湘教版九年级上册第四章锐角三角形单元测试卷.pdf

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1、试卷第 1 页，总 5 页湘教版九年级上册第四章锐角三角形单元测试卷学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题1如图，AB 是 O 的直径，且经过弦CD 的中点 H，已知 sinCDB=35，BD=5，则AH 的长为（）A253B163C256D1662计算：（12）1+tan30?sin60=（）A32B2 C52D723如图，边长为2 3的等边ABC的内切圆的半径为()A1 B3C2 D2 34 如图，在 ABC 中，动点 P在ABC 的平分线BD 上，动点 M 在 BC 边上，若 BC=3，ABC=45 ，则 PM+PC 的最小值是()A2 B3 22C3 32D3 5如图，AB 与O

2、 相切于点C，OAOB，O 的直径为 6cm，AB63cm，则阴影试卷第 2 页，总 5 页部分的面积为（）A2(9 3)cmB2(932)cmC2(933)cmD2(934)cm6如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边 OA 在 x 轴上，点(10,0)A，4sin5COA若反比例函数(0,0)kykxx经过点C，则k的值等于（）A10 B24 C48 D50 7已知正 ABC 的边长为2，以 BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，则点A的坐标为()A3,03 0或，B0,303或，C0,3D0,38如图，在RtABC 中，C=90，AC=BC=6，D 是 AC 上一点，若ta

3、n DBC=23，则 AD 的长为（）A2 B4 C2D329如图，在矩形ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AEBD，垂足为 F，则 tanBDE的值是（）试卷第 3 页，总 5 页A24B14C13D2310ABC 在正方形网格中的位置如图所示，则cosB 的值为()ABCD2 二、填空题11如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到30AGE，若2 3AEEG厘米，则ABC的边BC的长为 _厘米.12已知 ABC 中，AB=10，AC=27，B=30，则 ABC 的面积等于 _13在直角三角形ABC 中，ACB=90，D、E 是边 AB 上两点，且

4、CE 所在直线垂直平分线段AD，CD 平分 BCE，BC=23，则 AB=_ 14如图，正六边形ABCDEF 的边长是6+43，点 O1，O2分别是 ABF，CDE 的内心，则O1O2=_试卷第 4 页，总 5 页15如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处测得小岛C 位于北偏东60 方向上，继续向东航行10 海里到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15 方向上，此时轮船与小岛 C 的距离为 _海里.（结果保留根号）三、解答题16小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语牌CD 她在 A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为42，测得隧道底端B 处的俯角为30（B，C，D

5、 在同一条直线上），AB=10m，隧道高 6.5m（即 BC=65m），求标语牌CD 的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin42 0.67，cos420.74，tan420.90，3 1.73）17为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B 两地间的公路进行改建如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到 B 地需途径C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶已知BC=80 千米，A=45，B=30（1）开通隧道前，汽车从A 地到 B 地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1 千米）（参考

6、数据：2 1.41，3 1.7 3）试卷第 5 页，总 5 页18某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45 调为 30，如图，已知原滑滑板AB 的长为 4 米，点 D，B，C 在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01 米，参考数据：21.414，31.732，62.449）19如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC 的水平距离AB为 90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6 倍，从 E(A，E，B 在同一水平线上）点测得D 点的仰角为30，测得 C 点的仰角为60，求这两座建筑物顶端C、D 间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）答案第 1 页，总 16 页

7、参考答案1B【解析】【分析】连接 OD，由垂径定理得出AB CD，由三角函数求出BH=3，由勾股定理得出DH=22BDBH=4，设 OH=x，则 OD=OB=x+3，在 RtODH 中，由勾股定理得出方程，解方程即可【详解】连接OD，如图所示：AB 是O 的直径，且经过弦CD 的中点 H，AB CD，OHD=BHD=90 ，sinCDB=35，BD=5，BH=3，DH=22BDBH=4，设 OH=x，则 OD=OB=x+3，在Rt ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，解得：x=76，OH=76，AH=OA+OH=76+3+76=163，故选 B【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理

8、以及三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练应用垂径定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键.2C【解析】【分析】答案第 2 页，总 16 页按顺序进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】（12）1+tan30?sin60=2+3332=2+12=52，故选 C【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3A【解析】【分析】连接 AO、CO，CO 的延长线交AB 于 H，如图，利用内心的性质得CH 平分 BCA，AO平分 BAC，再根据等边三角形的性质得CAB=60 ，CHAB，则OAH=30

9、，AH=BH=12AB=3，然后利用正切的定义计算出OH 即可【详解】设ABC的内心为O，连接 AO、BO，CO 的延长线交AB 于 H，如图，ABC为等边三角形，CH 平分BCA，AO 平分BAC，ABC为等边三角形，60CAB，CHAB，30OAH，132AHBHAB，在Rt AOH中，OHtantan30AHOAH，3313OH，答案第 3 页，总 16 页即ABC内切圆的半径为1故选：A【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了等边三角形的性质4B【解析】分析：截取BE=BM，所以 BEP BMP（SA

