2020年中考数学基础题提分精讲精练专题16一次函数综合题44713.pdf-得力文库

资源描述

《2020年中考数学基础题提分精讲精练专题16一次函数综合题44713.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年中考数学基础题提分精讲精练专题16一次函数综合题44713.pdf（35页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1专题 16一次函数综合题考点分析【例 1】（2019浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线142yx 分别交 x 轴、y 轴于点 B，C，正方形 AOCD的顶点 D在第二象限内，E 是 BC 中点，OFDE 于点 F，连结 OE动点 P 在 AO 上从点 A向终点 O匀速运动，同时，动点 Q在直线 BC 上从某点 Q1向终点 Q2匀速运动，它们同时到达终点（1）求点 B的坐标和 OE 的长；（2）设点 Q2为(m，n)，当17nmtanEOF时，求点 Q2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点 P 运动到 AO 中点时，点 Q恰好与点 C 重合延长 AD 交直线 BC 于点 Q3，当点

2、Q在线段 Q2Q3上时，设 Q3Q s，APt，求 s 关于 t 的函数表达式当 PQ 与OEF的一边平行时，求所有满足条件的 AP 的长【答案】（1）（8，0），2 5OE；（2）（6，1）；（3）3552st，AP的长为165或3019.【解析】解：（1）令0y，则14 02x，8x，B为 8 0，.C为 0 4，在Rt BOC中，228445BC.又E为BC中点，12 52OEBC.（2）如图，作EM OC于点M，则EM CD，2CDN MEN，1CNCDMNEM，1CN MN，221 417EN.ENOF ONEM，3 4 12171717OF，由勾股定理得141717EF，7tan6

3、EOF，1 7 17 6 6nm .142nm，61mn，2Q为 61，.（3）动点P Q，同时作匀速直线运动，s关于t成一次函数关系，设s kt b，将22 5ts和455ts代入得22 5455k bk b ，解得3525kb，3552st.（）当PQ OE时，（如图），QPB EOB OBE ，3作OH x轴于点H，则12PH BHPB.36565552BQst 37552t，又2cos55QBH，143BHt，286PBt，286 12tt，165t.（）当PQ OF时（如图），过点Q作3QG AQ于点G，过点P作PH GQ于点H，由3QQGCBO得33:1:2:5QG QGQQ.33

4、552QQ st,331322QGtQGt，,33PH AG AQ QG3361722tt ，322 2QH QG AP ttt .HPQCDN，1tantan4HPQCDN，132 2742tt，3019t.4（）由图形可知PQ不可能与EF平行.综上所述，当PQ与OEF的一边平行时，AP的长为165或3019.【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题【例 2】（2019射阳县）如图，已知函数12yxb 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，与

5、函数 yx的图象交于点 M，点 M 的横坐标为 2在 x 轴上有一点 P(a，0)（其中 a2），过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数12yxb 和 yx 的图象于点 C，D（1）求点 A的坐标；（2）若 OB CD，求 a 的值【答案】（1）(6，0)；（2）4.【解析】解：（1）点 M 在直线 y=x 的图象上，且点 M 的横坐标为 2，点 M 的坐标为（2，2），把 M（2，2）代入 y=12x+b 得1+b=2，解得 b=3，5一次函数的解析式为 y=12x+3，把 y=0 代入 y=12x+3 得12x+3=0，解得 x=6，A 点坐标为（6，0）；（2）把 x=0 代入 y=12

6、x+3 得 y=3，B 点坐标为（0，3），CD=OB，CD=3，PCx 轴，C 点坐标为（a，12a+3），D 点坐标为（a，a）a（12a+3）=3，a=4考点集训1 （2019重庆中考真题）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索画函数2|yx 的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数2|2yx 和2|2|yx 的图象如图所示x3210123y64202466（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴

