费马点证明5348.pdf

《费马点证明5348.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《费马点证明5348.pdf（2页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 费马点定义 在一个三角形中，到 3 个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。(1)若三角形 ABC 的 3 个内角均小于 120，那么 3 条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。(2)若三角形有一内角不小于 120 度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。费马点的判定 （1）对于任意三角形ABC，若三角形内或三角形上某一点 E,若 EA+EB+EC有最小值,则 E 为费马点。费马点的计算 （2）如果三角形有一个内角大于或等于 120，这个内角的顶点就是费马点；如果 3 个内角均小于 120，则在三角形内部对 3 边张角均为 120的点，是三角形的费

2、马点。证明 我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形 (1)费马点对边的张角为 120 度。CC1B 和AA1B 中,BC=BA1,BA=BC1,CBC1=B+60 度=ABA1,CC1B 和AA1B 是全等三角形,得到PCB=PA1B 同理可得CBP=CA1P 由PA1B+CA1P=60 度，得PCB+CBP=60 度,所以CPB=120 度 同理,APB=120 度，APC=120 度 (2)PA+PB+PC=AA1 将BPC 以点 B 为旋转中心旋转 60 度与BDA1 重合，连结 PD，则PDB 为等边三角形，所以BPD=60 度 又BPA=120 度，因此 A、P、D 三点在同一直线上

3、，又CPB=A1DB=120 度，PDB=60 度，PDA1=180 度，所以 A、P、D、A1 四点在同一直线上，故 PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC 最短 在ABC 内任意取一点 M（不与点 P 重合），连结 AM、BM、CM，将BMC以点 B 为旋转中心旋转 60 度与BGA1 重合，连结 AM、GM、A1G(同上)，则 AA1A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点 A、B、C 的距离最短。费马点性质：(1)平面内一点 P 到ABC 三顶点的之和为 PA+PB+PC，当点 P 为费马点时，距 离之和最小。(2)三内角皆小于 120的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角 形 ABC1,ACB1,BCA1,然后连接 AA1,BB1,CC1,则三线交于一点 P,则点 P 就是所求 的费马点.(3).若三角形有一内角大于或等于 120 度,则此钝角的顶点就是所求.