10、S），根据点到直线的距离垂线段最短可知CEAB，根据解直角三角形即可求解.详解：如图：在 AB 上截取 BE=BN，在 BEP 和BMP 中，BEBNEBPMBPBPBP,BEP BMP（SAS），MP=EP.连接 CE，即：CEPE+PC 当 CEPE+PC 即：CE 与 BP 的交点即为点P，当 CEAB 时，CE 最短（点到直线的距离垂线段最短）.答案第 4 页，总 16 页 ABC=45 ，EBC=BCE=45 .sinEBC=22ECBC,且 BC=3，EC=3 22.点睛：本题考查了垂线段的性质、全等三角形的判定，特殊的三角函数值.5C【解析】【分析】如图，连接 OC，由切线的性质

11、可得ACO=90 ，根据 OA=OB，AB=63，可得 AC=33，A=B，在 Rt AOC 中，可求得 A=30，继而可得 AOB=120 ，根据 S阴影=S AOB-S扇形ODE进行计算即可得.【详解】如图，连接OC，则 OC=162=3，AB 与O 相切于点C，OCAB，即 ACO=90 ，OA=OB，AB=63，AC=12AB=33，A=B，在 RtAOC 中，tanA=3333 3OCAC，A=30，AOB=180 -A-B=120 ，S阴影=S AOB-S扇形ODE=2112036 332360=29 33 cm，故选 C.答案第 5 页，总 16 页【点睛】本题考查了切线的性质、

12、解直角三角形的应用、扇形的面积等，正确添加辅助线，熟练应用相关知识是解题的关键.6C【解析】【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点()6,8C，将点 C 坐标代入解析式可求k 的值【详解】解：如图，过点C 作CEOA于点 E，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，点(10,0)A，10OCOA，4sin5CECOAOC8CE，22COCE6OE点 C 坐标(6,8)若反比例函数k(0,0)xykx经过点 C，6 848k故选：C【点睛】答案第 6 页，总 16 页本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C 坐标7B【解析】【分析】根据

13、题意作出图形，分点A 在 BC 的上方和下方两种情况，求出A 到 BC 的距离，即可求出点 A 的坐标【详解】如图所示：AO=2 sin60=3，点 A 的坐标为（0，3）或（0，-3）故选 B.【点睛】本题考查了坐标的确定，解决本题时注意点A 在 BC 的上方和下方两种情况8A【解析】【分析】先由BCAC6，再解Rt DBC，求出 DC 的长，然后根据ADACDC即可求解【详解】C90，BCAC6在Rt DBC中，C90，答案第 7 页，总 16 页DC2tanDBCBC3，2DCBC43，ADACDC642故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就

14、是解直角三角形.也考查了等腰直角三角形的性质9A【解析】【分析】证明 BEF DAF，得出 EF=12AF，EF=13AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出13EFDE，设 EF=x，则 DE=3x，由勾股定理求出22=22DFDEEFx再由三角函数定义即可得出答案【详解】四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，AD BC，点 E 是边 BC 的中点，BE=12BC=12AD，BEF DAF，12EFBEAFAD，EF=12AF，EF=13AE，点 E 是边 BC 的中点，由矩形的对称性得：AE=DE，EF=13DE，设 EF=x，则 DE=3x，DF=22=22DEEFx，答案第 8 页，总

15、 16 页tanBDE=242 2xEFxDF.故选 A【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键10 A【解析】试题解析：在直角ABD 中，BD=2，AD=4，则 AB=，则 cosB=故选 A116+43【解析】【分析】过点E 作 EH AG 于 H，由 AE=EG=23，AGE=30 可求得 AG 的长，由翻折可知 AE=BE、AG=CG，根据 BC=BE+EG+CG，将数据代入相加即可得.【详解】过点E 作 EH AG 于 H，AE=EG=23，AGE=30，AG=2AH=2AE?cos30=22332=6，

16、由翻折得2 3,6BEAEGCGA，64 3BCBEEGGC，故答案为：6+43.答案第 9 页，总 16 页【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、折叠的性质等，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形.12 153或 103【解析】分析：作 AD BC 交 BC（或 BC 延长线）于点D，分 AB、AC 位于 AD 异侧和同侧两种情况，先在RtABD 中求得 AD、BD 的值，再在RtACD 中利用勾股定理求得CD 的长，继而就两种情况分别求出BC 的长，根据三角形的面积公式求解可得详解：作AD BC 交 BC（或 BC 延长线）于点D，如图 1，当 AB、AC 位于 AD 异侧时，在 Rt

17、ABD 中，B=30 ，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=53，在 RtACD 中，AC=27，CD=2222=(2 7)5=3ACAD，则 BC=BD+CD=63，SABC=12?BC?AD=12 63 5=153；如图 2，当 AB、AC 在 AD 的同侧时，答案第 10 页，总 16 页由 知，BD=53，CD=3，则 BC=BD-CD=43，SABC=12?BC?AD=12 43 5=103综上，ABC 的面积是 153或 103，故答案为153或 103点睛：本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理13 4【解析