8、；（3）将函数2|yx 的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 3 个单位得到函数2|3|1yx 的图象所画图象如图所示，当213xx 时，12yy7【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键2（2019江苏省无锡市天一实验学校初三月考）在平面直角坐标系 xOy中，点 P 的坐标为（1x，1y），点Q的坐标为（2x，2y），且12xx，12yy，若 P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q的“相关矩形”下图为点 P，Q的“相关矩形”的示意图（1）已知点 A 的坐标为（1，0）若点 B的坐

9、标为（3，1）求点 A，B的“相关矩形”的面积；点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式；（2）O的半径为，点 M的坐标为（m，3）若在O上存在一点 N，使得点 M，N的“相关矩形”为正方形，求 m 的取值范围【答案】（1）2；1yx 或1yx ；（2）1m5 或者51m 【解析】（1）S=21=2；C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设 AC 的表达式为 y=kx+b，将 A、C 分别代入 AC 的表达式得到：8023kbkb 或023kbkb ，解得：11kb 或11kb，则直线 AC 的表达式为1yx 或1yx ；（2）若O 上存在

10、点 N，使 MN 的相关矩形为正方形，则直线 MN 的斜率 k=1，即过 M 点作 k=1 的直线，与O 有交点，即存在 N，当 k=1 时，极限位置是直线与O 相切，如图1l与2l，直线1l与O 切于点 N，ON=2，ONM=90，1l与 y 交于1P（0，-2）1M（1m，3），13(2)0m ，1m=-5，1M（-5，3）；同理可得2M（-1，3）；当 k=1 时，极限位置是直线3l与4l（与O 相切），可得3M（1，3），4M（5，3）因此 m 的取值范围为 1m5 或者51m 考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力3（2019 山东省济南汇才学校初三期中）如图所示，在平

11、面直角坐标系中，过点 A（，0）的两条直线分别交 y 轴于 B、C 两点，且 B、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程 x22x 3=0 的两个根（1）求线段 BC的长度；（2）试问：直线 AC 与直线 AB是否垂直？请说明理由；（3）若点 D在直线 AC 上，且 DB=DC，求点 D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线 BD 上是否存在点 P，使以 A、B、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由9【答案】（1）4；（2）ACAB，理由见解析；（3）D（2，1）；（4）点 P 的坐标为（3，0），（，2），（3，3），（3，3+）【解析】（1）

12、x22x3=0，x=3 或 x=1，B（0，3），C（0，1），BC=4；（2）A（，0），B（0，3），C（0，1），OA=，OB=3，OC=1，OA2=OBOC，AOC=BOA=90，AOCBOA，CAO=ABO，CAO+BAO=ABO+BAO=90，BAC=90，ACAB；（3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，把 A（，0）和 C（0，1）代入 y=kx+b，解得：，10直线 AC 的解析式为：y=x1，DB=DC，点 D 在线段 BC 的垂直平分线上，D 的纵坐标为 1，把 y=1 代入 y=x1，x=2，D 的坐标为（2，1），（4）设直线 BD 的解析式为：y=mx+n，直

13、线 BD 与 x 轴交于点 E，把 B（0，3）和 D（2，1）代入 y=mx+n，解得，直线 BD 的解析式为：y=x+3，令 y=0 代入 y=x+3，x=3，E（3，0），OE=3，tanBEC=，BEO=30，同理可求得：ABO=30，ABE=30，当 PA=AB 时，如图 1，11此时，BEA=ABE=30，EA=AB，P 与 E 重合，P 的坐标为（3，0），当 PA=PB 时，如图 2，此时，PAB=PBA=30，ABE=ABO=30，PAB=ABO，PABC，PAO=90，点 P 的横坐标为，令 x=代入 y=x+3，y=2，P（，2），当 PB=AB 时，如图 3，由勾股定理

