1990考研数三真题及解析10562.pdf

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1、 Born to win 1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分15 分,每小题3 分.把答案填在题中横线上.)(1)极限lim(3)nnnnn_.(2)设函数()f x有连续的导函数,(0)0,(0)ffb,若函数 在0 x 处连续,则常数A=_.(3)曲线2yx与直线2yx所围成的平面图形的面积为_.(4)若线性方程组121232343414,xxaxxaxxaxxa 有解,则常数1234,aaaa应满足条件_.(5)一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为_.二、选择题(本题满分15 分,每小题3 分.每小题给

2、出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数sin()tanxf xxx e,则()f x是 ()(A)偶函数 (B)无界函数 (C)周期函数 (D)单调函数(2)设函数()f x对任意x均满足等式(1)()fxaf x,且有(0),fb其中,a b为非零常 数,则 ()(A)()f x在1x 处不可导 (B)()f x在1x 处可导,且(1)fa(C)()f x在1x 处可导,且(1)fb (D)()f x在1x 处可导,且(1)fab(3)向量组12,s 线性无关的充分条件是 ()(A)12,s 均不为零向量(B)12,s 中任意两个向量的分量不成

3、比例(C)12,s 中任意一个向量均不能由其余1s个向量线性表示(D)12,s 中有一部分向量线性无关(4)设,A B为两随机事件,且BA,则下列式子正确的是 ()(A)P ABP A (B)P ABP A(C)P B AP B (D)()P BAP BP A Born to win(5)设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为 -1 1 则下列式子正确的是 ()(A)XY (B)0P XY (C)12P XY (D)1P XY 三、计算题(本题满分20 分,每小题5 分.)(1)求函数2ln()21xetI xdttt在区间2,e e上的最大值.(2)计算二重积分2yDxedxdy,其中D是曲

4、线24yx和29yx在第一象限所围成的区域.(3)求级数21(3)nnxn的收敛域.(4)求微分方程sincos(ln)xyyxx e的通解.四、(本题满分9 分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用1x(万元)及报纸广告费用2x(万元)之间的关系有如下经验公式:(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为1.5 万元,求相应的最优广告策略.五、(本题满分6 分)设()f x在闭区间0,c上连续,其导数()fx在开区间(0,)c内存在且单调减少；(0)0f,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f

5、abf af b,其中常数ab、满足条件0ababc.六、(本题满分8 分)已知线性方程组(1)ab、为何值时,方程组有解?(2)方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时,求出方程组的全部解.七、(本题满分5 分)已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得0kA,试证明矩阵EA可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).八、(本题满分6 分)设A是n阶矩阵,1和2是A的两个不同的特征值,12,XX是分别属于1和2的特征向量.试证明12XX不是A的特征向量.九、(本题满分4 分)从0,1,2,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：-1 1 Born to

6、 win 1A 三个数字中不含0 和 5；2A 三个数字中不含0 或 5.十、(本题满分5 分)一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数为:(1)问X和Y是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过100 小时的概率.十一、(本题满分7 分)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96 分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60 分至84 分之间的概率.附表 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.9

7、99 表中()x是标准正态分布函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分15 分,每小题3 分.)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子3nnnn.3lim3nnnnnnnnn,再分子分母同时除以n,有 原式4lim3111nnn.因为lim0nan,其中a为常数,所以原式42.1 1(2)【答案】ba【解析】由于()F x在0 x 处连续,故0(0)lim()xAFF x.0lim()xF x为“00”型的极限未定式,又()f x在点0处导数存在,所以 00()sin()coslimlim1xxf xaxfxaxAbax.

8、【相 关 知 识 点】函 数()yf x在 点0 x连 续：设 函 数()yf x在 点0 x的 某 一 邻 域 内 有 定 义,如 果00lim()(),xxf xf x则称函数()f x在点0 x连续.Born to win(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22xx,解得1x 和2x,故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为 2212Sxxdx(4)【答案】12340aaaa【解析】由于方程组有解()()r Ar A,对A作初等行变换,第一行乘以 1加到第四行上,有 11223341411001 100 01100 11000110 011 10010101aaa

9、aaaaaa,第二行加到第四行上,再第三行乘以 1加到第四行上,有 112233123412411001100011011000111100110aaaaaaaaaaaaa.为使()()r Ar A,常数1234,aaaa应满足条件:12340aaaa.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即是()()r Ar A(或者说,b可由A的列向量12,n 线表出,亦等同于12,n 与12,nb 是等价向量组).设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则 （1）有 唯一解 ()().r Ar An（2）有 无穷

