第四章级数(答案)7357.pdf

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1、复变函数练习题 第四章 级数 系 专业 班 姓名 学号 1 复数项级数 2 幂级数 23521242211(1)1(1)sin()3!5!(21)!(1)cos1()2!4!2!1()2!nnnnnnzzzzzzzzzzzznzzzzznzzezzn 一些重要的级数 一、选择题：1下列级数中绝对收敛的是 （）11(1)ninn （）1(1)2nnnin ()2lnnnin （）1(1)2n nnni 2若幂级数0nnnc z在12zi 处收敛，那么该级数在2z 处的敛散性为 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）不能确定 1252iAbel，由定理易得 3幂级数10(1)1nnnz

2、n在|1z 内的和函数为 （）ln(1)z （B）ln(1)z （C）1ln1z （D）1ln1z 100110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111nnnnnnnnzznnnnzznzzzdzdzznnz 二、填空题：1设(1)2nni，则limnn 0 。2设幂级数0nnnc z的收敛半径为R，那么幂级数0(21)nnnnc z的收敛半径为 2R 3幂级数0!nnnnzn的收敛半径是 e 。4幂级数1npnzn（p为正整数）的收敛半径是 1 。三、解答题：1判断下列数列是否收敛如果有极限，求出它们的极限。（1）211n inienn (1)2,221(1)1limlim0

3、221lim0knkkknninkkkkk当时，由知，11(1)12,21(1)1lim021lim0knkknnnkikk当时，由知，（2）1 23 21(1)12nnnnin 1 23 211lim3lim(1)12lim3nnnnnnnneie由，可得，2判断下列级数的敛散性。若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。判断绝对收敛的两种方法：（1）绝对级数是否收敛（2）实部和虚部的绝对级数是否收敛（1）231,niiii limnni由不存在可知，级数发散 （级数收敛的必要条件）（2）35(5)(5)53!5!iii 3521555(53!5!(21)!nin 2105(21)!nnn由级数收

4、敛可知，原级数绝对收敛.（3）1sin3nnnin 11sin()32 323322332nnnnnnnnnnninn eenneennee由级数及级数收敛，可得原级数绝对收敛（4）2lnnnin 2111(1)(1)lnln 2ln(21)(1)(1)ln 2ln(21)nkknkkkkkiinkkkk由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，1111ln2ln(21)kkkk级数收敛，故原级数收敛。又由和发散，则原级数条件收敛。3求幂级数10(1)(3)nnnz的收敛半径，收敛域及和函数，并计算12nnn之值。解：由2lim11.1nnRn知，收敛半径 10=2(1)(1)31nnznz当时，原级

5、数成为，为发散级数，因而原级数的收敛域为.22120120111(3)(3)(3)1(3)112(3)3(3)(1)(3)1(3)13(1)(3)=(3)=1(3)(4)7372(1)(3)=2722(4)2nnnnnnnnzzzzzznzzznzzzznznz 故当时，4求幂级数21nnn z的和函数，并计算212nnn之值。2201111123(1)(1)1nnnnzzzzzznznzz 2023231123 24 3(2)(1)(2)(1)11121(1)11(1)(1)(1)nnnnnzznnznnzzz zn zzzzzzzz 故 211=622nnnz当时，复变函数练习题 第四章

6、级数 系 专业 班 姓名 学号 3 泰勒级数 一、选择题 1设函数coszez的泰勒展开式为0nnnc z，那么幂级数0nnnc z的收敛半径R C (A)(B)1 (C)2 (D)cos0()2cos2zezzkkzz函数在某点展成的幂级数的收敛半径等于该点和该函数的奇点中最近的距离在内解析 2函数21z在1z 处的泰勒展开式为 D (A)11(1)(1)(|1|1)nnnn zz (B)111(1)(1)(|1|1)nnnn zz (C)11(1)(|1|1)nnn zz (D)11(1)(|1|1)nnn zz 22111111111(1)(1)(1)(11)1 11(1)112(1)(

