高中数学2.3.1《数学归纳法》综合测试新人教B版选修2-2.pdf

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1、用心爱心专心数学归纳法应用举例一、选择题1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）充分条件必要条件充要条件等价条件答案：2结论为：nnxy 能被xy整除，令12 3 4n，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（）nN nN 且3n n 为正奇数 n 为正偶数答案：3在ABC中，sinsincoscosACAC，则ABC一定是（）锐角三角形直角三角形钝角三角形不确定答案：4在等差数列na中，若0na，公差0d，则有4637a aa a，类经上述性质，在等比数列nb中，若01nbq，则4578bbbb，的一个不等关系是（）4857bbbb5748bbbb4758bbbb4578

2、bbbb答案：5（1）已知332pq，求证2pq，用反证法证明时，可假设2pq，（2）已知 abR，1ab，求证方程20 xaxb的两根的绝对值都小于1用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x，以下结论正确的是（）(1)与(2)的假设都错误(1)与(2)的假设都正确(1)的假设正确；(2)的假设错误(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：用心爱心专心6 观察式子：213122，221151233，222111712344，则可归纳出式子为（）22211111(2)2321nnn22211111(2)2321nnn222111211(2)23nnnn22211121

3、(2)2321nnnn答案：7如图，在梯形ABCD中，()ABDCABaCDb ab，若EFAB，EF到CD与AB的距离之比为:m n，则可推算出：mambEFmm试用类比的方法，推想出下述问题的结果在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰ADBC，相交于O点，设OAB，OCD的面积分别为12SS，EFAB且EF到CD与AB的距离之比为:m n，则OEF的面积0S 与12SS，的关系是（）120mSnSSmn120nSmSSmn120m Sn SSmn120nSm SSmn答案：8已知 abR，且2abab，则（）2212abab2212abab2212abab2212abab答案：9用反证法证明

4、命题：若整系数一元二次方程20(0)axbxca有有理根，那么 abc，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）假设 abc，都是偶数假设 abc，都不是偶数假设 abc，至多有一个是偶数假设 abc，至多有两个是偶数答案：用心爱心专心10用数学归纳法证明(1)(2)()2 1 3(21)nnnnnn ，从k到1k，左边需要增乘的代数式为（）21k 2(21)k211kk231kk答案：11类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2xxaaS x，()2xxaaC x，其中0a，且1a，下面正确的运算公式是（）()()()()()S xyS x C yC x S y；

5、()()()()()S xyS x C yC x S y；()()()()()C xyC x C yS x S y；()()()()()C xyC x C yS x S y；答案：12正整数按下表的规律排列则上起第2005 行，左起第2006 列的数应为（）2200522006200520062005 2006答案：二、填空题13写出用三段论证明3()sin()f xxx xR 为奇函数的步骤是答案：满足()()fxf x 的函数是奇函数，大前提1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 用心爱心专心333

6、()()sin()sin(sin)()fxxxxxxxf x，小前提所以3()sinf xxx 是奇函数结论14 已知111()1()23f nnnN，用数学归纳法证明(2)2nnf时，1(2)(2)kkff等于答案：111121222kkk15由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第 n 个图有na 个树枝，则1na与(2)nan之间的关系是答案：122nnaa三、解答题17如图（1），在

7、三角形ABC中，ABAC，若ADBC，则2ABBD BC；若类比该命题，如图（2），三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题解：命题是：三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有2ABCBCMBCDSSS是一个真命题证明如下：用心爱心专心在图（2）中，连结DM，并延长交BC于E，连结AE，则有DEBC因为AD面ABC，所以ADAE又AMDE，所以2AEEM ED于是22111222ABCBCMBCDSBC AEBC EMBC EDSS18如图，已知PA矩形ABCD所在平面，MN，分别是ABPC，

8、的中点求证：（1）MN 平面PAD；（2）MNCD证明：（1）取PD的中点E，连结 AENE，NE，分别为 PCPD，的中点EN为PCD的中位线，12ENCD，12AMAB，而ABCD为矩形，CDAB，且CDABENAM，且ENAMAENM为平行四边形，MNAE，而MN平面PAC，AE平面PAD，MN平面PAD（2）PA矩形ABCD所在平面，CDPA，而CDAD，PA与AD是平面PAD内的两条直交直线，CD平面PAD，而AE平面PAD，AECD又MNAE，MNCD19求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l，依题意，圆的面积为22l

9、，正方形的面积为24l因此本题只需证明2224ll要证明上式，只需证明222416ll，两边同乘以正数24l，得114因此，只需证明4上式是成立的，所以2224ll用心爱心专心这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大20已知实数abcd，满足1abcd，1acbd，求证 abcd，中至少有一个是负数证明：假设abcd，都是非负实数，因为1abcd，所以 abcd，0 1，所以2acacac，2bcbdbd，所以122acbdacbd，这与已知1acbd相矛盾，所以原假设不成立，即证得abcd，中至少有一个是负数21设()2xxaaf x，()2xxaag x（

10、其中0a，且1a）（1）523请你推测(5)g能否用(2)(3)(2)(3)ffgg，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广解：（1）由3332332255(3)(2)(3)(2)22221aaaaaaaaaafggf，又55(5)2aag，因此(5)(3)(2)(3)(2)gfggf（2）由(5)(3)(2)(3)(2)gfggf，即(23)(3)(2)(3)(2)gfggf，于是推测()()()()()g xyf x g yg x f y 证明：因为()2xxaafx，()2xxaag x（大前提）所以()()2x yxyaag xy，()2yyaag y，()2y