10、多解 ()().r Ar An（3）无 解 ()1().r Ar A b不能由A的列向量12,n 线表出.(5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行四次独立的射击,设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数804,81np的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均O 2 Born to win 不中”的概率为4(1)p,它是至少命中一次的对立事件.依题意 48012(1)118133ppp .本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数,p表示一次射击的命中率,则(4,)XBp,依题意 即412(1).813

11、pp【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)YB n p,则(1)kkn knP YkC pp,0,1,kn.二、选择题(本题满分15 分,每小题3 分.)(1)【答案】(B)【解析】由于sin2lim2xxx ee,而2limtanxx,所以,sin2limtanxxxx e,故()f x无界.或考察()f x在2(1,2,)4nxnn的函数值,有22lim()limnnnnf xx e,可见()f x是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sinsinfefe,知(A)不正确；由0044f,f,而 00f,知(D)不正确.证明(C)不正确可用反证法.设 sinxg

12、 xtan x e,于是 g x的定义域为0122Dx|xk,k,且 g x的全部零点为012nxn,n,.若 f xxg x以T0T 为周期,则有 令0 x,有 0Tg T,即 0g T.从而Tk,其中k为某一正数.于是2k也是 xg x的周期.代入即得,对xD 有 这表明 20k g x在xD上成立,于是 0g x 在xD上成立,导致了矛盾.故 f xxg x不可能是周期函数.Born to win【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim()xxf xA,0lim()xxg xB,则有 0lim()()xxf xg xAB.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1tx或按定义由关系式

13、(1)()fxaf x将()f x在1x 的可导性与()f x在0 x 的可导性联系起来.令1tx,则()(1)f taf t.由复合函数可导性及求导法则,知()f t在1t 可导,且 11()(1)(1)(0)ttf taf ttafab,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x在点x可导,且其导数为()()dyf ug xdx 或 dydy dudxdu dx.(3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也

14、就是说,向量组12,s 线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,s 线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0),该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,s 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,)iis可以由 111,iis线性表出.”或由“12,s 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,)iis均不能由111,iis线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于BA,所以ABA,于是有 P ABP A.故本题选A.对 于B 选 项,因 为BA,

15、所 以 事 件B发 生,则 事 件A必 然 发 生,所 以 P ABP B,而 不 是 P ABP A,故 B 错.对于C 选项,因为BA,由条件概率公式()()P ABP B AP A,当,B A是相互独立的事件时,才会有 P B AP B；所以C 错.对于D 选项,因为BA,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故0P BA,所以(D)错.Born to win(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有 1111122222.故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X和Y相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不

16、能说事件X与事件Y是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20 分,每小题5 分.)(1)【解析】在2,xe e上,22lnln()0211xxI xxxx,故函数()I x在2,e e上单调增加,最大值为2()I e.由22(1)1(1)(1)(1)dxdxdxxx,有 11ln1eee.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则 ()()()()()F ttfttft.2.假定()uu x与()vv x均具有连续的导函数,则 ,uv dxuvu vdx 或者.udvuvvdu(2)【解析】区域D是无界函数,设 0

17、,0,32byyDDybx yybx,不难发现,当b 时有bDD,从而 (3)【解析】因系数21(1,2,)nann,故 2212211limlimlim111nnnnnnanann,这样,幂级数的收敛半径11R.因此当131,x,即24x时级数绝对收敛.当2x 时,得交错级数211(1)nnn；当4x 时,得正项级数211nn,二者都收敛,于是原级数的收敛域为2,4.Born to win【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1nlimnnaa,其中1,nnaa是幂级数0nnna x的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径 2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)nnnu满足：(1

18、)1,1,2,;nnuun (2)lim0.nnu 则11(1)nnnu收敛,且其和满足1110(1),nnnuu余项1.nnru 3p级数：11pnn当1p 时收敛；当1p 时发散.(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.sinsinln lnxxexdxCexxxC.方法2:用函数()cossinP x dxxdxxeee同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sinsinsinsincos()()lnxxxxeyyexyeyex,再积分一次得 sinlnlnxyeCxdxCxxx.最后,再用sin xe同乘上式两端即得通解sin ln

19、xyexxxC.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()yP x yQ x的通解为 ()()()P x dxP x dxyeQ x edxC,其中C为任意常数.四、(本题满分9 分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为 由多元函数极值点的必要条件,有 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75 万元,报纸广告费用1.25 万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5 万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)在121.5xx时的条件最大值.拉格朗日函数为 由 1211221248130,820310,1.50LxxxLxxxLxx 因驻点惟一,且实际问题必有