7、1)nnzzzzzzzzzzzzn zz 由，下面先对在点进行展开.注 写成求和形式中注意保持第一项是一致的 3.函数sin z在2z处的泰勒展开式为 B （A）210(1)()(|)(21)!22nnnzzn （B）20(1)()(|)(2)!22nnnzzn （C）1210(1)()(|)(21)!22nnnzzn （D）120(1)()(|)(2)!22nnnzzn sin=sin()cos()222zzz 4级数211!nnzn A (A)2(1)zz e (B)2(1)zz e (C)21zze (D)21zze 212111(1)!nnnwnnnzwwwwzww ennnw令，则其

8、中表示某一单值分支 5 11Re()!nnin B (A)cos1 (B)sin1 (C)cos1 (D)sin1 1112123111111.!111)1()(1)()!2!3!2!3!11(1)!1(1)(cos1 1sin1)(cos1 1)sin1!nnnnnznnnznnninznzzzzzzzzeznnznzzzenznzizieiiini 考虑或者2)取，则可得 二、填空题 1函数21()(1)f zz在0z 处的泰勒展开式为0()(1)(1)(1)nnnf znzz 21100011(1)11(1)(1)(1)(1)(1)(1)1nnnnnnnnnnnnzzzznznzzz 2

9、311z的幂级数展开式为30(1)nnnz，收敛域为1z 三、解答题 求收敛半径一般可以采用根值法、比值法。遇到 1把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径：（1）22221001111(1)(1)4442412nnnnnnnzzzz 12(1)2221(1)412(1)44nnnnnnzzzz 收敛半径 R=2 （在计算仅有奇数项或偶数项类型的级数的收敛半径时，可利用根值法，或者利用上述方法.）（2）240(1)cos(2)!nnnzzn 1(1)(2)!1limlim=0(22)!(1)(22)(2+1nnnnnnnn由知，）收敛半径为 2求下列各函数在指定点0z处的泰勒展开式，

10、并指出它们的收敛半径：（1）0011,111221111111=1111 22212nnnnzzzzzzzzzz 解：收敛半径 R=2 （2）01,143ziz 01011431 33(1)113(1)1 311 313(1)1 31 33(1)1 3nnnnnnziziziiiziiizii 由1121 3333lim31 3101 3nnnnniii知，收敛半径103R （3）0arctan,0z z 2422242000035211(arctan)1(1),(1)1arctan1(1)(1),(1)3521nnzzzznnnnzzzzzzzdzz dzz dzz dzzzzzzn 由于则

11、 （4）0,2(1)(2)zzzz 2110002121111122(1)(2)212423231143121211(1)2243323nnnnnnnnnzzzzzzzzzzzz 由 23221113111111849238 49 3lim=limlim11113131232 43 32433nnnnnnnnnnnnnR由知，收敛半径 复变函数练习题 第四章 级数 系 专业 班 姓名 学号 4 洛朗级数01111111nnnnnnnnnnnnnnnnnc zc zc zczc zczc z 在计算洛朗级数收敛域时，要取正幂项的收敛域和负幂项的收敛域的公共部分.正幂项：（或求幂级数收敛半径的常规

12、作法）负幂项：一、选择题：1若3(1),0,1,2,4,1,2,nnnnncn ，则幂级数nnnc z的收敛域为 A （A）11|43z （B）3|4z （C）1|4z （D）1|3z 11121113(1)1limlim33(1)3411=1444nnnnnnnnnnnnnncRcczzc zzz 计算正幂项（常规作法）：计算负幂项：2洛朗级数nnz的收敛域是 B（）0|1z （）（）1|12z （D）11|32z 3洛朗级数|2(3)nnnz的收敛域是 C（）|3|2z （）2|3|z （）1|3|22z （）1|3|2z|1|1|1|11|2(3)31322(3)22(3)21132(3

13、)2(3)2nnnnnnnnnnzzzzzzzz 4设1()(1)(4)f zz zz在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，则m C （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 1()0,1,4(1)(4)1;14;4f zzz zzzzz 的奇点有 二、填空题 1幂级数111(1)(1)(1)(2)2nnnnnnzz的收敛域为122z 2函数1zzee在0|z 的洛朗展开式为112+!nnnnzznn 3函数1()z zi在1|zi 的洛朗展式为 221232000(1)()(1)()()()nnnnnnnnnziiziizi（或）22022100022122+120011.|111111(