11、yaaf y，（小前提及结论）所以()()()()()()22222xxyyxxyyxyxyaaaaaaaaaaf x g yg x f yg xy22若不等式111123124annn对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论解：当1n时，11111123124a，即262424a，所以26a而 a是正整数，所以取25a，下面用数学归纳法证明：11125123124nnn（1）当1n时，已证；（2）假设当nk时，不等式成立，即11125123124kkk则当1nk时，用心爱心专心有111(1)1(1)23(1)1kkk111111112313233341kkkkkkk25112

12、2432343(1)kkk因为2116(1)2323491883(1)kkkkkk，所以2116(1)2323491883(1)kkkkkk，所以112032343(1)kkk所以当1nk时不等式也成立由（1）（2）知，对一切正整数n，都有11125123124nnn，所以 a 的最大值等于25数学归纳法应用举例一、选择题1下面使用的类比推理中恰当的是（）“若22mn，则 mn”类比得出“若00mn，则 mn”“()ab cacbc”类比得出“()a b cac bc”“()ab cacbc”类比得出“(0)ababcccc”“()nnnpqpq”类比得出“()nnnpqpq”答案：2图 1

13、是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）25 66 91 120 答案：用心爱心专心3推理“正方形是平行四边形；梯形不是平行四边形；所以梯形不是正方形”中的小前提是（）和答案：4用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2nnnnN时，第一步验证1n时，左边应取的项是（）1 121231234答案：5 在 证明 命 题“对于 任 意 角，44cossincos2”的过 程：“44222222cossin(cossin)(cossin)cossincos2”中应用了（）分析法综合法分析

14、法和综合法综合使用间接证法答案：6要使333abab 成立，则 ab，应满足的条件是（）0ab且ab0ab且ab0ab且ab0ab且ab或0ab且ab答案：7下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（）三角形梯形平行四边形矩形答案：8命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）有两个内角是钝角有三个内角是钝角至少有两个内角是钝角没有一个内角是钝角答案：9用数学归纳法证明412135()nnnN 能被 8 整除时，当1nk时，对于4(1)12(1)135kk可变形为（）41412156 325(35)kkk441223 35 5kk412135kk412125

15、(35)kk用心爱心专心答案：10已知扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，类比三角形的面积公式：12S底高，可得扇形的面积公式为（）212r212l12rl不可类比答案：11已知1m，1amm，1bmm，则以下结论正确的是（）ababab a，b大小不定答案：12观察下列各式：211，22343，2345675，2456789107，可以得出的一般结论是（）2(1)(2)(32)nnnnn2(1)(2)(32)(21)nnnnn2(1)(2)(31)nnnnn2(1)(2)(31)(21)nnnnn答案：二、填空题13已知21111()12f nnnnn，则()f n 中共有项答案：21nn14

16、已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3172 10，7.512.52 10，821222 10，根据以上不等式的规律，请写出对正实数mn，成立的条件不等式答案：当20mn时，有2 10mn用心爱心专心15在数列na中，12a，1()31nnnaanaN，可以猜测数列通项na 的表达式为答案：265nan16若三角形内切圆的半径为r，三边长为 abc，则三角形的面积等于1()2Sr abc，根 据 类 比 推 理 的 方 法，若 一 个 四 面 体 的 内 切 球 的 半 径 为R，四 个 面 的 面 积 分 别 是1234SSSS，则四面体的体积V答案：12341()3R SSSS三、解答题

17、17已知 a 是整数，2a 是偶数，求证：a也是偶数证明：（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数设21()annZ，则22441ann24()nn是偶数，2441nn是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶数18已知命题：“若数列na是等比数列，且0na，则数列12()nnnba aanN也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列na是等差数列，则数列12nnaaabn也是等差数列证明如下：设等差数列na的公差为d，则12nnaaabn11(1)2(1)2n ndnadann，所

18、以数列nb是以1a 为首项，2d为公差的等差数列19已知abc，且0abc，求证：23baca用心爱心专心证明：因为abc，且0abc，所以0a，0c，要证明原不等式成立，只需证明23baca r，即证223baca，从而只需证明22()3acaca，即()(2)0acac，因为0ac，20acacaab，所以()(2)0acac成立，故原不等式成立20用三段论方法证明：2222222()abbccaabc证明：因为222abab，所以22222()2ababab（此处省略了大前提），所以2222()22ababab（两次省略了大前提，小前提），同理，222()2bcbc，222()2caca

19、，三式相加得2222222()abbccaabc（省略了大前提，小前提）21由下列不等式：112，111123，111312372，111122315，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：1111()23212nnnN用数学归纳法证明如下：（1）当1n时，112，猜想成立；（2）假设当nk时，猜想成立，即111123212kk，则当1nk时，111111111111211232122121222121222kkkkkkkkkkkk，即当1nk时，猜想也正确，所以对任意的nN，不等式成立22是否存在常数abc，使得等式22222

20、2421(1)2(2)()nnn nnanbnc 对一切正整数n 都成立？若存在，求出abc，的值；若不存在，说明理由用心爱心专心解：假设存在abc，使得所给等式成立令12 3n，代入等式得0164381918abcabcabc，解得14140abc，以下用数学归纳法证明等式22222242111(1)2(2)()44nnn nnnn 对一切正整数n 都成立（1）当1n时，由以上可知等式成立；（2）假设当nk时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44kkk kkkk，则当1nk时，222222221(1)1 2(1)2(1)(1)(1)(1)kkkkkkkk2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)kkk kkkkkk424211(1)11(21)(1)(1)44244k kkkkkk由（1）（2）知，等式结一切正整数n 都成立