20、最大值,故应将广告费1.5 万元全部用于报纸广告,可使利润最大.Born to win【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)zf x y在附加条件(,)0 x y下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数 其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：由这方程组解出,x y及,这样得到的(,)x y就是函数(,)f x y在附加条件(,)0 x y下的可能极值点.五、(本题满分6 分)【解析】方法1:当0a 时,()()()()f abf bf af b,即不等式成立；若0a,因为 其中120abab.又()fx单调减少,故21()()ff.从而有()()()(0)

21、0f abf af bf,即()()()f abf af b.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令()()()(),0,F xf xf af ax xb,由于(0)0f,所以(0)0F,又因为()()(),F xfxfax且0a,()fx在(0,)b单调减少,所以()0F x,于是()F x在0,b上单调递增,故()(0)0F bF,即 ()()()f abf af b,其中0ababc.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x满足在闭区间,a b上连续；在开区间,a b内可导,那么在,a b内至少有一点()ab,使等式()()()()f bf

22、 afba成立.六、(本题满分8 分)【解析】本题中,方程组有解()()r Ar A.(相关定理见第一题(4)对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以 3、5分别加到第二、四行上,有 111111111132113001226301226012265433120122625aaabba,第二行乘以1、1分别加到第三、四行上,第二行再自乘 1,有 (1)当30ba且220a,即1,3ab时方程组有解.(2)当1,3ab时,方程组的同解方程组是 Born to win 由()523nr A,即解空间的维数为3.取自变量为345,x xx,则导出组的基础解系为 123(1,2,1,0,0),(1,2,0,

23、1,0),(5,6,0,0,1)TTT.(3)令3450 xxx,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)T.因此,方程组的所有解是1 12233kkk,其中123,k k k为任意常数.【相关知识点】若1、2是对应齐次线性方程组0Ax 的基础解系,则Axb的通解形式为1 122,kk其中12,是0Ax 的基础解系,是Axb的一个特解.七、(本题满分5 分)【解析】若A、B是n阶矩阵,且,ABE则必有.BAE于是按可逆的定义知1AB.如果对特征值熟悉,由0kA 可知矩阵A的特征值全是0,从而EA的特征值全是1,也就能证明EA可逆.由于0kA,故 21()kkkEAEAAAEAE.所以EA可逆,且

24、121kEAEAAA.八、(本题满分6 分)【解析】(反证法)若12XX是A的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有：1212()()A XXXX.由已知又有 12121122()A XXAXAXXX.两式相减得 1122()()0XX.由12,知12,不全为0,于是12,XX线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12XX不是A的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.九、(本题满分4 分)【解析】样本空间含样本点总数为310C；即十个数字任意选三个

25、有多少种选择方案.有利于事件1A的样本点数为38C；十个数字除去0 和 5 任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A的样本点数为33982CC；十个数字除去0 任意选三个的选择方案和十个数字除去5 任意选三个的 Born to win 选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A被加了两次,所以应该减去38C.由古典型概率公式,3813107();15CP AC33982310214()15CCP AC.【相关知识点】古典型概率公式：()iiAP A 有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5 分)【解析】(1)由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim0,axxe(a为常数)

26、有 X和Y的边缘分布函数分别为 由于对任意实数,x y都满足(,)()()XYF x yFx Fx.因此X和Y相互独立.(2)因为X和Y相互独立,所以有 0.050.050.11(0.1)1(0.1)XYFFeee.十一、(本题满分7 分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x表计算.但是正态分布的参数与2未知时,则应先根据题设条件求出与2的值,再去计算有关事件的概率.设X为 考 生 的 外 语 成 绩,依 题 意 有2(,)XN,且72,但2未 知.所 以 可 标 准 化 得72(0,1)XN.由标准正态分布函数概率的计算公式,有

27、查表可得 242,12,即2(72,12)XN,72608412(1)10.68212XPXP .1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分15 分,每小题3 分.)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子3nnnn.3lim3nnnnnnnnn,再分子分母同时除以n,有 Born to win 原式4lim3111nnn.因为lim0nan,其中a为常数,所以原式42.1 1(2)【答案】ba【解析】由于()F x在0 x 处连续,故0(0)lim()xAFF x.0lim()xF x为“00”型的极限未定式,又()f x在点0处

