求函数值域常用方法的探讨3607.pdf

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1、1 求函数值域常用方法的探讨 函数是中学数学的主要内容，函数概念是数学中的重要概念。几乎可以函数为纲把中学数学各方面内容有机地结合起来，许多数学综合题，可以转化为函数的问题进行讨论，而函数的三要素：（1）对应法则（2）定义域（3）值域，对于前两个要素，教材上已有详尽的论述，在这里我们重点谈一谈函数值域的求法。要求函数的值域，我们首先介绍什么叫函数的值域。对集合 A、B 是非空的数集，那么 A 到 B 映射 f：AB 叫做 A 到 B 的函数，记作 y=f（x）函数值 y 的取值范围叫做函数的值域。求函数值域的问题，实质是确定一个变量的取值范围。教材中虽然没有给出具体的求解方法，但也不是无章可循

2、的。只要我们认真分析所给函数的特点，综合地运用我们所学过的数学知识，是不难找到求函数值域的方法。下面我仅谈几种常用的求函数值域的方法：一、观察法 2 1、定义：在函数定义或及函数对应法则的基础上，通过观察而确定函数值域的方法就叫观察法。例 1 求函数52142xxY的值域（其中 x r）解：2)221(4214)21(xxxY 当 x21时，显然 y0 函数的值域为y/y 例 2：求函数)56(log22xxy的值域（x r）解：由偶 次根号下非负及零和负数没有对数，可知(x26x+5)0 即(x1)(x5)0 解得：1x0 而(x26x+5)的极大值是 4。故此函数的值域是：y2 上述方法虽

3、然简单，仅适用于求简单函数的值域，往往需要配合算术根和极值等概念，但对于较复杂的函数的值域，往往不易从观察法求出结果。二、配方法 3 例 3：求函数1422xxy的值域（其中 x0）解：5)2(14222xxxxy y5 函数的值域是y/y5 三、判别式法 例 4：求函数13232xxy的值域 原函数可化为：2yx23xy+y3=0 故应有判别式=9x242y(y3)=y224y0 (y0)解得 y0 或 y24 函数的值域为y/y0 或 y24 例 5：求函数baxxy21的值域。解：去分母并整理得：yx2+ayx+by1=0 1 把 y 看作常数，这个二次方程有实根的条件 是：=(ay)2

4、4y(by1)0 4 即：(a24b)y2+4y0 2 1 设 a24b0，这时可写 x2+ax+b=(x)(x)同时由 y0 及2 得 y 的值域是 y0 或 y.442ab 2 设 a24b=0，这时可写 x2+ax+b=(x)2 同时由 y0 及2 得 y 的值域是 y0 3 设 a24b0，这时可写 x2+ax+b=(x)2+r2 同时由 y0 及2 得 y 的值域是 00 时，y0 或 y.442ab 2 a24b=0，y0 3 a24b0 0y.442ab 注：此方法一般用于分式函数，且分子分母只能为 2次。四、反函数法 定义：由函数 y=f(x)解得 x=f1(y)，求出 x=f

5、1(y)的定义域，以确定函数 y=f(x)值域的方法叫做反函数法，习惯上，把 y=f(x)的反函数记为 y=f1(x).5 例 6：求函数xxy325的值域 解：由xxy325得：253yyx 它的反函数化为253xxy 求反函数的定义域，它的定义域为 x2 原函数的值域为y/y2 例 7求函数)1)(21(1xxy的值域。解：由)21)(1(1xxy解得：yyyyx4832 它的反函数为xxxxy4832 求反函数 y=f1(x)的定义域 由 x2+8x0 x0 解得：x和 0 x0 注意：1、用此法求函数值域时，要注意变形时引起值域的扩大或缩小，上例没有扩大。是由于所乘整式（1x）（12x

6、）0 6 2、值域的扩大，可通过观察法来检验舍去。五、换元法 例 8：求函数242xxy的值域。解：令 x=2cos(0)则 y=2cos-2+2)cos2(4=2cos-2+2sin=2(cos+sin-1)2)4sin(22 0 1)4sin(22-4y 2(12)原函数的值域为 y/4y2(12)六、利用基本不等式 例 9：求函数xxy162的值域 解：1288388163222xxxxxxxxy 原函数的值域为 y/y12 7 例 10：求函数)900(cos)cos1(sin16sin400 xxxxxy 的值域。解：00 x0 1cosx0 1)cos1()cos1(sin16si

7、n4xxxxy 1)cos1()cos1(sin16sin433xxxx=12-1=1 故：原函数的值域为y/y11 七、借助极限法 例 11、求函数321xxy的值域。解：原函数可化为：64521)32(2121xxy x+时，y 从左边21 x时，y 从右边21 故：原函数的值域为 y/y21 注：其中某些有理分式函数的值域，常可通过适当的初等交换，借助函数的极限和观察法求得。8 八、图象法 定义：根据函数关系式，作出函数图象，依据位置确定函数值域的方法叫图象法。例 12、求函数xxy的值域 解：作出数图象如右图：函数定义域是 x0 xy 函数值域为 y0 九、求初等超越函数的值域 例 13、在给定区间(0，b2 上，求函数 y=logbx的值域。解：01 时，y=logbx是增函数，x 最大值为 b2 故 x=b2时，ymax=2logbb=2 故函数值域为y/y2 2 当 0b1 时，y=logbx是减函数，x 最大值为 b2，当 x=b2时，ymin=2logbb=2 故：此时 y 的值域为y/y2 对于求函数的值域，我们虽然总结了几种方法，但y x Y=x 9 对于一些求函数值域的习题，需几种方法并用，这就需大家多做题，勤思考，才能对此类题做得得心应手。