绵阳市2017届高三第三次诊断性考试数学试题(理)含答案34642.pdf

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1、绵阳市高中 2014 级第三次诊断性考试 数学（理工类）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集RU，022xxxA，1xxB，则)(BCAU()A),0(B.)1,(C)2,(D（0,1）2.已知i是虚数单位，则ii12()A1 B22 C2 D2 3.某路口的红绿灯，红灯时间为 30 秒，黄灯时间为 5 秒，绿灯时间为 40 秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是()A1514 B151 C.53 D21 4.等比数列na的各项均为正数，

2、且4221 aa，73244aaa，则5a()A161 B81 C.20 D.40 5.已知正方形ABCD的边长为 6，M在边BC上且BMBC3，N为DC的中点，则 BNAM()A-6 B12 C.6 D-12 6.在如图所示的程序框图中，若函数),0(2),0)(log)(21xxxxfx则输出的结果是()A16 B8 C.162 D82 7.已知函数)cos(4)(xxf)0,0(为奇函数，)0,(aA，)0,(bB是其图像上两点，若ba的最小值是 1，则)61(f()A2 B-2 C.23 D23 8.九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形

3、的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是()A50 B75 C.25.5 D37.5 9.已知函数xmxmxfsin)2(2cos21)(，其中21 m.若函数)(xf的最大值记为)(mg，则)(mg的最小值为()A41 B1 C.33 D13 10.已知F是双曲线C：)0,0(12222babyax的右焦点，A，B分别为C的左、右顶点.O为坐标原点，D为C上一点，xDF 轴.过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M,直线BE与y轴交于点N，若ONOM23，则双曲线C的离心率为（)A3 B4 C.5 D6 11.三棱锥ABCP中，P

4、A，PB，PC互相垂直，1 PBPA，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是26，则三棱锥ABCP的外接球表面积是()A2 B4 C.8 D16 12.已知函数3ln2)(2axxxf，若存在实数5,1,nm满足2mn时，)()(nfmf成立，则实数a的最大值为()A83ln5ln B43ln C.83ln5ln D34ln 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若实数yx,满足,5,02,0yxyxy，则yx2的最小值是 14.过定点M的直线：021kykx与圆：9)5()1(22yx相切于点N，则MN 15.已知

5、nyxx)2(2的展开式中各项系数的和为 32，则展开式中25yx的系数为 （用数字作答）16.设公差不为 0 的等差数列na的前n项和为nS，若2a，5a，11a成等比数列，且)(211nmSSa),0(Nnmnm，则nm的值是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且acbca3)(22.（）求角B的大小；（）若2b，且AACB2sin2)sin(sin，求ABC的面积.18.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2016 年该市共享单车用户年龄登记分布如图 1 所示

6、，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图 2 所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20 岁39 岁）和“非年轻人”（19 岁及以下或者 40 岁及以上）两类，将一周内使用的次数为 6 次或 6 次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为 5 次或不足 5 次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有65是“年轻人”.（）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为 200 的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列

7、联表 年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 120 不常使用单车用户 80 合计 160 40 200（）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取 3 人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布与期望.（参考数据：独立性检验界值表)(02kKP 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中，)()()()(22dbcadcbabcadnK，dcban）19.已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中1AF，2AD，3ADC，点N是线段AD的中点.（）试问在线段BE上是否

8、存在点M，使得直线/AF平面MNC？若存在，请证明/AF平面MNC，并求出MEBM的值；若不存在，请说明理由；（）求二面角DCEN的正弦值.20.已知点)0,2(E，点P是圆F：36)2(22yx上任意一点，线段EP的垂直平分线交FP于点M，点M的轨迹记为曲线C.（）求曲线C的方程；（）过F的直线交曲线C于不同的A，B两点,交y轴于点N，已知AFmNA，BFnNB，求nm的值.21.函数4ln)(xxxp，)()(Raaxexqx.（）若ea，设)()()(xqxpxf，试证明)(xf 存在唯一零点)1,0(0ex，并求)(xf的最大值；（）若关于x的不等式)()(xqxp的解集中有且只有两个

9、整数，求实数a的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程是sin3,cos31yx（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为1.（）分别写出1C的极坐标方程和2C的直角坐标方程；（）若射线l的极坐标方程)0(3，且l分别交曲线1C、2C于A、B两点，求AB.23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数633)(xaxxf，12)(xxg.（）1a时，解不等式8)(xf；（）若对任意Rx 1都有Rx 2，使得)()(21xgxf成立，

10、求实数a的取值范围.绵阳市高 2014 级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准 一、选择题 1-5:CDABA 6-10:ABDDC 11、12：BB 二、填空题 13.0 14.4 15.120 16.9 三、解答题 17.解：（）把acbca3)(22整理得，acbca222,由余弦定理有acbcaB2cos222212acac,3B.（）ABC中，CBA，即)(CAB，故)sin(sinCAB，由已知AACB2sin2)sin(sin可得AACCAs2sin2)sin()sin(,CACAsincoscossinACACsincoscossinAAcossin4,整理得AA

