角平分线的性质与判定课件.ppt

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1、关于角平分线的性质与判定现在学习的是第1页，共23页已知已知:AOB求作：求作：AOB的平分线的平分线（1）以）以O为圆心，适当长为半径作弧，交为圆心，适当长为半径作弧，交OA于于M，交，交OB于于N。（2）分别以）分别以M、N为圆心，大于为圆心，大于12MN的长的长为半径作弧，两弧在为半径作弧，两弧在AOB的内部交于点的内部交于点C。（3）作射线）作射线OC。射线。射线OC即为所求。即为所求。A0BMNC做法：做法：现在学习的是第2页，共23页AO仔仔细细观观察察步步骤骤现在学习的是第3页，共23页ABOAOEBCPD 将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察

2、两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.折一折现在学习的是第4页，共23页角平分线上的点到角的两边的角平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等 P49（从理论说（从理论说明）明）议一议：由折一折和画一画你可得到什议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？么猜想？现在学习的是第5页，共23页同学甲、乙谁画的是角平线上的点到两边的距离?现在学习的是第6页，共23页角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：定理定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上

3、的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。应用定理的书写格式：OP 是是 的平分线的平分线PD=PE（在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。到这个角的两边的距离相等。）现在学习的是第7页，共23页 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这个角在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。的两边的距离相等。BD CD（）现在学习的是第8页，共23页 AD平分平分BAC,DCAC，

4、DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个角的在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等现在学习的是第9页，共23页 如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这个角在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。的两边的距离相等。BD CD（）现在学习的是第10页，共23页P51 2T证明：证明：DEAB,DFACDEAB,DFAC AD是角平分线 DE=DF (角平分线的性质）DEAB,DFAC DEAB,DFAC BED=DFC=90 BED=DFC=90 在在RTRTBDEBDE和和RTRT

5、CDFCDF中中 BD=CD (BD=CD (已知）已知）DE=DF DE=DF （已证）（已证）RT RTBDE RTBDE RTCDF CDF （HL)HL)BE=CF (BE=CF (对应边相等）对应边相等）现在学习的是第11页，共23页 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上现在学习的是第12页，共23页证明证明:QDOA，QEOB（已知），（已知），QDOQEO90（垂直的定义）（垂直的定义）在在RtQDO和

6、和RtQEO中中 QOQO（公共边）（公共边）QD=QE RtQDO RtQEO（HL）QODQOE 点Q在AOB的平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上现在学习的是第13页，共23页这样，我们又可以得到一个结论：这样，我们又可以得到一个结论：到角的两边距离相等的点在角的平分到角的两边距离相等的点在角的平分线上。线上。现在学习的是第14页，共23页P51 3T证明：证明：CDAB,BEACCDAB,BEAC BDO=BDO=CEO=90CEO=90在在BDO和和CEO中中BDO=BDO=CEO (CEO (已证已证)BOD=BOD=COE

7、(COE (对顶角相等）对顶角相等）OB=OC (已知）BDOCEO （AAS)OD=OE (对应边相等）又 CDAB,BEACCDAB,BEAC AO平分DAE DAE （角平分线的判定（角平分线的判定)即 1=1=2 2现在学习的是第15页，共23页，1 1、在、在RtABCRtABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ABCDE 2 2、如如 图图,OC,OC是是 AOBAOB的的 平平 分分 线线,点点 P P在在 OCOC上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂垂足足分分别别是是D

8、D、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用现在学习的是第16页，共23页B 思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的的平分线平分线,P 是是OC上任意一上任意一点点,问问PE=PD?为什么为什么?OAEDCPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角平分它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离线上任一点这个角两边的距离,所以不一定所以不一定相等相等.现在学习的是第17页，共23页如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相交于点的平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAED

9、AE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBCFMFHFGFH点F在DAE的平分线上现在学习的是第18页，共23页利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?现在学习的是第19页，共23页拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处分析:由于没

10、有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。现在学习的是第20页，共23页练习练习2：如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.CDABO现在学习的是第21页，共23页例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于相交于点点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.ABCPMNABCPMN例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于相交于点点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD、PE、PF分别垂直于分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为，垂足分别为D、E、FFDEDE BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边在角平分线上的点到角的两边 的距离相等）的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等想一想，点想一想，点P在在A A 的的 平分线上吗？这说平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？明三角形的三条角平分线有什么关系？现在学习的是第22页，共23页感谢大家观看现在学习的是第23页，共23页