2015年中考数学专题复习全等与相似含答案整理1869.pdf

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1、专题 全等与相似 一 1（2012 年，）如图，已知ABC，ABAC1，A36，ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是_，cosA的值是_(结果保留根号)考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 分析：可以证明ABCBDC，设ADx，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DEAB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出 cosA的值 2（2012 年，）(12 分)如图，在ABC中，BAC90，ABAC6，D为BC的中点(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AECF，求证：AEDCFD；(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒 1

2、个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式 二.1.（2012，22，12 分）如图 1，在ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边 AB上，BDG 与四边形 ACDG 的周长相等，设 BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段 BG 的长；解：（2）求证：DG 平分EDF;证：（3）连接 CG，如图 2，若BDG 与DFG 相似，求证：BGCG.证：2（2012）如图，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上的两点

3、，AECF，AE=CF，BE=DF求证：ADECBF ABCDEFGABCDEFGA B C D 3（2012 年，）如图，在ABC中，ABAC10cm，BC12cm，点D是BC边的中点点P从点B出发，以acm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以 1cm/s 的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts(1)若a2，BPQBDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形 若a 5 2，求PQ的长；是否存在实数a，使得点P在ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由 4（2012

4、）如图，在ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在 BC 的延长线上，且 BE=CF求证：BAE=CDF 5（2012资阳）（1）如图（1），正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，直接写出 HD：GC：EB 的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2），求 HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知 DA：AB=HA：AE=m：n，此时 HD：GC：EB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）6（2012 年，）（12 分）如图，

5、ABC是边长为 6 的等边三角形，P 是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重 合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同 的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重 合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D.（1）当OBQD30时，求AP的长；（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改 变，请说明理由 7（2012 年，）如图13 1，点E是线段BC的中点，分别以BC，为直角顶点的EABEDC和均是等腰直角三角形，且在BC的同侧 （1）AEED和的数量关系为_，AEED和的位置关系为_；（2）在图13 1中，以点E为位似中心，作EGF与EA

6、B位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GHHD，分别得到了图132和图133；在图132中，点F在BE上，EGFEAB与的相似比是1:2，H是EC的中点.求证：.GHHDGHHD，在图133中，点F在BE的延长线上，EGFEAB与的相似比是k:1，若2BC，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GHHDGHHD且（用含k的代数式表示）8、（2012 年，）（10 分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图 1，在ABCDY中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G，若3AF

7、BF，求CDCG的值。（1）尝试探究 在图 1 中，过点 E 作EHAB交 BG 于点 H，则 AB 和 EH 的数量关系是 ，CG 和 EH 的数量关系是 ，CDCG的值是 （2）类比延伸 如图 2，在原题的条件下，若(0)AFm mBF则CDCG的值是 （用含m的代数式表示），试写出解答过程。（3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若,(0,0)ABBCab abCDBE，则AFEF的值是 （用含,a b的代数式表示）.9.（2012 年，）（本小题 7 分）如图，在AEC 和DFB 中，E=F，点 A，B，C，D 在同一直线上，有如

8、下三个关系式：AEDF，AB=CD，CE=BF。（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果，那么”）；（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。答案：一 1.解答：解：ABC，ABAC1，A36，ABCACB180A272 BD是ABC的平分线，ABDDBC12ABC36 ADBC36，又 CC，ABCBDC，ACBCBCCD，设ADx，则BDBCx则1xx1x，解得：x512(舍去)或512 故x 512 如右图，过点D作DEAB于点E，ADBD，E为AB中点，即AE12AB12 在 RtAED中，cosAAEAD1

9、2512514 故答案是：512；514 点评：ABC、BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求 cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解 2(1)证明:BAC 90 ABAC6,D为BC中点 BADDACBC45 1 分 ADBDDC 2 分 AECF AEDCFD 3 分 A B C D E(2)依题意有:FCAEx 4 分 AEDCFD ADFCFDADFAEDAEDFSSSSS四边形 5 分 SADC9 6 分 9321)6(2192xxxxSSSAEFAEDFEDF四边形 93212xxy 7 分(3)依题意有：AFBEx6，ADDB，A

