最新高三数学(理)二轮专题复习文档：专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程12262.pdf

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1、精品文档 精品文档 第 1 讲 坐标系与参数方程 高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真 题 感 悟 1.(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x2cos，y4sin (为参数)，直线 l 的参数方程为x1tcos，y2tsin(t 为参数).精品文档 精品文档(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求 l 的斜率.

2、解(1)曲线 C 的直角坐标方程为x24y2161.当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 ytan x2tan，当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin)t80.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1，2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t20.又由得 t1t24（2cos sin）13cos2，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率 ktan 2.2.(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 yk|x|2.以坐标原

3、点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22cos 30.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程.解(1)由 xcos，ysin，得 C2的直角坐标方程为 x2y22x30，即(x1)2y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1，0)，半径为 2 的圆.由题设知，C1是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有

4、一个公共点且 l1与 C2有两个公共点.当 l1与 C2只有一个公共点时，A 到 l1所在直线的距离为 2，精品文档 精品文档 所以|k2|k212，故 k43或 k0.经检验，当 k0 时，l1与 C2没有公共点；当 k43时，l1与 C2只有一个公共点，l2与 C2有两个公共点.当 l2与 C2只有一个公共点时，A 到 l2所在直线的距离为 2，所以|k2|k212，故 k0 或 k43.经检验，当 k0 时，l1与 C2没有公共点；当 k43时，l2与 C2没有公共点.综上，所求 C1的方程为 y43|x|2.考 点 整 合 1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴

5、正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐 标、极 坐 标 分 别 为(x，y)和(，)，则xcos，ysin，2x2y2，tan yx（x0）.2.直线的极坐标方程 若直线过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为 sin()0sin(0).几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：；(2)直线过点 M(a，0)(a0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过 Mb，2且平行于极轴：sin b.精品文档 精品文档 3.圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为 r：r；(2)当圆心位于 M(r，0)

6、，半径为 r：2rcos；(3)当圆心位于 Mr，2，半径为 r：2rsin.4.直线的参数方程 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数).设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段P0P的数量.5.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为xx0rcos，yy0rsin(为参数，02).(2)椭圆x2a2y2b21 的参数方程为xacos，ybsin(为参数).热点一 曲线的极坐标方程【例 1】(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

7、 C1的极坐标方程为 cos 4.(1)设点 M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且|OM|OP|16，求点 P精品文档 精品文档 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为2，3，点 B 在曲线 C2上，求OAB 面积的最大值.解(1)设 P 的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为(1，)(10).由题设知|OP|，|OM|14cos.由|OM|OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos(0).因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0).由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB 的面积 S12|OA|Bsin

8、AOB4cos sin3 2sin23322 3.当 12时，S 取得最大值 2 3.所以OAB 面积的最大值为 2 3.探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tan yx(x0)，要注意，的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【训练 1】(2018江苏卷)在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin6 2，曲线 C的方程为 4cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.解 因为曲线 C 的极坐标方程为 4cos，所以曲

9、线 C 是圆心为(2，0)，直径为 4 的圆.因为直线 l 的极坐标方程为 sin6 2，则直线 l 过 A(4，0)，倾斜角为6，所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点.设另一个交点为 B，则OAB6.精品文档 精品文档 连接 OB.因为 OA 为直径，从而OBA2，所以 ABOAcosOAB4cos 62 3.因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3.热点二 参数方程及其应用【例2】(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x3cos，ysin(为参数)，直线 l 的参数方程为xa4t，y1t(t 为参数).(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若

10、C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.解(1)a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30.曲线 C 的标准方程是x29y21，联立方程x4y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425.则 C 与 l 交点坐标是(3，0)和2125，2425.(2)直线 l 的普通方程是 x4y4a0.设曲线 C 上点 P(3cos，sin).则 P 到 l 距离 d|3cos 4sin 4a|17|5sin（）4a|17，其中 tan 34.又点 C 到直线 l 距离的最大值为 17.|5sin()4a|的最大值为 17.若 a0，则54a17，a8.若 a0，则 54a17，a1

11、6.综上，实数 a 的值为 a16 或 a8.探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参精品文档 精品文档 方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.【训练 2】(2018石家庄调研)已知在极坐标系中，点 A2，6，B2 3，23，C是线段 AB 的中点.以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线 的参

12、数方程是x2cos，y22sin(为参数).(1)求点 C 的直角坐标，并求曲线 的普通方程；(2)设直线 l 过点 C 交曲线 于 P，Q 两点，求CPCQ的值.解(1)将点 A，B 的极坐标化为直角坐标，得 A(3，1)和 B(3，3).所以点 C 的直角坐标为(0，2).将x2cos，y22sin 消去参数，得 x2(y2)24，曲线 的普通方程为 x2(y2)24.(2)直线 l 的参数方程为xtcos，y2tsin(t 为参数，为直线 l 的倾斜角)，代入 x2(y2)24，整理得：t28tsin 120.设点 P，Q 对应的参数值分别为 t1，t2，则 t1t212，CPCQ|CP

13、|CQ|t1t2|12.热点三 极坐标与参数方程的综合应用【例 3】(2018菏泽模拟)以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线 l 的参数方程为xtcos，y2tsin(t 为参数，00).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos.(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 02，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a.解(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2(y1)2a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.将 xcos，ys

14、in 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 22sin 1a20.(2)曲线 C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 22sin 1a20，4cos.若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a20，由已知 tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而 1a20，解得 a1(舍去)，a1.a1 时，极点也为 C1，C2的公共点，且在 C3上.所以 a1.6.(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为xcos，ysin(为参数)，过点(0，2)且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点.(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨

15、迹的参数方程.解(1)O 的直角坐标方程为 x2y21.当 2时，l 与O 交于两点.当 2时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx 2.l 与O 交于两点当且仅当21k21，解得 k1，即 4，2或 2，34.精品文档 精品文档 综上，的取值范围是4，34.(2)l 的参数方程为xtcos，y 2tsin(t 为参数，434).设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP，则 tPtAtB2，且 tA，tB满足 t22 2tsin 10.于是 tAtB2 2sin，tP 2sin.又点 P 的坐标(x，y)满足xtPcos，y 2tPsin，所以点 P 的轨迹的参数方程是x22sin 2，y2222cos 2(为参数，40，则|sin cos|72.又 sin cos 2sin4 2，2，所以|sin cos|72，2.所以47|sin cos|2 77，4 27.所以2 771|MA|1|MB|4 27.