数量关系技巧总结44248.pdf

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1、1 数量关系 1、代入排除法 优先使用代入排除法的题型：（1）多位数问题、余数问题、年龄问题、不定方程等（2）无从正面下手的题目，可以考虑代入排除 2、奇偶特性法（1）和差同性：任意两个数的和如果是奇数（偶数），那么差也是奇数（偶数），任意两个数的差如果是奇数（偶数），那么和也是奇数（偶数）。（2）任意自然数与偶数相乘，其结果必为偶数。奇偶性应用特征：1）知道和求差、知道差求和 2）二倍类，平均分 3）形如 aX+bY=c 类的不定方程 3、整除特性法 2，4，8 整除及其余数判定法则 一个数能被 2（或 5）整除，当且仅当末一位数字能被 2（或者 5）整除；一个数能被 4（或 25）整除，当

2、且仅当末两位数字能被 4（或者 25）整除；一个数能被 8（或 125）整除，当且仅当末三位数字能被 8（或者 125）整除；3，9 整除判定法则 一个数能被 3 整除，当且仅当其各位数字之和能被 3 整除；一个数能被 9 整除，当且仅当其各位数字之和能被 9 整除；4、倍数特性法 例：班级男女比例为 7:4，于是74=男生人数一定是 7 的倍数，女生人数一定是 4 的倍数，总人数一定是 11 的倍数，男女之差一定是 3 的倍数，男生人数是总人数的711 若am=bn（m，n 互质即不含有除 1 以外的公因数，m，n 不能继续约分），则 a 是 m 的倍数，b 是 n 的倍数，a-b 是 m-

3、n 的倍数 5、方程法 应用范围：和差倍比问题、鸡兔同笼、盈亏问题、工程问题、经济利润问题、行程问题等等。设未知数的原则：1）在同等情况下，优先设所求的量 2）设中间变量、份数（有分数、百分数、比例倍数特征）3）优先设小不设大 6、不定方程（组）未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）2 的方程或方程组。例如，3x+5y=41，两个未知数但是只有一个方程。1）限制性不定方程（组），未知数必须是正整数，例如未知数是人、桌子、盒子、笔等，默认未知数必须是正整数。解题技巧：奇偶特性因子倍数尾数法代入排除 2）非限制性不定方程（组），未知数不限制必须是整数，例

4、如钱、时间、重量等，不必须是正整数。此类题型出题巧妙，技巧性强。解题技巧：整体替换赋 0 法 7、工程问题（1）核心公式：工作总量=效率时间、W=et（2）常用方法：赋值法和方程法（3）常考题型：1）给定时间型：题干中只出现工作时间，未提及效率关系，叫做给定时间型。解题方法：赋值总量为时间的公倍数；求出各自的效率；分析求解 2）效率制约型：题干中对效率有制约，例如甲、乙的效率之比为 2:3，为效率制约型题目。解题方法：赋值效率；直接赋值各自效率比值，例如甲、乙的效率之比为 2:3，赋值甲的效率为 2，乙的效率为 3；分析求解 3）效率给出型：直接将效率的具体值给出，例如甲每天生产 50 个零件

5、。解题方法：直接分析求解即可。8、行程问题（1）核心公式：路程=速度时间、S=vt（2）等距离求平均速度1 2122v vv=vv+（3）流水行船问题 顺流速度=静水船速+水速 逆流速度=静水船速-水速（4）相遇追及问题 相遇距离=（大速度+小速度）相遇时间 追及距离=（大速度-小速度）追及时间 环线型 n 次相遇，共同行走的距离=n环线长度 环线型 n 次追及，追及的距离=n环线长度（5）环形相遇问题 直线型两端出发 n 次相遇，共同行走的距离=（2n-1）两地初始距离 9、排列组合（1）基本概念 加法原理：分类用加法 乘法原理：分步用乘法 排列：与顺序有关，每个人去做不同的事情 组合：与顺

6、序无关，每个人去做相同的事情（2）基本公式 排列公式：(1)(2)(1)mnAn nnnm=+3 例如：477 6 5 4A=组合公式：(1)(2)(1)!(1)(2)2 1mmnnAn nnnmCmmmm+=例如：377 6 53 2 1C=拓展题型：捆绑法：相邻问题，将相邻的元素捆绑成一个元素 插空法：不相邻问题，先对其他元素排列，然后将不相邻的元素插入空中 插板法：N 个物品分给 M 个人，每人至少分得一个，N 个物品中间有 N-1 个空，在空中插入 M-1 个板，共有种11MNC情况。错位排列：有 N 封信和 N 个信封，每封信都不装在自己对应的信封里，可能的方案数记作nD，21D=，

7、32D=，49D=，544D=，记住这五个即可。10、概率问题（1）基本概率 某种情况发生的概率=满足条件的情况数总的情况数（2）分步乘法型 分步概率=满足条件的每个步骤概率之积（3）分类加法型 总体概率=满足条件的各种情况概率之和（4）逆向计算型 某事件的概率=1-该事件不发生的概率 11、经济利润 （1）利润折扣问题：总成本=单个成本进口量；总售价=单价销售量；利润=售价-成本；总利润=总售价-总成本 1-=-（2）分段计费问题 分段计费问题主要涉及水电、资费、提成等通常分段计费问题。解题关键在于找到分段节点，分区间讨论计算 12、最值问题 最不利构造 题型特征：至少才能保证 解题方法：最

8、不利情型+1 数列构造 题型特征：最多最少 最少最多 排名第最多（少）4 解题方法：排序，所有元素进行排序；定位，求谁设谁 x；构造，根据题意构造其他元素的值；求和，所有元素求和，解 x；如果求得 x 为小数，问最少向上取整，问最多向下取整。13、几何问题 常用公式：n 边形：内角和=（n-2）180，外角和恒等于 360 圆锥（棱锥）的体积=13底面积高 等比例缩放：一个几何图形，若边长变为原来的 n 倍，则：所有对应角度不发生变化 所有对应的面积变为原来2n倍 所有对应的体积变为原来3n倍 几何最值理论：平面几何中，若周长一定，越接近于圆，面积越大；平面几何中，若面积一定，越接近于圆，周长越小；立体几何中，若表面积一定，越接近于球，体积越大；立体几何中，若体积一定，越接近于球，表面积越小；三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。14、浓度问题 =