第19讲勾股定理.pdf

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1、中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献第 19 讲勾股定理考点方法破译1会用勾股定理解决简单问题.2会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典考题赏析【例 1】(达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D 的边长分别是 3，5，2，3，则最大正方形E的面积是()A13 B26 C47 D94【解法指导】观察勾股树，发现正方形A、B的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此

2、时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E的面积等于正方形A、B、C、D 四个面积之和，故选C【变式题组】01(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD的顶点 B，点 A，C到直线 l 的距离分别是1 和 2，则正方形的边长是_.02(浙江省温州)在直线 l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则 S1S2S3S4_.03(浙江省丽江)如图，已知 ABC 中，ABC90，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且 l

3、1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则 AC的长是()A2 17B2 5C42D7【例 2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_cm；如果从点A 开始经过4 个侧面缠绕n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm.【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，22 916n.l A1 DCB2 第 1 题图第 2 题图第 3 题图ACBl1l2l3BA3cm1cm6cm中高考复

4、习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献【变式题组】01(恩施)如图，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是()A5 21B25 C10 55D35 02(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为 5610(单位:cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB 距离为1cm，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则 h 的最小值大约为_cm.(精确到个位，参考数据:214，317:522)03(荆州)若一边长

5、为40cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_cm.(铁丝粗细忽略不计)【例 3】(荆州)如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD折叠，使点 D 落在 BC边的中点E处，点 A 落在 F处，折痕为NM，则线段CN的长是()A3cmB4cmC5cmD6cm【解法指导】对折问题即对称问题，设CN x，DNNE8x.在 RtCEN 中，(8x)242 x2 x5.故选 C【变式题组】01在四边形ABCD中，B90，AB4，BC3，CD13，AD 12求 S四边形ABCD02如图，ABC中，AB13，AD6，AC5，D 为 BC边的中点.求 SABC0

6、3如图，ABC中，ACB90，AD 平分 CAB，BC4，CD32.求 ACB10 15 A2C第 1 题第 2 题图AB吸管10 6 5 ADBECFMNABCD中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献【例 4】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB 是一次函数y2x 的图象，点A的坐标为(0，2)，在直线OB上找点 C，使得 ACO为等腰三角形，求点C坐标.【解法指导】求C点坐标需分类讨论.(1)若以 O 为顶点，OA 为腰，则 C 在以 O 为圆心，OA 的长为半径的圆与y2x 的交点处.(2)若以 A 为顶点，AO 为腰，则 C 在以 A 为圆心，AO 的长为

7、半径的圆与y2x 的交点处.(3)若以 C 为顶点，则 C 在 OA 的中垂线与y2x 的交点处.【解】若以O 为顶点，OA 为腰，如图设C(t，2t)，则在 RtCOD中，OC2OD2CD24t2(2t)25t24 t2 55C1(2 55，4 55），C2(2 55，4 55）若以 A 为顶点，AO 为腰，如图，设C(t，2t)，在 RtACE中AC2CE2 AE2 22t2(2t 2)2 t0（舍去），t85C3(85，165)若 C为顶点，C在 OA 的中垂线上.C4(12，1)【变式题组】01若 A（3，2），B 为 x 轴上一点，O 为坐标原点.若 AOB是等腰三角形.求 B 点坐

8、标.02如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B 为 y2x 上一点，若 AOB为等腰三角形.求 B点坐标.03如图.在平面直角坐标系中，A(0，4)，B为 y2x 上一点，若 AOB 为直角三角形.求 B点坐标.AOBy x y2xAy x DOCAOCy x EA(4,0)y2xxyOAy2xxyO中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献【例 5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点.问题：在直线l 上确定一点P，使 PAPB的值最小.方法：作点 A 关于直线l 的对称点A，连接 AB 交 l 于点 P，则 PA PBAB的值

9、最小(不必证明).模型应用：如图1，正方形 ABCD的边长为2，E为 AB的中点，P是 AC上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线AC对称.连接 ED交 AC 于 P，则 PBPE的最小值是 _；(2)如图 2，AOB45，P是 AOB内一点，PO10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求 PQR周长的最小值.【解】(1)5(2)如图 2，作 P关于 OB的对称点P1，关于 OA 的对称点 P2，连接 P1P2，交 OB 于 R，交 OA 于 Q，则 PRQ的周长最小，且此时PRQ的周长为PRRQQPP1P2连接 OP1，OP2，1 2，3 4，2 345 P1OP2

10、90，OP1OPOP2，在 RtOP1P2中，P1P22OP12 OP22，P1P210 2【变式题组】01(荆门)一次函数 ykxb 的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）.求该函数的解析式；O 为坐标原点，设OA、AB 的中点分别为C、D，P为 OB 上一动点，求PC PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.02（四川联赛试题)已知矩形ABCD的 AB12，AD3，E、F分别是 AB，DC上的点，则折线 AFEC长的最小值为_.03(陕西)如图，在锐角ABC中，AB4 5，BAC 45，BAC的平分AAPBl BDCAPE图 1 OAQPBR图 2 OAQPBRP1 P2 O