28、导数存在,所以 00()sin()coslimlim1xxf xaxfxaxAbax.【相 关 知 识 点】函 数()yf x在 点0 x连 续：设 函 数()yf x在 点0 x的 某 一 邻 域 内 有 定 义,如 果00lim()(),xxf xf x则称函数()f x在点0 x连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22xx,解得1x 和2x,故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为 2212Sxxdx(4)【答案】12340aaaa【解析】由于方程组有解()()r Ar A,对A作初等行变换,第一行乘以 1加到第四行上,有 11223341411001 10

29、0 01100 11000110 011 10010101aaaaaaaaa,第二行加到第四行上,再第三行乘以 1加到第四行上,有 112233123412411001100011011000111100110aaaaaaaaaaaaa.为使()()r Ar A,常数1234,aaaa应满足条件:12340aaaa.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：O 2 Born to win 设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即是()()r Ar A(或者说,b可由A的列向量12,n 线表出,亦等同于12,n 与12,nb 是等价向量组)

30、.设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则 （4）有 唯一解 ()().r Ar An（5）有 无穷多解 ()().r Ar An（6）无 解 ()1().r Ar A b不能由A的列向量12,n 线表出.(5)【答案】23【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行四次独立的射击,设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数804,81np的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p,它是至少命中一次的对立事件.依题意 48012(1)118133ppp .本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数,p表示一

31、次射击的命中率,则(4,)XBp,依题意 即412(1).813pp【相关知识点】二项分布的概率公式：若(,)YB n p,则(1)kkn knP YkC pp,0,1,kn.二、选择题(本题满分15 分,每小题3 分.)(1)【答案】(B)【解析】由于sin2lim2xxx ee,而2limtanxx,所以,sin2limtanxxxx e,故()f x无界.或考察()f x在2(1,2,)4nxnn的函数值,有22lim()limnnnnf xx e,可见()f x是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sinsinfefe,知(A)不正确；Born to win

32、由0044f,f,而 00f,知(D)不正确.证明(C)不正确可用反证法.设 sinxg xtan x e,于是 g x的定义域为0122Dx|xk,k,且 g x的全部零点为012nxn,n,.若 f xxg x以T0T 为周期,则有 令0 x,有 0Tg T,即 0g T.从而Tk,其中k为某一正数.于是2k也是 xg x的周期.代入即得,对xD 有 这表明 20k g x在xD上成立,于是 0g x 在xD上成立,导致了矛盾.故 f xxg x不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim()xxf xA,0lim()xxg xB,则有 0lim()()xxf xg xA

33、B.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1tx或按定义由关系式(1)()fxaf x将()f x在1x 的可导性与()f x在0 x 的可导性联系起来.令1tx,则()(1)f taf t.由复合函数可导性及求导法则,知()f t在1t 可导,且 11()(1)(1)(0)ttf taf ttafab,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x在点x可导,且其导数为()()dyf ug xdx 或 dydy dudxdu dx.(3)【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分

34、必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,s 线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,s 线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0),该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,s 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,)iis可以由 Born to win 111,iis线性表出.”或由“12,s 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,)iis均不能由111,iis线性表出.”故选(C).(4)【答案】A【解析

35、】由于BA,所以ABA,于是有 P ABP A.故本题选A.对 于B 选 项,因 为BA,所 以 事 件B发 生,则 事 件A必 然 发 生,所 以 P ABP B,而 不 是 P ABP A,故 B 错.对于C 选项,因为BA,由条件概率公式()()P ABP B AP A,当,B A是相互独立的事件时,才会有 P B AP B；所以C 错.对于D 选项,因为BA,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故0P BA,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义,有 1111122222.故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机

36、变量X和Y相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分20 分,每小题5 分.)(1)【解析】在2,xe e上,22lnln()0211xxI xxxx,故函数()I x在2,e e上单调增加,最大值为2()I e.由22(1)1(1)(1)(1)dxdxdxxx,有 11ln1eee.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则 ()()()()()F ttfttft.2.假定()uu x与()vv x均具有连续的导函数,则 ,uv dxuvu

37、vdx 或者.udvuvvdu(2)【解析】区域D是无界函数,设 Born to win 0,0,32byyDDybx yybx,不难发现,当b 时有bDD,从而 (3)【解析】因系数21(1,2,)nann,故 2212211limlimlim111nnnnnnanann,这样,幂级数的收敛半径11R.因此当131,x,即24x时级数绝对收敛.当2x 时,得交错级数211(1)nnn；当4x 时,得正项级数211nn,二者都收敛,于是原级数的收敛域为2,4.【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1nlimnnaa,其中1,nnaa是幂级数0nnna x的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径

