件成立。4常 见分 布的 期望 和方差 期望 方差 0-1 分布),1(pB p)1(pp 二项分布),(pnB )1(pnp 泊松分布)(P 几何分布)(pG p1 21pp 超几何分布),(NMnH NnM 11NnNNMNnM 均匀分布),(baU 2ba 12)(2ab 指数分布)(e 1 21 正态分布),(2N

26、 2 分布2 n 2n t 分布 0 2nn(n2)5二 维随 机变 量的 数字 特征 期望 niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函数的期望),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE dxdyyxfyxG),(),(方差 iiipXExXD2)()(jjjpYExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2 dyyfYEyYDY)()()(2 协方差 对于随机变量 X 及 Y，称它们的二阶混合中心矩11为 X 及 Y 的 协 方 差或 相关矩，记 为),cov(YXXY或，即).()(11YEYXEXEXY 及记号XY相

27、对应，X 及 Y 的方差 D X 及 D Y也可分别记为XX及YY。相关系数 对于随机变量 X 及 Y，如果 DX0,D(Y)0，那么称)()(YDXDXY 为 X 及 Y 的相关系数，记作XY有时可简记为。1，当1 时，称 X 及 Y 完全相关：1)(baYXP 完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa 而当0时，称 X 及 Y 不相关。以下五个命题是等价的：0XY；()=0;E()(X)E(Y);D()(X)(Y);D()(X)(Y).协方差矩阵 YYYXXYXX 混合矩 对于随机变量 X 及 Y，如果有)(lkYXE存在，那么称之为 X 及 Y 的阶混合原点矩，记为kl；

28、阶混合中心矩记为：.)()(lkklYEYXEXEu 6协 方差 的性质(i)(X,Y)(Y,X);(ii)()();(iii)(X12,Y)(X1)(X2);(iv)()()(X)E(Y).7独 立和 不相关（i）假设随机变量 X 及 Y 相互独立，那么0XY；反之不真。（ii）假设X，YN,222121，那么 X 及 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。第五章 大数定律和中心极限定理 1 大数定律 X 切比雪夫大数定律 设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：DC(1,2,),那么对于任意的正数，有.1)(11lim11niiniinXEnXnP

29、 特殊情形：假设 X1，X2，具有一样的数学期望 E=，那么上式成为.11lim1niinXnP 伯努利大数定律 设是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，那么对于任意的正数，有 .1limpnPn 伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件 A 发生的频率及概率有较大判别的可能性很小，即 .0limpnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律 设 X1，X2，是相互独立同分布的随机变量序列，且 E=，那么对于任意的正数有.11lim1niinXnP 2 中心极限定理),(2nNX 列维林德伯格定理 设随机变量 X1，X2，相互独

30、立，服从同一分布，且具有一样的数学期望和方差：),2,1(0)(,)(2kXDXEkk，那么随机变量 nnXYnkkn1 的分布函数(x)对任意的实数x，有 xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212 此定理也称为 独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理 设随机变量nX为具有参数 n,p(0p1)的二项分布，那么对于任意实数 x,有 xtnndtexpnpnpXP.21)1(lim22 3 二项定理 假设当),(,不变时knpNMN，那么 knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N 超几何分布的极限分布为二项分布。4 泊松定理 假设当0,npn时，那么 e

31、kppCkknkkn!)1().(n 其中 0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布 1数理 统 计的 根 本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个或多个指标的全体称为总体或母体。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量或随机向量。个体 总体中的每一个单元称为样品或个体。样本 我们把从总体中抽取的局部样品nxxx,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n 个相互独立的且及总体有一样分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nxxx,21表示 n 个随机变量样本；在具体的

32、一次抽取之后，nxxx,21表示 n 个具体的数值样本值。我们称之为样本的两重性。样 本 函数 和 统计量 设nxxx,21为总体的一个样本，称 nxxx,21 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中 不 包 含 任 何 未 知 参 数，那 么 称nxxx,21为一个统计量。常 见 统计 量 及其性质 样本均值 .11niixnx 样本方差 niixxnS122.)(11 样本标准差 .)(1112niixxnS 样本k 阶原点矩 nikikkxnM1.,2,1,1 样本k 阶中心矩 nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE,其中nii

33、XXnS122)(1*，为二阶中心矩。2正态 总 体下 的 四正 态 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，那么样本函数 ).1,0(/Nnxudef 大分布 t 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，那么样本函数 ),1(/ntnsxtdef 其中 t(1)表示自由度为 1 的 t 分布。分布2 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，那么样本函数 ),1()1(222nSnwdef 其中)1(2n表示自由度为1 的2分布。F 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(21N的一个样本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，