11、CAxyBDPCABDMN中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献线交 BC于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BMMN 的最小值是 _.【例 6】求x242816x的最小值.【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数不是完全平方式而无法化简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点x24x222，(8x)216(8x)242均为平方和结构，由此联想到勾股定理，题目就是求以222x，2284x为斜边的两边之和的最小值，于是根据数形结合的思想转化为构造图形问题来解决.【解】如图，作 AB8，ACAB，BDAB，AC2，BD 4.E是 AB 上一动点

12、.设 AE x.则 BE8x.CE 222x，DE2284x.所以求代数式最小值问题转化为在AB上求一点E，使 CE DE值最小.根据线段公理，连接CD交 AB 于 H，则 CD为所求.作 CFDB 交 DB 延长线于F.在 RtCDF中，CD 22CFDF10.所求最小值为10.【变式题组】01.（恩施自治州）如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC已知 AB5，DE1，BD8，设 CDx.用含 x 的代数式表示ACCE的长；请问点C满足什么条件时，AC CE的值最小?根据中的规律和结论，请构图求出代数式x242129x的最小值02(咸宁)问题

13、背景:在 ABC 中，AB、BC、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点ABC(即 ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图 1 所示.这样不需求 ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.请你将 ABC 的面积直接填写在横线上_；思维拓展:我们把上述求ABC 面积的方法叫做构图法.若 ABC 三边的长分别为5a、2 2a、17a(a0)，请利用图2 的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的 ABC，并求出它的面积；探索创新:若 ABC 三边的长分别为2216mn、2294

14、mn、222 mn（m0，n 0，AC2 FB4 Dx H 8x E ABCDE中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献且 mn），试运用构图法求出这三角形的面积.【例 7】.(天津)已知 Rt ABC中，ACB90，CACB，有一个圆心角为45，半径的长等于 CA 的扇形 CEF绕点 C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点 M、N.当扇形CEF绕点 C在 ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2 AM2BN2；【思路点拨】考虑MN2AM2BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将 ACM 沿直线 CE对折，得 DCM，连接 DN，只需证DNBN，

15、MDN90就可以了.请你完成证明过程:当扇形GEF绕点 C旋转至图 2 的位置时，关系式 MN2AM2BN2是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【解法指导】观察求证的结论容易发现MN2AM2BN2符合匀股定理的结构形式.因此我们设法构造以MN 为斜边的直角三角形.【解】(l)证明:将 ABM 沿直线 CM 对折，得 DCM，连 DN.ACM DCM 1 2，ACCD，A MDCACBC CD BC MCN45，1 4 2 3 3 4 在 DCN和 BCN中，CD CB3 4 CDN CBN，CDN B45，BNDNCN CN MDN90在 RtDMN 中，MN2DM2DN2NM

16、2 AM2BN2将 ACM 沿直线 CM 对折，得 GCM，连接 GN.GCM ACM，CGM CAM135，1 2，AMGM BCN 90 390(45 1)45 145 2 CGN 1 3 245 2 BCN CGN在 BCN和 GCN中CN CN BCN CGN BCN GCN，CGN B 45，GNBNCB CG MGN135 45 90，在 RtMGN 中，MN2 MG2GN2，MN2 AM2BN2【变式题组】01在 RtABC中，C 90，D 为 AB 边的中点，DEDF.求证：EF2AE2BF202我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个

17、四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献ABC写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称_；如图 1，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 OAMB；如图 2，将 ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转60，得到 DBE，连接 AD、DC，DCB 30.求证：四边形ABCD是勾股四边形.03(台州)如图 1，RtABCRtEDF，ACB F90，A E30.EDF绕着边AB的中点 D 旋转，DE、DF分别交线段AC于点 M、K.观察:如图 2、图 3，当 CDF 0或

18、 60时，AMCK_MK(填“”、“”或“”).如图 4，当 CDF 30时，AMCK_MK（只填“”或“”).猜想:如图 1，当 0 CDF 60时，AMCK _MK，证明你所得到的结论.如果 MK2CK2AM2，请直接写出CDF的度数和AMMK的值.演练巩固反馈提高01如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC，则 AC 边上的高为（）A322B3510C355D45502(哈尔滨)如图，长方形纸片ABCD中，AB 8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点 B落在点 E处，AE交 DC于点 F，若 AF254cm，则 AD 的长为()A4cmB5cmC6cmD7cm03(滨州

19、)已知 ABC中，AB17，AC10，BC边上的高AD 为 8，则边 BC的长ABCDEF中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献为()A21 B15 C6 D21 或 9 04在同一平面内把边BC3，AC4，AB 5 的三角形沿最长边AB翻折后得到ABC，则CC 的长等于()A125B135C56D24505一个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为()A3:4:5 B5:4:3 C20:15:12 D9:16:25 06(山西)如图，在 Rt ABC中，ACB 90，BC3，AC4，AB的垂直平分线DE交 BC的延长线于点E，则 CE的长为(