14、可求得：AB=2，EB=6，若点 P 在 y 轴左侧时，记此时点 P 为 P1，过点 P1作 P1Fx 轴于点 F，P1B=AB=2，EP1=62，sinBEO=，FP1=3，令 y=3代入 y=x+3，x=3，12P1（3，3），若点 P 在 y 轴的右侧时，记此时点 P 为 P2，过点 P2作 P2Gx 轴于点 G，P2B=AB=2，EP2=6+2，sinBEO=，GP2=3+，令 y=3+代入 y=x+3，x=3，P2（3，3+），综上所述，当 A、B、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点 P 的坐标为（3，0），（，2），（3，3），（3，3+）考点：一次函数和三角形的综合题.4

15、（2019内蒙古初三）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图 1，四边形 ABCD 中，AD BC，点 E 为 DC 边的中点，连结 AE 并延长交 BC的延长线于点 F 求证：S四边形ABCDSABF（S 表示面积）13问题迁移：如图 2，在已知锐角AOB内有一定点 P 过点 P 任意作一条直线 MN，分别交射线 OA、OB于点 M、N 小明将直线 MN 绕着点 P 旋转的过程中发现，MON 的面积存在最小值请问当直线 MN 在什么位置时，MON 的面积最小，并说明理由实际应用：如图 3，若在道路 OA、OB之间有一村庄 Q发生疫情，防疫部分计划以公路 OA、

16、OB和经过防疫站的一条直线 MN 为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区MON若测得AOB 66，POB 30，OP 4km，试求MON 的面积（结果精确到 0.1km2）（参考数据：sin660.91，tan662.25，31.73）拓展延伸：如图 4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A、B、C、P 的坐标分别为（6，0）、（6，3）、9922，、（4，2），过点 P 的直线 l 与四边形 OABC一组对边相交，将四边形 OABC分成两个四边形，求其中以点 O为顶点的四边形的面积的最大值【答案】问题情境：见解析问题迁移：见解析实际运用：2MONS10.3 km。拓展延伸：截得四边形面

17、积的最大值为 10【解析】问题情境：证明：ADBC，DAE=F，D=FCE。点 E 为 DC 边的中点，DE=CE。14在ADE 和FCE 中，DAEF DFCEDECE ，ADEFCE（AAS）。SADE=SFCE。S四边形ABCE+SADE=S四边形ABCE+SFCE，即 S四边形ABCD=SABF。问题迁移：当直线旋转到点 P 是 MN 的中点时 SMON 最小，理由如下：如图 2，过点 P 的另一条直线 EF 交 OA、OB 于点 E、F，设 PFPE，过点 M 作 MGOB 交 EF 于 G，由问题情境可以得出当 P 是 MN 的中点时 S四边形MOFG=SMON。S四边形MOFGS

18、EOF，SMONSEOF。当点 P 是 MN 的中点时 SMON最小。实际运用：如图 3，作 PP1OB，MM1OB，垂足分别为 P1，M1，在 RtOPP1中，POB=30，PP1=12OP=2，OP1=23。由问题迁移的结论知，当 PM=PN 时，MON 的面积最小，MM1=2PP1=4，M1P1=P1N。在 RtOMM1中，11MMtan AOBOM，即142.25OM，15116OM9。1 1116M PP N2 39。111616ONOPP N2 3 2 34 399。2MON1111616SON MM4 348310.3 km2299。拓展延伸：如图 4，当过点 P 的直线 l 与

19、四边形 OABC 的一组对边 OC、AB 分别交于点 M、N，延长 OC、AB 交于点 D，C992 2，AOC=45。AO=AD。A（6，0），OA=6。AD=6。AOD1S6 6182 。由问题迁移的结论可知，当 PN=PM 时，MND 的面积最小，四边形 ANMO 的面积最大。作 PP1OA，MM1OA，垂足分别为 P1，M1，M1P1=P1A=2。OM1=M1M=2，MNOA。OMM1OANMANPP11SSS2 22 4102 四边形四边形。如图 5，当过点 P 的直线 l 与四边形 OABC 的另一组对边 CB、OA 分别交 M、N，延长 CB 交 x 轴于 T，设直线 BC 的解