10、BDDAC45 DAFDBE135 8 分 ADFBDE 9 分 ADFBDESS 10 分 EDFEAFADBSSS 11 分 211(6)93922xxxx 93212xxy 12 分 二.1.解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知ABC 的边长，由三角形中位线性质知cDEbDF21,21，根据BDG 与四边形 ACDG 周长相等，可得2cbBG.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证.（3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.解（1）D、C、F 分别是ABC 三边中点 DE21AB,DF21AC，又

11、BDG 与四边形 ACDG 周长相等 即 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG BG=AC+AG BG=ABAG BG=2ACAB=2cb（2）证明：BG=2cb，FG=BGBF=2cb22bc FG=DF,FDG=FGD 又DEAB EDG=FGD FDG=EDG DG 平分EDF （3）在DFG 中，FDG=FGD,DFG 是等腰三角形,BDG 与DFG 相似,BDG 是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,则 CD=BD=DG,B、CG、三点共圆,BGC=90,BGCG 点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.考点：

12、全等三角形的判定。第 26 题图 1 解答：证明：AECF AED=CFB，（3 分）DF=BE，DF+EF=BE+EF，即 DE=BF，（6 分）在ADE 和CBF 中，BFDECFBAEDCFAE，（9 分）ADECBF（SAS）（10 分）2.（2012 年，）（本小题满分 7 分）如图（8），已知在平行四边形ABCD中，BEDF.求证：DAEBCF.【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】根据平行四边形性质求出 ADBC，且 AD=BC，推出ADE=CBF，求出 DE=BF，证ADECBF，推出DAE=BCF 即可【解答】证明：四边形ABCD

13、为平行四边形 ADBC,且AD=BC ADE=BCF 2 分 又BE=DF,BF=DE 1 分 ADECBF 2 分 DAE=BCF 2 分【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出ADE 和CBF 全等的三个条件，主要考查学生的推理能力 3.【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质【专题】几何综合题【分析】（1）由ABC 中，AB=AC=10 厘米，BC=12 厘米，D 是 BC 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD 与 CD 的长，又由 a=2，BPQBDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可

14、求得 t 的值；（2）首先过点 P 作 PEBC 于 E，由四边形 PQCM 为平行四边形，易证得 PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程 5 2 t 10=1 2(6-t)6，解此方程即可求得答案；首先假设存在点P在ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得 t 值为负，故可得不存在【解答】解：（1）ABC 中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D 是 BC 的中点，BD=CD=1 2 BC=6cm，a=2，BP=2tcm，DQ=tcm，BQ=BD-QD=6-t（cm），BP

15、QBDA，BP BD=BQ AB，即 2t 6=6-t 10，解得：t=18 13；（2）过点 P 作 PEBC 于 E，四边形 PQCM 为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM：AC，AB=AC，PB=CM，PB=PQ，A B C D E F 图（8）BE=1 2 BQ=1 2（6-t）cm，a=5 2，PB=5 2 tcm，ADBC，PEAD，PB：AB=BE：BD，即 5 2 t 10=1 2(6-t)6，解得：t=3 2，PQ=PB=5 2 t=15 4（cm）；不存在理由如下：四边形 PQCM 为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM：A

16、C，AB=AC，PB=CM，PB=PQ 若点 P 在ACB 的平分线上，则PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM，CPM=PCM，PM=CM，四边形 PQCM 是菱形，PQ=CQ，PB=CQ，PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），即 at=6+t，PMCQ，PM：BC=AP：AB，6+t 12=10-at 10，化简得：6at+5t=30，把代入得，t=-6 11，不存在实数 a，使得点 P 在ACB 的平分线上【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识

17、此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用 4.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：首先根据平行四边形的性质可得 AB=DC，ABDC，再根据平行线的性质可得B=DCF，即可证明ABEDCF，再根据全等三角形性质可得到结论 解答：证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=DC，ABDC，B=DCF，在ABE 和DCF 中，ABEDCF（SAS），BAE=CDF 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是找到证明ABEDCF 的条件 5.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质。分