38、 2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)nnnu满足：(1)1,1,2,;nnuun (2)lim0.nnu 则11(1)nnnu收敛,且其和满足1110(1),nnnuu余项1.nnru 3p级数：11pnn当1p 时收敛；当1p 时发散.(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.sinsinln lnxxexdxCexxxC.方法2:用函数()cossinP x dxxdxxeee同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sinsinsinsincos()()lnxxxxeyyexyeyex,再积分一次得 sinlnlnxyeC

39、xdxCxxx.最后,再用sin xe同乘上式两端即得通解sin lnxyexxxC.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()yP x yQ x的通解为 Born to win ()()()P x dxP x dxyeQ x edxC,其中C为任意常数.四、(本题满分9 分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为 由多元函数极值点的必要条件,有 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75 万元,报纸广告费用1.25 万元可获最大利润.(2)若广告费用为1.5 万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)在121.5xx时的条件最大值.拉格朗日函数为 由 121

40、1221248130,820310,1.50LxxxLxxxLxx 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5 万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)zf x y在附加条件(,)0 x y下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数 其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：由这方程组解出,x y及,这样得到的(,)x y就是函数(,)f x y在附加条件(,)0 x y下的可能极值点.五、(本题满分6 分)【解析】方法1:当0a 时,()()()()f abf bf af b,即不等式成立；若0a,因为 其中120a

41、bab.又()fx单调减少,故21()()ff.从而有()()()(0)0f abf af bf,即()()()f abf af b.方法2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令()()()(),0,F xf xf af ax xb,由于(0)0f,所以(0)0F,又因为()()(),F xfxfax且0a,()fx在(0,)b单调减少,所以()0F x,于是()F x在0,b上单调递增,故()(0)0F bF,即 ()()()f abf af b,其中0ababc.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x满足在闭区间,a b上连续；在开区间,a b内

42、可导,那么在,a b内至少有一点()ab,Born to win 使等式()()()()f bf afba成立.六、(本题满分8 分)【解析】本题中,方程组有解()()r Ar A.(相关定理见第一题(4)对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以 3、5分别加到第二、四行上,有 111111111132113001226301226012265433120122625aaabba,第二行乘以1、1分别加到第三、四行上,第二行再自乘 1,有 (1)当30ba且220a,即1,3ab时方程组有解.(2)当1,3ab时,方程组的同解方程组是 由()523nr A,即解空间的维数为3.取自变量为345,x

43、xx,则导出组的基础解系为 123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)TTT.(3)令3450 xxx,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)T.因此,方程组的所有解是1 12233kkk,其中123,k k k为任意常数.【相关知识点】若1、2是对应齐次线性方程组0Ax 的基础解系,则Axb的通解形式为1 122,kk其中12,是0Ax 的基础解系,是Axb的一个特解.七、(本题满分5 分)【解析】若A、B是n阶矩阵,且,ABE则必有.BAE于是按可逆的定义知1AB.如果对特征值熟悉,由0kA 可知矩阵A的特征值全是0,从而EA的特征值全是1,也就能证明EA

44、可逆.由于0kA,故 21()kkkEAEAAAEAE.所以EA可逆,且121kEAEAAA.八、(本题满分6 分)【解析】(反证法)若12XX是A的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有：Born to win 1212()()A XXXX.由已知又有 12121122()A XXAXAXXX.两式相减得 1122()()0XX.由12,知12,不全为0,于是12,XX线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12XX不是A的特征向量.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵

45、A的特征向量.九、(本题满分4 分)【解析】样本空间含样本点总数为310C；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件1A的样本点数为38C；十个数字除去0 和 5 任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A的样本点数为33982CC；十个数字除去0 任意选三个的选择方案和十个数字除去5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,即是事件1A被加了两次,所以应该减去38C.由古典型概率公式,3813107();15CP AC33982310214()15CCP AC.【相关知识点】古典型概率公式：()iiAP A 有利于事件的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分5 分)【解析】

46、(1)由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim0,axxe(a为常数)有 X和Y的边缘分布函数分别为 由于对任意实数,x y都满足(,)()()XYF x yFx Fx.因此X和Y相互独立.(2)因为X和Y相互独立,所以有 0.050.050.11(0.1)1(0.1)XYFFeee.十一、(本题满分7 分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x表计算.但是正态分布的参数与2未知时,则应先根据题设条件求出与2的值,再去计算有关事件的概率.设X为 考 生 的 外 语 成 绩,依 题 意 有2(,)XN,且72,但2未 知.所 以 可 标 准 化 得72(0,1)XN.由标准正态分布函数概率的计算公式,有 Born to win 查表可得 242,12,即2(72,12)XN,72608412(1)10.68212XPXP .