20、析式为 y=kx+b，16C9 92 2，、B（6，3），99k b 226k b 3 ，解得：k1b 9。直线 BC 的解析式为yx9 。当 y=0 时，x=9，T（9，0）。OCT1981S9224 。由问题迁移的结论可知，当 PM=PN 时，MNT 的面积最小，四边形 CMNO 的面积最大。NP1=M1P1，MM1=2PP1=4。4x9 ，解得 x=5。M（5，4）。OM1=5。P（4，2），OP1=4。P1M1=NP1=1。ON=3。NT=6。MNT1S4 6122 。OCMN8133S121044四边形。综上所述：截得四边形面积的最大值为 10。5（2019 贵州初三）如图，在平面直

21、角坐标系中，一次函数 y=23x+4 的图象与 x 轴和 y 轴分别相交于 A、B 两点动点 P 从点 A出发，在线段 AO上以每秒 3 个单位长度的速度向点 O 作匀速运动，到达点 O 停止运动，点 A关于点 P 的对称点为点 Q，以线段 PQ为边向上作正方形 PQMN 设运动时间为 t 秒（1）当 t=13秒时，点 Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形 PQMN与AOB重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数表达式；（3）若正方形 PQMN对角线的交点为 T，请直接写出在运动过程中 OT+PT 的最小值17【答案】（1）（4，0）；（2）当 0t1 时，S=334t2；当 1t43

22、时，S=394t2+18t；当43t2 时，S=3t2+12；（3）OT+PT 的最小值为3 2【解析】（1）令 y=0，23x+4=0，x=6，A（6，0），当 t=13秒时，AP=313=1，OP=OAAP=5，P（5，0），由对称性得，Q（4，0）；（2）当点 Q 在原点 O 时，OQ=6，AP=12OQ=3，t=33=1，当 0t1 时，如图 1，令 x=0，y=4，B（0，4），18OB=4，A（6，0），OA=6，在 RtAOB 中，tanOAB=2=3OBOA，由运动知，AP=3t，P（63t，0），Q（66t，0），PQ=AP=3t，四边形 PQMN 是正方形，MNOA，PN=

23、PQ=3t，在 RtAPD 中，tanOAB=233PDPDAPt，PD=2t，DN=t，MNOADCN=OAB，tanDCN=23DNtCNCN，CN=32t，S=S正方形PQMNSCDN=（3t）212t32t=334t2；当 1t43时，如图 2，同的方法得，DN=t，CN=32t，S=S矩形OENPSCDN=3t（63t）12t32t=394t2+18t；当43t2 时，如图 3，S=S梯形OBDP=12（2t+4）（63t）=3t2+12；19（3）如图 4，由运动知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0），M（6-6t，3t），T 是正方形 PQMN 的对角线交点，T（6-93,2

24、2tt），点 T 是直线 y=-13x+2 上的一段线段，（-3x6），同理：点 N 是直线 AG：y=-x+6 上的一段线段，（0 x6），G（0，6），OG=6，A（6，0），AG=62，在 RtABG 中，OA=6=OG，OAG=45，PNx 轴，APN=90，ANP=45，TNA=90，即：TNAG，T 正方形 PQMN 的对角线的交点，TN=TP，OT+TP=OT+TN，点 O，T，N 在同一条直线上（点 Q 与点 O 重合时），且 ONAG 时，OT+TN 最小，即：OT+TN 最小，SOAG=12OAOG=12AGON，ON=OAOGAG=3 220即：OT+PT 的最小值为 3