11、CAcossin2sincos.若0cosA，则2A，于是由2b，可得332tan2Bc，此时ABC的面积为33221bcS.若0cosA，则ACsin2sin，由正弦定理可知，ac2，代入acbca222整理可得432a，解得332a，进而334c，此时ABC的面积332sin21BacS.综上所述，ABC的面为332.18.解：（）补全的列联表如下：年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 100 20 120 不常使用共享单车 60 20 80 合计 160 40 200 于是100a，20b，60c，20d，4016080120)206020100(20022K072.2083.2，即

12、有 85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.（）由（）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为%10%10020020，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为 0.1，)1.0,3(BX,3,2,1,0X 729.0)1.01()0(3XP，001.01.0)3(3XP，X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X的数学期望3.01.03)(XE.19.解：（）作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点.证明：连接PN，N是AD的中点，P是FE的中点，AFPN/，又PN平面MNC，AF平面MN

13、C，直线/AF平面MNC.ADPE/，BCAD/，BCPE/，2PEBCMEBM.（）由（）知ADPN，又面ADEF面ABCD，面ADEF面ADABCD，PN面ADEF，所以PN面ABCD.故ADPN，NCPN.以N为空间原点，ND，NC，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系xyzN，3ADC，2 DCAD，ADC为正三角形，3NC，)0,0,0(N，)0,0,3(C，)0,1,0(D，)1,1,0(E，)1,1,0(NE，)0,0,3(NC，)1,0,0(DE，)0,1,3(DC，设平面NEC的一个法向量),(1zyxn，则由01 NEn，01 NCn可得,03,0 xzy令1y，则)1

14、,1,0(1n.设平面CDE的一个法向量),(1112zyxn，则由02DEn，02DCn可得,03,0111yxz令11x，则)0,3,1(2n.则46223,cos212121nnnnnn，设二面角DCEN的平面角为，则410)46(1sin2，二面角DCEN的正弦值为410.20.解：（）由题意知，MPMFME46EFrMF，故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为 6，焦距为 4 的椭圆，从而长半轴长为3a，短半轴长为52322b，曲线C的方程为：15922yx.（）由题意知)0,2(F，若直线AB恰好过原点，则)0,3(A，)0,3(B，)0,0(N，)0,3(NA，)0

15、,5(AF，则53m，)0,3(NB，)0,1(BF，则3n，518nm.若直线AB不过原点，设直线AB：2 tyx，0t，),2(11ytyA，),2(22ytyB，)2,0(tN.则,2(1 tyNA)21ty，),(11ytyAF，,2(2 tyNB)22ty，),(22ytyBF，由AFmNA，得)(211ymty，从而121tym；由BFnNB，得)(222ynty，从而221tyn；故nm121ty)21(2ty)11(2221yyt212122yyyyt.联立方程组得：,159,222yxtyx整理得02520)95(22tyyt，9520221ttyy，9525221tyy，n

16、m212122yyyyt518582252022tt.综上所述，518 nm.21.（）证明：由题意知xexexxxf4ln)(，于是xexexxf)1(11)(xexexexexxxx)1)(1()1(1 令xexex1)(，)0(0)1()(xexexx，)(x在)0(上单调递减.又01)0(，01)1(1eee，所以存在)1,0(0ex，使得0)(0 x，综上)(xf存在唯一零点)1,0(0ex.解：当),0(0 xx，0)(x，于是0)(xf，)(xf在),0(0 x单调递增；当),(0 xx，0)(x，于是0)(xf，)(xf在),(0 x单调递减；故00000max4ln)()(x

17、eexxxxfxf，又01)(000 xeexx，001xxee，00ln11ln0 xexx，故)ln1(ln)(00maxxxxf6151400exex.（）解：)()(xqxp等价于xaxexx4ln.xaxexx4lnxxxexxxexxa4ln4ln，令xxexxxh4ln)(，则xexxxxxh2)5)(ln1()(，令5ln)(xxx，则011)(xx，即)(x在),0(上单调递增.又023ln)3(，04ln)4(，存在),0(tt，使得0)(t.当),0(tx，)(0)(0)(xhxhx在),0(t单调递增；当),(tx，)(0)(0)(xhxhx在),(t单调递减.03)1

18、(eh，0222ln)2(2eh，0313ln)3(3eh，且当3x时，0)(xh，又eh3)1(，222ln2)2(eh3313ln)3(eh，44ln2)4(eh，故要使不等式)()(xqxp解集中有且只有两个整数，a的取值范围应为ae3313ln222ln2e.22.解：（）将1C参数方程化为普通方程为3)1(22yx，即02222xyx，1C的极坐标方程为02cos22.将2C极坐标方程化为直角坐标方程为122 yx.（）将3代入1C：02cos22整理得022，解得21，即21OA.曲线2C是圆心在原点，半径为 1 的圆，射线)0(3与2C相交，即12，即12OB.故11221AB.23.解：（）当31x时，xxf67)(，由8)(xf解得61x，综合得61x，当231 x时，5)(xf，显然8)(xf不成立，当2x时，76)(xxf，由8)(xf解得25x，综合得25x，所以8)(xf的解集是),2561,(.（）633)(xaxxfaxax6)63()3(，112)(xxg，根据题意16a，解得7a，或5a.