18、析：（1）首先连接 AG，由正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，易证得GAE=CAB=45，AE=AH，AB=AD，即 A，G，C 共线，继而可得 HD=BE，GC=BE，即可求得 HD：GC：EB 的值；（2）连接 AG、AC，由ADC 和AHG 都是等腰直角三角形，易证得DAHCAG 与DAHBAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得 HD：GC：EB 的值；（3）由矩形 AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上，由 DA：AB=HA：AE=m：n，易证得ADCAHG，DAHCAG，ADHABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即

19、可求得 HD：GC：EB 的值 解答：解：（1）连接 AG，正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，GAE=CAB=45，AE=AH，AB=AD，A，G，C 共线，ABAE=ADAH，HD=BE，AG=AE，AC=AB，GC=ACAG=ABAE=（ABAE）=BE，HD：GC：EB=1：1（3 分）（2）连接 AG、AC，ADC 和AHG 都是等腰直角三角形，AD：AC=AH：AG=1：，DAC=HAG=45，DAH=CAG，（4 分）DAHCAG，HD：GC=AD：AC=1：，（5 分）DAB=HAE=90，DAH=BAE，在DAH 和BAE 中，DAHBAE（SAS）

20、，HD=EB，HD：GC：EB=1：1；（6 分）（3）有变化，连接 AG、AC，矩形 AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上，DA：AB=HA：AE=m：n，ADC=AHG=90，ADCAHG，AD：AC=AH：AG=m：，DAC=HAG，DAH=CAG，（4 分）DAHCAG，HD：GC=AD：AC=m：，（5 分）DAB=HAE=90，DAH=BAE，DA：AB=HA：AE=m：n，ADHABE，DH：BE=AD：AB=m：n，HD：GC：EB=m：n（8 分）6解:(1)(6 分)解法一：过 P 作 PEQC 则AFP是等边三角形，P、Q 同时出发、速度相同，即 BQ=AP

21、 BQ=PF DBQDFP,BD=DF BQDBDQ=FDP=FPD=030,BD=DF=FA=31AB=631=2,AP=2.解法二：P、Q 同时同速出发，AQ=BQ 设 AP=BQ=x，则 PC=6-x，QC=6+x 在 RtQCP 中，CQP=030,C=060 CQP=090 QC=2PC,即 6+x=2（6-x）x=2 AP=2 （2）由（1）知 BD=DF 而APF 是等边三角形，PEAF,AE=EF 又 DE+(BD+AE)=AB=6,DE+(DF+EF)=6，即 DE+DE=6 DE=3 为定值，即 DE 的长不变 7解：（1）AEEDAEED，2 分（2）证明：由题意，90.

22、BCABBEECDCo，EGFEABQ与位似且相似比是1:2，1190.22GFEBGFABEFEBo，GFEC.12EHHCECQ，111.222GFHCFHFEEHEBECBCECCD，HGFDHC.5 分.GHHDGHFHDC，又9090HDCDHCGHFDHCooQ，.GHDo=90 GHHD.7 分 CH的长为k.8、（1）33;2;2ABEH CGEH(2)2m 作 EHAB 交 BG 于点 H，则EFHAFBV:V,ABAFm ABmEHEHEF AB=CD，CDmEH EHABCD，BEHBCGV:V 2CGBCEHBE，CG=2EH.22CDmEHmCGEH（3）ab【提示】过点 E 作 EHAB 交 BD 的延长线于点 H。9.（1）命题 1：如果，那么；命题 2：如果，那么。（2）命题 1 的证明：AEDF，A=D，AB=CD，AB+BC=CD+BC，即 AC=DB，在AEC 和DFB 中，E=F，A=D，AC=DB，AECDFB（AAS），CE=BF（全等三角形对应边相等）；命题 2 的证明：AEDF，A=D，AB=CD，AB+BC=CD+BC，即 AC=DB，在AEC 和DFB 中，E=F，A=D，CE=BF，AECDFB（AAS），AC=DB（全等三角形对应边相等），则 AC-BC=DB-BC，即 AB=CD。注：命题“如果，那么”是假命题。