25、2【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点 T 的位置是解本题（3）的难点6（2019武汉市第八中学初三期中）如图，直线 MN 与 x 轴，y 轴分别相交于 A，C 两点，分别过 A，C 两点作 x 轴，y 轴的垂线相交于 B点，且 OA，OC（OA OC）的长分别是一元二次方程 x214x+48=0 的两个实数根（1）求 C 点坐标；（2）求直线 MN 的解析式；（3）在直线 MN 上存在点 P，使以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出 P 点的坐标

26、【答案】（1）C（0，6）（2）y=34x+6（3）P1（4，3），P2（32 545 5，）P3（32 65 5，），P4（256422525，）【解析】（1）解方程 x2-14x+48=0 得21x1=6，x2=8OA，OC（OAOC）的长分别是一元二次方程 x2-14x+48=0 的两个实数根OC=6，OA=8C（0，6）（2）设直线 MN 的解析式是 y=kx+b（k0）由（1）知，OA=8，则 A（8，0）点 A、C 都在直线 MN 上解得，直线 MN 的解析式为 y=-x+6（3）A（8，0），C（0，6）根据题意知 B（8，6）点 P 在直线 MN y=-x+6 上设 P（a，-

27、a+6）当以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：当 PC=PB 时，点 P 是线段 BC 的中垂线与直线 MN 的交点，则 P1（4，3）；当 PC=BC 时，a2+（-a+6-6）2=64解得，a=，则 P2（-，），P3（，）22当 PB=BC 时，（a-8）2+（-a+6-6）2=64解得，a=，则-a+6=-P4（，）综上所述，符合条件的点 P 有：P1（4，3），P2(-，)，P3(，)，P4（，-）考点：一次函数综合题7 （2019辽宁中考真题）在平面直角坐标系中，直线 ykx+4（k0）交 x 轴于点 A（8，0），交 y 轴于点 B，（1）k 的值是

28、；（2）点 C 是直线 AB 上的一个动点，点 D 和点 E 分别在 x 轴和 y 轴上如图，点 E 为线段 OB 的中点，且四边形 OCED 是平行四边形时，求OCED 的周长；当 CE 平行于 x 轴，CD 平行于 y 轴时，连接 DE，若CDE 的面积为334，请直接写出点 C 的坐标【答案】（1）12；（2）OCED 的周长 8+45；C 的坐标为（3，112）或（11，32）【解析】（1）将 A（8，0）代入 ykx+4，得：08k+4，解得：k12故答案为12（2）由（1）可知直线 AB 的解析式为 y12x+4当 x0 时，y12x+44，点 B 的坐标为（0，4），OB4点 E

29、为 OB 的中点，BEOE12OB223点 A 的坐标为（8，0），OA8四边形 OCED 是平行四边形，CEDA，1BCBEACOE，BCAC，CE 是ABO 的中位线，CE12OA4四边形 OCED 是平行四边形，ODCE4，OCDE在 RtDOE 中，DOE90，OD4，OE2，DE222 5ODOE，C平行四边形OCED2（OD+DE）2（4+25）8+45设点 C 的坐标为（x，12x+4），则 CE|x|，CD|12x+4|，SCDE12CDCE|14x2+2x|334，x2+8x+330 或 x2+8x330方程 x2+8x+330 无解；解方程 x2+8x330，得：x13，

30、x211，点 C 的坐标为（3，112）或（11，32）【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、勾股定理、24平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出 k 值；（2）利用勾股定理及三角形中位线的性质，求出 CE，DE 的长；利用三角形的面积公式结合CDE 的面积为334，找出关于 x 的方程8 （2019四川中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知(0,2)A，动点P在33yx的图像上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ AP，交x轴于点Q，连接AQ（1）求线

31、段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动过程中，QAP是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由（3）当OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标【答案】（1）3AP；（2）QAP为定值，QAP=30；（3）1(234,0)Q，2(234,0)Q，3(2 3,0)Q，42 3(,0)3Q【解析】解：（1）作AH OP，则AP AH点P在33yx的图像上30HOQ，60HOA(0,2)A，sin603AH AO 3AP 25（2）当点P在第三象限时，由90QPA QOA ，可得Q、P、O、A四点共圆，30PAQ POQ 当点P在第一象的线段OH上时，由90QPA QOA ，可得Q、P、O、A四