34、那么样本函数 ),1,1(/2122222121nnFSSFdef 其中,)(11211211niixxnS ;)(11212222niiyynS)1,1(21nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的 F 分布。3正态 总 体下 分 布的性质 X及2S独立。第七章 参数估计 1点 估计 矩 估计 设总体 X 的分布中包含有未知数m,21，那么其分布函数可以表成).,;(21mxF它的 k阶原点矩),2,1)(mkXEvkk中 也 包 含 了 未 知 参 数m,21，即),(21mkkvv。又设nxxx,21为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为 nikixn11).,

35、2,1(mk 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩的原则建立方程，即有 nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数),(21m即为参数m,21的矩估计量。假设为的矩估计，)(xg为连续函数，那么)(g为)(g的矩估计。极 大似 然估计 当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为),;(21mxf，其中m,21为未知参数。又设nxxx,21为总体的一个样本，称),;(),(11122nimimxfL 为样本的似然函数，简记为.当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律

36、为),;(21mxpxXP，那么称),;(),;,(1111222nimimnxpxxxL 为样本的似然函数。假 设 似 然 函 数),;,(2211mnxxxL在m,21处取到最大值，那么称m,21分别为m,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin,2,1,0ln 假设为的极大似然估计，)(xg为单调函数，那么)(g为)(g的极大似然估计。2估 计量 的无 偏性 设),(21nxxx为未知参数的估计量。假设 E=，那么称 为的无偏估计量。EX X，ES2 X 评 选标准 有 效性 设),(2111nxxx和),(2122nxxx是未知参数的两个无偏估计量。假设)(

37、)(21DD，那么称21比有效。一 致性 设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有,0)|(|limnnP 那么称n为的一致估计量或相合估计量。假设为的无偏估计，且),(0)(nD那么为的一致估计。只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。3区 间估计 置 信区 间和 置信度 设总体 X 含有一个待估的未知参数。如果我们从样 本nxxx,21出 发，找 出 两 个 统 计 量),(2111nxxx及),(2122nxxx)(21，使得区间,21以)10(1的概率包含这个待估参数，即,121P 那么称区间,21为的置信区间，1为该区间的置信度

38、或置信水平。单 正态 总体 的期 望和 方差 的区 间估计 设nxxx,21为总体),(2NX的一个样本，在置信度为1下，我们来确定2和的置信区间,21。具体步骤如下：i选择样本函数；由置信度1，查表找分位数；导出置信区间,21。方差，估计均值 i选择样本函数 ).1,0(/0Nnxu()查表找分位数.1/0nxP 导出置信区间 nxnx00,未知方差，估计均值 i选择样本函数).1(/ntnSxt ()查表找分位数 .1/nSxP 导出置信区间 nSxnSx,方差的区间估计 i选择样本函数).1()1(222nSnw 查表找分位数 .1)1(2221SnP 导出的置信区间 SnSn121,1

39、 第八章 假设检验 根本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为根本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就说明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝承受H0；如果由此没有导出不合理的现象，那么不能拒绝承受H0，我们称H0是相容的。及H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件RK，其概率就是检验水平，通常我们取，有时也取或。根本步骤 假设检验的根本步骤如下：(i)提出零假设H0；(ii)选择统计量K；(iii)对于检验水平查表找分位数；(iv)由样本值nxxx

40、,21计算统计量之值K；将与K进展比拟，作出判断：当)(|KK或时否认H0，否那么认为H0相容。两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否认域，按照我们规定的检验法那么，应当否认H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立即否认了真实的假设，称这种错误为“以真当假的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 P否认H00为真=；此处的恰好为检验水平。第二类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法那么，应当承受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立即承受了不真实的假设，称这种错误为“以假当真的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即 P承受H0

41、1为真=。两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时，变小，那么变大；相反地，变小，那么变大。取定要想使变小，那么必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平。大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真、而不愿“以真当假时，那么应把取得很小，如，甚至。反之，那么应把取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否认域 2 00:H nxU/00 N0，1 21|uu 00:H 1uu 00:H 1uu 未知2 00:H nSxT/0)1(nt)1(|21ntt 00:H)1(1ntt 00:H)1(1ntt 未知2 220:H 202)1(Snw)1(2n)1()1(22122nwnw或 2020:H)1(21nw 2020:H)1(2nw