附录G惯性积与主惯性矩12298.pdf

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1、1 y z y z y 附录 G 惯性积与主惯性矩 题号 页码 G-1.1 G-2.1 G-3.2 G-4.3 （也可通过左侧题号书签直接查找题目与解）G-1 试证明下列截面的形心轴均为主形心轴，且截面对这些主形心轴的惯性矩均相 同。提示：本题可用两种方法来证明。1用解析法（1）建立形心坐标（y、z）；（2）求 I y、I z、I yz，这里必有 I y 题 G-1 图 I z 及 I yz 0；（3）将坐标转任意角 ，得坐标（y1、z1），计算得到 I I ，I 1 1 1 1 0 及 I 1 I y 由于 是任意的，这就证明了原命题。2用几何法 以 I y 为横坐标，以 I yz 为纵坐标

2、，画“惯性圆”，发现是一个落在横坐标轴上的点圆。欲 证的结论一目了然。G-2 试计算图示矩形截面对 AA 轴的惯性矩。2 题 G-2 图 解：可将图 G-2 所示矩形视为由两个底 b 13a、高 h 6a/13 的三角形组成。借助平行移轴公式，由公式（A 16）不难得到三角形对其底边的惯性矩 bh 3 I z 12 这里，b 为底，h 为高，z 轴与底边重合。参照图 G-2，得该截面对 z 轴（即 AA 轴）的惯性矩为 1 I z 2 (12 13a)(6a)3 13 36 a 4 13 I AA G-3 图示矩形截面，试确定 A 点的主轴方位及截面对该主轴的惯性矩。3 题 G-3 图 解：坐

3、标取如图 G 3，并设边长 b 20mm，h 30mm，我们有 3 I hb bh(b)2 (1 0.030 0.0203 0.020 0.030 0.0102)m4 8.00 108 m4 y 12 3 2 12 I bh bh(h)2 (1 0.020 0.0303 0.020 0.030 0.0152)m4 1.800 10 7 m4 z 12 2 12 2 2 I (bh)(b)(h)b h 1 (0.020)2 (0.030)2 m4 9.00 108 m4 yz 2 2 4 4 依据公式（G 7）和（G 8），得 2 (0.900 108)2 arctan 60.945o，30.4

4、7o 1.800 107 8.00 108 I y 8.00 108 1.800 107 2 8.00 108 1.800 107 2 cos(60.945o)(9.00 108)sin(60.945o)m 4 2.70 108 m4 2.70 104 mm 4 I z 8.00 10 8 1.800 10 7 2 8.00 10 8 1.800 10 7 2 cos(60.945o)(9.00 10 8)sin(60.945o)m 4 2.33 10 7 m 4 2.33 105 mm 4 G-4 试求图示各截面的主形心轴位置及主形心惯性矩。4 y z 3 3 3 C C 题 G-4 图(a

5、)解：坐标示如图 G 4(a)，由附录 C 可得 I hb 0.060 0.045 m 4 1.519 10 7 m 4 y 36 bh 3 I z 36 36 0.045 0.060 36 m 4 2.70 10 7 m 4 I yz I Ay z 0 0 2 b 2 h 2 24 2 (bh)(2 h)(3 b)3 b 2 h 2 72 进而可由 0.045 0.060 72 m 4 1.013 10 7 m 4 5 y z 3 2I tan2 yz 2 (1.013 107)1.715 I z I y 得 2.70 10 7 1.519 10 7 2 59.75o，29.88o 29.9

6、o 最后得到 I y I z 1.519 10 7 2.70 10 7 2 1.519 10 7 2.70 10 7 2 cos(59.75o)m(1.013 10 7)sin(59.75o)m 4 I 9.37 10 8 m 4 9.37 10 4 mm 4，I 3.28 10 7 m 4 3.28 10 5 mm 4 (b)解：坐标示如图 G 4(b)，有 I 0.030 0.040 z 12 m 4 1.600 10 7 m 4 I y 0.040 0.0103 12 0.040 0.0203 36 1 0.040 0.020 2(0.005 0.020)2 2m 4 1.300 10

7、7 m 4 3 I 1 0.040 0.020 (0.020 0.040)(0.005 0.020)2m 4 yz 2 3 3 6.22 10 8 m 4 由 tan2 2 (6.22 108)4.147 1.600 107 1.300 107 得 2 76.44o，38.22o 38.2o 最后得 6 y z I y 1.300 10 7 1.600 10 7 1.300 10 7 1.600 10 7 I z 2 cos(76.44o)2 m(6.22 10 8)sin(76.44o)m 4 I 8.10 10 8 m 4 8.10 10 4 mm 4，I 2.09 10 7 m 4 2.

8、09 105 mm 4 (c)解：坐标示如图 G 4(c)，C 为截面形心。y (80 10 40 50 10 5)10 3 m 26.54 10 3 m C 80 10 50 10 z (70 10 5 60 10 30)10 3 m 16.54 10 3 m C 70 10 60 10 3 3 I z 10 80 80 10 (40 26.54)2 50 10 50 10 12 12(26.54 5)2 10 12 m 4 8.078 10 7 m 4 3 3 I 10 60 y 12 60 10 (30 16.54)2 70 10 12 70 10 I yz 由(16.54 5)2 10

9、 12 m 4 3.878 10 7 m 4 80 10 (26.54 40)(5 16.54)50 10 (26.54 5)(10 50 16.54)10 12 m 4 3.231 10 7 m 4 2 tan2 2 3.231 107 1.539(8.078 3.878)107 得 2 56.98o，28.49o 28.5o 最后得到 7 y z I y I z(3.878 8.078)10-7 2(3.878 8.078)10-7 2 cos56.98o m 3.231 10 7 sin56.98o m 4 I 2.13 10 7 m 4 2.13 105 mm 4，I 9.83 10

10、7 m 4 9.83 105 mm 4 (d)解：坐标示如图 G 4(d)。1确定总面积形心位置 yC A1 y1 A2 y2 A1 A2 0 2131.6 (70 10)10 3 m 37.63 10 3 m y 120 20 2131.6 C1 zC A1 z1 A2 z 2 A1 A2 (120 20)60 2131.6 16.7 10 3 m 39.63 10 3 m(120 20)2131.6 2确定分面积形心位置 yC2 z (80 37.63)10 3 m 42.37 10 3 m (60 39.63)10 3 m 20.37 10 3 m C1 z C2 (39.63 16.7

11、)10 3 m 22.93 10 3 m 3求 I z、I y 及 I yz 8 3 y z I 120 20 z 12 (120 20)37.63 2 609 10 4 2131.6 42.37 2 10 12 m 4 1.340 10 5 m 4 3 I 20 120 y 12 (120 20)20.37 2 61.1 10 4 2131.6 22.93 2 10 12 m 4 I yz 5.608 10 6 m 4 (120 20)(37.63)20.37 2131.6 42.37 (22.93)10 12 m 4 3.911 10 6 m 4 4确定主形心轴方位 由 tan2 2 (3.911 106)1.004 1.340 105 5.608 106 得 2 45.11o，22.56o 22.6o 5计算主形心惯性矩 I y (5.608 13.40)106(5.608 13.40)106 cos(-45.11o)I z 2 2 m(3.911 10 6)sin(-45.11o)m4 I 3.98 10 6 m4 3.98 106 mm4，I 1.502 10 5 m4 1.502 107 mm4