18、】分析：由 CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出 CE 平分 ACD，进而可得出 ACE=DCE，由 CD 平分 BCE 利用角平分线的性质可得出DCE=DCB，结合 ACB=90 可求出ACE、A 的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB 的长度详解：CE 所在直线垂直平分线段AD，CE 平分 ACD，ACE=DCECD 平分 BCE，DCE=DCB ACB=90 ，ACE=13ACB=30 ，A=60，AB=2 36032BCsin=4故答案为：4点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出A=60 是解题的关键14 9

19、+43答案第 11页，总 16 页【解析】【分析】如图，设AFB 的内切圆的半径为r，过 A 作 AM BF 于 M，连接 O1F、O1A、O1B，解直角三角形求出AM、FM、BM，根据三角形的面积求出r，即可求出答案【详解】如图，过A 作 AM BF 于 M，连接 O1F、O1A、O1B，六边形 ABCDEF 是正六边形，A=621806=120，AF=AB，AFB=ABF=12（180 120）=30，AFB 边 BF 上的高 AM=12AF=12（6+43）=3+23，FM=BM=3AM=33+6，BF=33+6+33+6=12+63，设AFB 的内切圆的半径为r，S AFB=111AO

20、 FAO BBFOSSS，12（3+23）（33+6）=12（6+43）r+12（6+43）r+12（12+63）r，解得：r=32，即 O1M=r=32，O1O2=232+6+43=9+43，故答案为：9+43答案第 12 页，总 16 页【点睛】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，三角形面积公式，三角形的内接圆和内心等知识点，正确添加辅助线、求出ABF 的内切圆的半径是解此题的关键15 52【解析】【分析】如图，作 BH AC 于 H在 RtABH 中，求出 BH，再在 RtBCH 中，利用等腰直角三角形的性质求出BC 即可【详解】如图，作BH AC 于 H在 RtABH 中，AB=10

21、 海里，BAH=30 ，ABH=60 ，BH=12AB=5（海里），在 RtBCH 中，CBH=C=45 ，BH=5（海里），BH=CH=5 海里，CB=52（海里）故答案为:52【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题16标语牌CD 的长为 6.3m【解析】分析：如图作AEBD 于 E分别求出BE、DE，可得 BD 的长，再根据CD=BD-BC 计算即可；详解：如图作AEBD 于 E答案第 13 页，总 16 页在 RtAEB 中，EAB=30 ，AB=10m，BE=12AB=5（m），AE=53（m），在 RtADE 中，DE

22、=AE?tan42=7.79（m），BD=DE+BE=12.79（m），CD=BD-BC=12.79-6.5 6.3（m），答：标语牌CD 的长为 6.3m点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题17（1）开通隧道前，汽车从A 地到 B 地大约要走136.4 千米；（2）汽车从A 地到 B 地比原来少走的路程为27.2千米【解析】分析：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角 ACD 中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角 CBD 中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A 地到 B 地比

23、原来少走多少路程详解：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，AB CD，sin30=CDBC，BC=80 千米，CD=BC?sin30=80（千米），答案第 14 页，总 16 页AC=40=402sin 4522CD（千米），AC+BC=80+402 40 1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A 地到 B 地大约要走136.4 千米；（2）cos30=BDBC，BC=80（千米），BD=BC?cos30=80340 32（千米），tan45=CDAD，CD=40（千米），AD=4040tan451CD（千米），AB=AD+BD=40+403 40+40 1

24、.73=109.2（千米），汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BC AB=136.4 109.2=27.2（千米）答：汽车从A 地到 B 地比原来少走的路程为27.2 千米点睛：本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线18改善后滑板会加长1.66 米【解析】【分析】在 RtABC 中，根据AB=4 米，ABC=45，求出 AC 的长度，然后在RtADC 中，解直角三角形求AD 的长度，用AD-AB 即可求出滑板加长的长度【详解】解：在 RtABC 中，AC=AB?sin45=422=2 2，在 Rt

25、ADC 中，AD=2AC=4 2，AD-AB=4 2-4 1.66 答：改善后滑板会加长1.66 米【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是答案第 15 页，总 16 页解答本题的关键1920 39.【解析】【分析】根据题意求出线段长度，再在直角三角形中解三角函数即可求出答案.【详解】解：由题意知：6BCAD，90AEBEABm在Rt ADE中，tan30ADAE，sin30ADDE333ADAEAD，2DEAD；在Rt BCE中，tan60BCBE，sin60BCCE，2 33BCBEAD，2 34 33BCCEAD；90AEBEABm32 390ADAD10 3ADm20 3DEm，120CEm180DEADECCEB，30DEA，60CEB，90DEC221560020 39CDDECEm答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为20 39m答案第 16 页，总 16 页【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形