32、点共圆，180PAQ POQ，又此时150POQ18030PAQPOQ 当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由90QPA QOA ，可得180APQ AOQ，Q、P、O、A四点共圆，30PAQ POQ （3）设3(,)3Pmm，则APl：3623mymPQ AP，32 3PQmkmPQl：33()32 3myx mmm42 3(,0)3mQ2243OPm，22161643993OQmm224443993PQmm当OP OQ时，则2241616433993mmm整理得：24330mm 解得：2 33m1(234,0)Q，2(234,0)Q当PO PQ时，则22444433993mmm26整理

33、得：2233 0mm 解得：32m或3m 当32m时，Q点与O重合，舍去，3m，3(2 3,0)Q 当QO QP时，则2216164 44433993 993mmmm 整理得：230mm解得：3m42 3(,0)3Q27【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判定和性质以及圆的相关性质等知识点，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏9 （2019浙江中考模拟）如图，Rt OAB的直角边 OA 在 x 轴上，顶点 B的坐标为（6，8），直线 CD 交 AB于点 D（6，3），交 x 轴于点 C（12，0）（1）求直线 CD 的函数表达式；（2）动点 P

34、在 x 轴上从点（10，0）出发，以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动，过点 P 作直线 l垂直于 x 轴，设运动时间为 t点 P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA=B？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；请探索当 t 为何值时，在直线 l 上存在点 M，在直线 CD 上存在点 Q，使得以 OB 为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时 t 的值【答案】（1）直线 CD 的解析式为 y=12x+6；（2）满足条件的点 P 坐标为（154，0）或（334，0）满足条件的 t 的值为92+895或92895【解析】（1）设直线 CD 的解析式为 y

35、=kx+b，则有2812063k bk b ，解得126kb，直线 CD 的解析式为 y=12x+6（2）如图 1 中，作 DPOB，则PDA=BDPOB，PAADAOAB，368PA，94PA，OP=69 1544，P（154，0），根据对称性可知，当 AP=AP时，P（334，0），满足条件的点 P 坐标为（154，0）或（334，0）如图 2 中，当 OP=OB=10 时，作 PQOB 交 CD 于 Q直线 OB 的解析式为 y=43x，29直线 PQ 的解析式为 y=43x+403，由44033162yxyx，解得48xy，Q（4，8），PQ=226+8=10，PQ=OBPQOB，四边

36、形 OBQP 是平行四边形OB=OP，四边形 OBQP 是菱形，此时点 M 与的 Q 重合，满足条件，t=0如图 3 中，当 OQ=OB 时，设 Q（m，12m+6），则有 m2+（12m+6）2=102，解得 m=12895，点 Q 的横坐标为12+895或12895，设点 M 的横坐标为 a，则有：128960522a或128960522a，a=42+895或42895，30满足条件的 t 的值为92+895或92895点睛：本题考查了一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交

37、点坐标10（2013 山东中考真题）如图，直线142yx 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线yx交于点 C 在线段 OA 上，动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点 A 出发向点 O 做匀速运动，当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，交直线 AB、OC 于点 E、F，连接 EF若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形（点 P、Q 重合除外）（1）求点 P 运动的速度是多少？（2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？（3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积

38、S 最大？并求出最大值【答案】（1）点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度；（2）2 秒或 4 秒；（3）当 t=4 时，S 的最大值为：16.【解析】解：（1）直线142yx 与坐标轴分别交于点 A、B，x=0 时，y=4；y=0 时，x=8BO=4，AO=84182BOAO.当 t 秒时，QO=FQ=t，则 EP=t，EPBO，ABOAEP.31BOAOEPAP，即12BOEPAOAP.AP=2t动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度.（2）当 OP=OQ 时，PE 与 QF 重合，此时 t=83，当点 P、Q