20、)A32B76C256D2 07(湖州)如图，在正三角形ABC中，AB1，D、E、F 分别是BC、AC、AB 上的点，DEAC，EF AB，FDBC，则 DEF面积为 _.08(安顺)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若 AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_.09(安徽)长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_m.10(滨州)某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB4 米，BAC 30，C90，因某种活动要求铺设红

21、色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为_.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献11(湖州)如图，已知在Rt ABC中，ACB90，AB 4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2则 S1S2的值等于 _.12(呼和浩特)如图，四边形 ABDC中，ABD 120，ABAC，BDCD，AB4，CD5 3，则该四边形的面积是_.13已知等腰三角形ABC的底边 AB20cm，P是腰 AC上一点，且AP12cm，BP 16cm，则腰长是 _.14(沪州)如图，ABC中，ABBC 2，ABC90，D 是 BC的中点，且它关于AC的对称点为 D，则 BD _.15

22、 如图，点 A 在反比例函数6yx的图象上，OA4，ACx 轴，OA 的中垂线交x 轴于 B求ABC的周长.16有一人字形屋架(等腰三角形)，其顶角为120，两腰长均为4 米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形?17(牡丹江)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地8m 长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.18如图 A(3，4)，B(a，1)，AB5，C、D 分别为 x 轴、y 轴上的两动点.求四边形ABCD周长的最小值.y x A(3,4)B(a,

23、1)x y O 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献19如图，在正ABC中，DC4，DB 3，DA5，求 CDB20如图，在RtABC 中，ACB 90，ACBC，D 为三角形内一点，DC2，DB1，DA3求 CDB培优升级?奥赛检测01如图，在Rt ABC中，ABAC，D、E在斜边 BC上且 DAE45，将 ADC绕点 A 顺时针旋转，使AC与 AB 重合，得到 AFB，连接 EF，则下列结论:AEDAEF；ABE ACD；BE DCDE；BE2DC2DE2其中正确的是()ABCD02(四川联赛试题)BD 是 ABC的中线，AC6 且 ADB 45，C30，则 A

24、B()A6B2 2C3 2D6 03（江西竞赛）若将三条高线长度分别为x、y、z的三角形记为(x，y，z)，现在以下四个三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的个数为()A1 个B2 个C3 个D4 个04(北京竞赛)如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起、使 A、B 两点重合于CD边上的 P 点，然后压平得折痕EF与 GH.若 PE 8cm，PG6cm，EG 10cm，则长方形纸片 ABCD的面积为（）cm2A105.6 B110.4 C115.2 D124.8 05如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB、CD、E

25、F、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()ACD、EF、GHBAB、CD、EFCAB、CD、GHDAB、EF、GH第5题图FEBDHCAG第6题图SRQCABP中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献06(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC内有一点 P，过点 P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且 PQ6，PRS，PS 10，则 ABC的面积等于()A1903B192 3C1943D196307(四川省初二数学联赛试题)如图所示，在 ABC中，BAC 120，ABAC10 3cm，一动点 P从 B 向 C以每秒 2cm 的速度移动，当P点移

26、动 _秒时，PA与腰垂直.08 如图，在 ABC中，D 是 BC边上一点，ABAD2，AC 4，且 BD:DC2:3 则 BC_.09(黑龙江竞赛)小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm，宽为 8cm 的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长.10如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D 是 BC的中点，E、F分别是 AB，AC上的点，且 DEDF，若 BE 12，CF 5.求.SDEF11如图，已知直线y2x4 与 x 轴、y 轴分别交于点A、C，以 OA、OC为边在第一

27、象限内作长方形OABC求点 A、C的坐标；第7题图CABP224第8题图ABDCEDCABF中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献lDABC将 ABC对折，使得点 A 与点 C 重合，折痕交 AB于点 D，求直线 CD的解析式（图）；在坐标平面内，是否存在点P(除点 B 外)，使得 APC与 ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由.12(浙江省义乌)如图 1，已知 ABC90，ABE是等边三角形，点P为射线 BC上任意一点(点 P与 B不重合)，连接 AP，将线段AP绕点 A 逆时针旋转60得到线段AQ，连接 QE并延长交射线BC于点

28、 F.如图 2，当 BP BA 时，EBF _，猜想 QFC _；如图 l，当点 P为射线 BC上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；已知线段AB2 3，设 BPx，点 Q 到射线 BC的距离为y，求 y 关于 x 的函数关系式.13一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一卫生站A，距公路30km 的地方有一居民点B，A、B 之间的距离为60km.一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h.在草地上行驶的最快速度是30km/h，问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短?最短时间是多少?图x y O B A C Dx y O B A C B图图FQEABCP图FQEABCP中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献14 是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等?若存在，求出它的边长；若不存在，说明理由.