14、1)()()()1(1)(1)111(1)(1)+i(1)(1)()nnnnnnkkkknkkkkkkkkkkziiiz zizi ziiziziziziii aaiazizizi 此时关于，形式上看：，从而上式等于222310011(1)+i(1)kkkkkkzizi 三、解答题：1用洛朗级数展开式将2()zef zz在0|z 处展开为洛朗级数。222001()=!znnnnezzf zzznn 2把下列函数在指定的区域内展开成洛朗级数：（1）21,0|1;0|1|1(1)zzzz 222120|1;111111=(1)11=(123)1=23nnnzzzzzzzzzzznzzznzz 由于

15、 0|1|1z 222020111=(1)(1)1(1)1=(1)(1)(1)=(1)(1)nnnnnnzzzzzzz（2）0101,(1)(2)0|1|1;111(1)(2)1 1(1)1(1)1(1)nnnnzzzzzzzzzz 2220011|2|1|2|111111(1)(2)(1)(2)1(1)(2)22 1(2)(2)12nnnnnnzzzzzzzzzzz 3若C为正向圆周|3z，求积分()Cf z dz 的值，设()f z为 在洛朗级数的各个收敛圆环中，找出C所在的那个圆环，在该圆环内再进行洛朗展开 （1）1(2)z z 2220012(2)11112(1)2=(1)2(2)1n

16、nnnnnnzz zz zzzzzz在区域内解析，并可展成洛朗级数 2Cz 由 含于区域内，因而 1()=2=0Cf z dzic （2）(1)(2)zzz 0011012112112(1)(2)12111122(1)(1)(1)(21)nnnnnnnnnnzzzzzzzzzzzzzz 1()=2=21=2Cf z dzicii 故 复变函数练习题 第四章 级数 系 专业 班 姓名 学号 综 合 练 习 题 一、选择题 1若0()nnnczi在3zi发散，则它必在 （A）1z 收敛 （B）2z 发散 （C）zi 收敛 （D）以上全不正确（由 Abel 定理）2设幂级数100,nnnnnnc z

17、nc z和101nnnczn的收敛半径分别为123,R R R，则123,R R R之间的关系是 （A）123RRR （B）123RRR （C）123RRR （D）123RRR 3级数22111zzzz 的收敛域是 （A）|1z （B）0|1z （C）1|z （D）不存在的 110zz负幂项为有限项，因此，不需要保证，只需保证其解析性，也就是即可二、填空题 12cos1 1|!nnin 01011+(1)|!()!nnnniinnnnnniiiieennnnn i 2洛朗级数102(1)(1)(3)3nnnnnnzz的收敛圆环域是233z 11112(3)2132(3)23(1)(1)3313

18、33(1)(1)3nnnnnnnnzzzzzzzz 3设0(2)nnncz，在4z 收敛而在22zi发散，则其收敛半径R 2 ，该幂级数在22z 内绝对收敛。三、解答题 1.求函数1()2f zz在1z 的邻域内的泰勒展开式，并指出其收敛域。100111111(1)()11121 3333313nnnnnzzf zzzzz 2.求洛朗级数(2)nnncz的收敛圆环，其中 0!111,1,1,2,2nnnncccnnn 解：由于 1(1)!11limlimlim1(1)!(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnen 级数0(2)02nnnczze的收敛圆环为;另一方面，由于(1)11121lim

19、lim11112nnnncncn 级数1(2)21nnnczz的收敛圆环为，从而洛朗级数(2)nnncz的收敛圆环为12.ze 3把下列各函数在圆环域0|zR内展开成洛朗级数，并指出使展开式成立的R：（1）3,zez 333001()(1)!znnnnnezzzznn R=（2）221,(1)zz 22222222001111(1)1nnnnzzzzzzz R=1 4把函数211z 在下面圆环域内展开成洛朗级数：（1）0|2,zi （2）2|,zi （3）1|.z （1）211001111111()()22()1211()2()22nnnnnzizzi zizi ziii ziizizii ziii （2）22112200211111121()()2()1122()2()()nnnnnnnnizzi zizi ziiziziiiziizizizi （3）2122220121111(1)(1)111nnnnnnzzzzzz