39、其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分 0t83和83t4 两种情况讨论：如图 1，当 0t83,即点 P 在点 Q 右侧时，若 PQ=PE，矩形 PEFQ 为正方形，OQ=FQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t.83t=t.解得：t=2如图 2，当83t4，即点 P 在点 Q 左侧时，若 PQ=PE，矩形 PEFQ 为正方形，OQ=t，PA=2tOP=82tQPt(82t)3t8 38tt 32解得：t=4.当 t 为 2 秒或 4 秒时，矩形 PEFQ 为正方形.（3）同（2）分 0t83和83t4 两种情况讨论：如图 1，当 0t83时，Q 在 P 点的左边OQ=t，PA=2t，

40、QP=8t2t=83t，22416(83)83333SSQP QFttttt矩PEFQ 当 t=43时，S 的最大值为163，如图 2，当83t4 时，Q 在 P 点的右边，OQ=t，PA=2t，QPt(82t)3t8 .22416SSQP QF(3t8)t3t8t3 t33PEFQ矩形 .当83t4 时，S 随 t 的增大而增大，t=4 时，S 的最大值为：34284=16.综上所述，当 t=4 时，S 的最大值为：16.【点睛】本题考查一次函数的综合，相似三角形性质，二次函数最值.能根据题意表示相关线段的长度是解决此题的关键.11（2019浙江中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两

41、点(,)A ab，(,)Bcd，若点(,)Txy满足3a cx，3b dy，那么称点T是点A，B的融合点.例如：(1,8)A，(4,2)B，当点(,)Txy满是1413x，8(2)23y时，则点(1,2)T是点A，B的融合点，33（1）已知点(1,5)A，(7,7)B，(2,4)C，请说明其中一个点是另外两个点的融合点.（2）如图，点(3,0)D，点(,23)Ett 是直线l上任意一点，点(,)Txy是点D，E的融合点.试确定y与x的关系式.若直线ET交x轴于点H，当DTH为直角三角形时，求点E的坐标.【答案】（1）点(2,4)C是点A，B的融合点；（2）21yx，符合题意的点为13,62E，

42、2(6,15)E.【解析】（1）解：1 723，5 743点(2,4)C是点A，B的融合点（2）解：由融合点定义知33tx，得33tx又0(2 3)3ty，得332yt33332yx，化简得21yx要使DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：（i）当90THD 时，如图 1 所示，34设(,21)Tm m，则点E为(,23)m m由点T是点E，D的融合点，可得33mm或(23)0213mm ，解得32m，点13,62E（ii）当90TDH 时，如图 2 所示，则点T为(3,5)由点T是点E，D的融合点，可得点2(6,15)E（iii）当90HTD 时，该情况不存在综上所述，符合题意的点为13,6

43、2E，2(6,15)E【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理得运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解12 （2019北京中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线 l：10y kx k与直线x k，直线yk 分别交于点 A，B，直线x k与直线yk 交于点C（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记线段ABBCCA，围成的区域（不含边界）为W35当2k 时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围【答案】（1）直线l与y轴交点坐标为（0,1）；（2）整点有（0，-1），（0,0），（1，-1），（1,0），（1,

44、1），（1,2）共 6 个点，-1k0 或 k=-2.【解析】解：（1）令 x=0，y=1，直线 l 与 y 轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1），B1,kkk，C（k，-k），当 k=2 时，A（2，5），B3,22，C（2，-2），在 W 区域内有 6 个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；直线 AB 的解析式为 y=kx+1，当 x=k+1 时，y=-k+1，则有 k2+2k=0，k=-2，当 0k-1 时，W 内没有整数点，当 0k-1 或 k=-2 时 W 内没有整数点；【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据 k 变化分析 W 区域内整数点的情况是解题的关键

展开阅读全文