第九章平面解析几何(文数)第5讲1176.pdf

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1、基础巩固题组(建议用时：45 分钟)一、填空题 1.椭圆x2my241(m0)的焦距为 2，则 m 的值等于_.解析 当 m4 时，m 4 1，m 5；当0m0，n0 且 mn).椭圆经过点P1、P2，点P1、P2的坐标适合椭圆方程.则6m n 1，3m 2n 1，、两式联立，解得m19，n13.所求椭圆方程为x29y23 1.答案 x29y231 6.(2015南京师大附中调研)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B，若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为66F1F2，则椭圆 C 的离心率 e_.解析 设椭圆C 的焦距为2c(cb

2、0)的离心率等于13，其焦点分别为 A，B，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC 中，sin Asin Bsin C的值等于_.解析 在 ABC 中，由正弦定理得sin A sin Bsin CCB CAAB，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA CB 2a，而AB 2c，所以sin A sin Bsin C2a2c1e 3.答案 3 8.(2016遵义联考)已知 P 是以 F1、F2为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点，若PF1PF20，tanPF1F22，则椭圆的离心率为_.解析 PF1 PF2 2a，PF1 PF2 0，PF1 PF2，|PF1|2|PF2|2|F

3、1F2|2 4c2，tan PF1F2 2，PF2 2PF1，e2c2a2|PF21|PF22|4PF1 PF22254PF2194PF2159，e53.答案 53 二、解答题 9.如图所示，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为 2，且AF22F2B，求椭圆的方程.解(1)AF1AF2a，且F1AF290，F1F22c，2a24c2，a 2c，eca22.(2)由题知 A(0，b)，F2(1，0)，设 B(x，y)，由AF22F2B，解得 x32，y

4、b2，代入x2a2y2b21，得94a2b24b21，即94a2141，解得 a23，b2a2c22.所以椭圆方程为x23y221.10.(2014江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0，b)，连接 BF2并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C.(1)若点 C 的坐标为43，13，且 BF2 2，求椭圆的方程；(2)若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值.解 设椭圆的焦距为 2c，则 F1(c，0)，F2(c，0).(1)因为 B(0，b)，所以 BF2 b2c2

5、a.又 BF2 2，故 a 2.因为点 C43，13在椭圆上，所以169a219b21，解得 b21.故所求椭圆的方程为x22y21.(2)因为 B(0，b)，F2(c，0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为xcyb1.解方程组xcyb1，x2a2y2b21，得x12a2ca2c2，y1b（c2a2）a2c2，x20，y2b.所以点 A 的坐标为2a2ca2c2，b（c2a2）a2c2.又 AC 垂直于 x 轴，由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为2a2ca2c2，b（a2c2）a2c2.因为直线 F1C 的斜率为b（a2c2）a2c202a2ca2c2（c）b（a2c2）3a2cc3

6、，直线 AB 的斜率为bc，且 F1CAB，所以b（a2c2）3a2cc3bc1.又 b2a2c2，整理得 a25c2.故 e215，因此 e55.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.(2016汕头一模)已知椭圆x24y221 上有一点 P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点 P 有_个.解析 当 PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2 个；同理当 PF2F1为直角时，这样的点P 有 2 个；当 P 点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P 有 2 个.故符合要求的点P 有 6 个.答案 6 12.(2016苏北四市

7、模拟)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，若 F 关于直线 3xy0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为_.解析 法一 设 A(m，n)，则nm c（3）1，3m c2n2 0，解得Ac2，32c，代入椭圆C 中，有c24a23c24b2 1，b2c2 3a2c2 4a2b2，(a2 c2)c2 3a2c2 4a2(a2 c2)，c4 8a2c2 4a4 0，e4 8e2 4 0，e2 42 3，0e1，e3 1.法二 借助于椭圆的定义，本题还有如下简洁解法：设F是椭圆的右焦点，连接 AF，AF.由已知得AFF是直角三角形，其中A 90，AFF30，FF

8、2c，AF3c，AFc，e2c2aFFAF AF2cc3c3 1.答案 31 13.(2016云南统一检测)设 F1，F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为(6，4)，则 PMPF1的最大值为_.解析 PF1 PF2 10，PF1 10 PF2，PM PF1 10 PM PF2，易知M 点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P 点，此时PM PF2取最大值MF2，故 PM PF1的最大值为 10 MF2 10（6 3）2 42 15.答案 15 14.(2015南京模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点 P(1，1)，c 为椭圆的半焦距

9、，且 c 2b.过点 P 作两条互相垂直的直线 l1，l2与椭圆 C 分别交于另两点 M，N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l1的斜率为1，求PMN 的面积；(3)若线段 MN 的中点在 x 轴上，求直线 MN 的方程.解(1)由条件得1a21b21，且 c22b2，所以 a23b2，解得 b243，a24.所以椭圆 C 的方程为x243y241.(2)设 l1的方程为 y1k(x1)，联立ykxk1，x23y24，消去 y 得(13k2)x26k(k1)x3(k1)240.因为 P 为(1，1)，解得 M3k26k113k2，3k22k113k2.当 k0 时，用1k代替 k，得

10、Nk26k3k23，k22k3k23 将 k1 代入，得 M(2，0)，N(1，1).因为 P(1，1)，所以 PM 2，PN2 2，所以PMN 的面积为12 22 22.(3)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x213y214，x223y224，两式相减得(x1x2)(x1x2)3(y1y2)(y1y2)0，因为线段 MN 的中点在 x 轴上，所以 y1y20，从而可得(x1x2)(x1x2)0.若 x1x20，则 N(x1，y1).因为 PMPN，所以PMPN0，得 x21y212.又因为 x213y214，所以解得 x11，所以 M(1，1)，N(1，1)或 M(1，1)，N(1，1).所以直线 MN 的方程为 yx.若 x1x20，则 N(x1，y1)，因为 PMPN，所以PMPN0，得 y21(x11)21.又因为 x213y214，所以解得 x112或1，经检验：x112满足条件，x11 不满足条件.综上，直线 MN 的方程为 xy0 或 x12.