解读高斯正十七边形的作法(下)(20200816060834).pdf

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1、第 1 页 共 6 页解读高斯正十七边形的作法正十七边形的尺规作法：步骤 1：在平面直角坐标系xOy 中作单位圆 O 步骤 2：在 x 轴负半轴上取点N，使|ON|41，易知|NB|417，以 N 为圆心，NB 为半径作弧，交 x 轴于 F、F，易知|OF|2a，|OF|2b步骤 3：此时|FB|122a242a，以 F 为圆心，|FB|为半径作弧，交x 轴正半轴于 G，此时|OG|2422aac 步骤 4：.类似地，|FB|122b242b，以 F 为圆心，|FB|为半径作弧，交x 轴正半轴于点 G ，此时|OG|2422bbe 步骤 5：以|CG|为直径作圆，交 y 轴正半轴于点 H，易知

2、 OH21 e 第 2 页 共 6 页步骤6：以 H 为圆心，21|OG|为半径作弧，交x 轴正半 轴于点K，则有|OK|222OHOG222ec242ec步骤7：以 K 为圆心，|KH|21|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点L，则|OL|242ecc步骤 8：取 OL 的中点 M，则|OM|442ecc cos172步骤 9：过点 M 作 y 轴的并行线交单位圆O 于两点 A2和 A17，则 为正十七边形的第一个顶点，A2为第二个顶点，A17为第十七个顶点，从而作出正十七边形。正十七边形边长的表达式在上面得到的一系列等式：a2171，b2171，c242aa，e242bb，cos1724

3、42ecc中，依次求出c417234171，第 3 页 共 6 页e417234171。从而求出cos172的其它表达式：可以验证，它们在数值上是相等的，其中以第二个表达式为最优。在单位圆中，根据余弦定理，得正十七边形的边长为172cos22，将 cos172的值代入，即可求出正十七边形的边长。正十七边形的另一种作法步骤 1：作圆 O 的两条互相垂直的直径AC、BD；在 OB 上截取 OE14OB，连接 E；作FEO14EO 交 O 于点 F；作GEF4，边 EG 交 CO 于点 G。第 4 页 共 6 页步骤 2：以 G 为直径作圆 O ，交 OB 于点 H；再以点 F 为圆心，经过点 H

4、作圆 F，交 AC 于 N4 和 N6 两点。步骤 3：过 N4 作 AC 的垂线交圆 O 于点 P4，过 G6 作 AC 的垂线交圆 O 于点 P6，则以圆 O 为基准圆，为正十七边形的第一个顶点P1，P4 为第四个顶点，P6 为第六个顶点。以12弧 P4P6 所对的弦为半径，即可在圆O 上截出正十七边形的所有顶点。第 5 页 共 6 页很久以前，古希腊数学家曾深入研究过一类作图问题，即：如何利用尺规作圆的内接正多边形。早在几何原本一书中，欧几里德就用尺规完成了圆内接正三边形、正四边形、正五边形，甚至正十五边形的作图问题。然而，似乎更容易完成的正7、9、11 边形却未能作出。让后来数学家尴尬

5、的是，欧几里德之后的2000 多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进一步。因此，我们可以想象得到，当1796 年年仅 19 岁的高斯宣布他发现了正十七边形的作图方法时，会在数学界引起多么巨大的震憾了。不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏隔下中间这一些直接完成了正十七边形。为什么第一个新作出的正多边形是正十七边形而不是正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规作出？在经过继续研究后，高斯最终在1801 年对整个问题给出

6、了一个完美的解答。高斯指出，只用直尺和圆规作圆内接正n 边形，当 n 满足如下特征之一时方可作出：1)n2m；（其中 m 为正整数）2)边数 n 为质数且形如n22t+1（其中 t 为非负整数），即n 为质数的费马(Fermat)数。3)边数 n 具有 n2mp1p2p3pk的形式（其中p1，p2，p3，pk为互不相同的费马质数）。由高斯的结论，具有质数n 条边的正多边形可用尺规作出的必要条件是n 为费马数。由于我们目前发现的费马质数只有前五个费马数，因此，边数是费马数的正多边形中，只有正3、5、17、257、65537 边形可用尺规作出（除非你能发现另一个费马质数）。进一步，可以作出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这五个数组合而得到，这样的组合数只有31 种。而边数为偶数的可尺规作出的正多边形，边数或是2 的任意次正整数幂或与这31 个数经过组合第 6 页 共 6 页而得到。黎西罗给出了正257 边形的尺规作法，写满了整整80 页纸。盖尔梅斯给出了正65537边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提箱，现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁琐的尺规作图。