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1、用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的最值性打开文本图片集【摘要】用实数完备性的主要定理(致密性定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、单调有界原理)对闭区间上连续函数的最值性从多角度进行证明,深化了对实数完备性主要定理的应用与理解.【关键词】完备性;最值;确界实数的完备性是数学分析学习和讲授中的难点之一,华东师范大学编写的数学分析将该难点进行了分散处理:第一章介绍了确界原理,第二章给出了单调有界定理,第三章给出了连续函数的性质,并得出了闭区间上连续函数的最值性.第七章在介绍了实数完备性相关定理后,专门安排介绍了闭区间上连续函数的性质(有界性,最值性介值性、一致连续性等)并用多种方法进行了
2、证明.不少专家学者对闭区间上连续函数性质的证明进行了深入研究.本课题组研究发现,闭区间连续函数的最值性虽最易直观理解,但作为一门严谨的学科,必须对其进行严密的证明,这类证明方法在诸多文献中鲜有发现.教材中也仅利用确界原理对其进行了证明.本文试用实数完备性的主要定理(单调有界原理、致密性定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理)对闭区间上连续函数的最值性从多角度进行证明,深化了对实数完备性主要定理的应用与理解.一、预备知识引理1(确界原理)设S是非空数集,若S有上界,则必有上确界.若S有下界,必有下确界.引理2(有界性定理)若函数在闭区间a,b上连续,则f(某)在a,b上有界.引理3(单调有界
3、原理)在实数系中,有界的单调数列必有极限.引理4(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.引理5(闭区间套定理)若a,b构成一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得a,b,n=1,2,.引理6(有限覆盖定理)设H为闭区间a,b上一个(无限)开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖a,b最大(小)值定理:若函数f(某)在闭区间a,b上连续,则f(某)在a,b上有最大值和最小值.二、主要证明5.总结关于闭区间连续函数的最值性的证明,主要根据不同的定理进行有效的构造.实数完备性的几大定理,从不同侧面对实数进行了有效的刻画,这些定理是相互等价的.对同一问题利用实数完备性不同的定理进行证明,一方面验证了定理相互等价,另一方面可以促进学生加深对这些定理内涵及其应用的理解,从而激发其学习兴趣,有效化解了数学分析中的难点问题.