第二章 直线和圆的方程综合检测-高二上学期数学人教A版（2019）选择性第一册.docx

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1、第二章 直线和圆的方程综合检测一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-12,则|MN|=()A.10 B.180 C.63 D.652.2022北师大实验中学高二期中“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.圆C:x2+y2-ax+2=0与直线l相切于点A(3,1),则直线l的方程为()A.2x-y-5=0 B.x-2y-1=0C.x-y-2=0 D.x+y-4=04.2

2、021四川绵阳东辰国际学校高二期末已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度为22,则圆M与圆N:x2+y2-6x-12y-4=0的位置关系是()A.内切 B.外切 C.相交 D.相离5.2022山东平邑高二期中过直线y=2x-3上的点作圆C:x2+y2-4x+6y+12=0的切线,则切线长的最小值为()A.21 B.19 C.25 D.5556.若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆C:x2+4x+y2-5=0在第一象限有交点,则实数k的取值范围是()A.(0,5)B.(-5,0)C.(0,13) D.(0,5)7.2022浙江绍兴鲁迅中学高二上期中如图,在直

3、角坐标系中,三角形ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-1,0),C(1, 0),O为原点,从O点出发的光线先经AC上的点P1反射到边AB上,再由AB上的点P2反射回到BC边上的点P3停止,则直线OP1的斜率的范围为()A.32,23 B.33,33 C.3,33 D.3,238.已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9,点M,N分别是圆C1,圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是()A.25+4B.9C.7D.25+2二、多项选择题: 本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对

4、的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,则()A.直线l2过定点(23,13)B.若l1l2,则a=1或-3C.若l1l2,则a=0或2D.当a0时,l1始终不过第三象限10.2022吉林一中高一期中设有一组圆Ck:(x-2k+1)2+(y-k)2=1,则()A.这组圆的半径均为1B.直线2x-y+2=0平分所有圆Ck的面积C.直线2x-3y+1=0被圆Ck截得的弦长相等D.存在一个圆Ck与x轴和y轴均相切11.2022华东师范大学第二附属中学月考数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线

5、上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2相切,则()A.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为32B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为22C.圆M上到直线BC的距离为12的点有且仅有2个D.圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则a的范围是1-22,1+2212.如图,已知点A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧,CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧,BA是以OA为直径的圆上的一

6、段圆弧,三段圆弧构成曲线,则()A.曲线与x轴围成的面积等于32B.CB与BA的公切线的方程为x+y-1-2=0C.BA所在圆与CB所在圆的相交弦所在直线的方程为x-y=0D.CD所在圆截直线y=x所得弦的弦长为23三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.写出一个截两坐标轴所得的弦长相等且半径为1的圆的标准方程:.14.若O1:x2+y2=5与O2:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是.15.已知圆M:(x+m)2+(y+1)2=1与圆N关于直线l:x-y+3=0对称,且圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为2

7、2-2,则实数m的值为.16.已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作M的切线PA,PB,切点为A,B,则|PM|AB|的最小值是,此时直线AB的方程为.(本题第一空2分,第二空3分.)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)2022山东莒县教育局教学研究室高二期中已知ABC中,A(-1,0),C(2,1),角B的平分线为y轴.(1)求点A关于y轴的对称点D的坐标及BC边所在直线的方程;(2)求ABC的外接圆的方程.18.(12分)2022西南大学附中高二上期中在平面直角坐标系中,已知圆C:x

8、2+y2-8y+12=0,直线l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0.(1)求证:直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)在CACB=0,|AB|最小,过A,B两点分别作圆C的切线,切线交于点P(2,2)这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并求解.设圆C的圆心为C,直线l与圆C交于A,B两点,当时,求直线l的方程.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+m=0.(1)若圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半,求m的值;(2)当m=3时,若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.20.(12分)2022江苏省阜宁中学高二期中为

9、了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全,海事部门在某平台O的正东方向设立了两个观测站A,B(点A在点O、点B之间),它们到平台O的距离分别为3海里和12海里,记海平面上到两观测站的距离|PA|,|PB|之比为12的点P的轨迹为曲线E,规定曲线E及其内部区域为安全预警区.(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(如图),求曲线E的方程.(2)某日在观测站B处发现,在该海上平台正南211海里的C处,有一艘轮船正以每小时10海里的速度向北偏东30方向航行,如果航向不变,该轮船是否会进入安全预警区?如果不会进入,说明理由;如果会进入,求它在安全预警区中的航行时间. 21.(12

10、分)2022安徽屯溪一中高二期中已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满足线段RT=2TQ,记T点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程.(2)过点A(0,3)且斜率为k的直线l与曲线交于M,N两点,试探究:设O为坐标原点,是否存在直线l,使得OMON=26?若存在求出|MN|;若不存在说明理由.求线段MN的中点D的轨迹方程.22.(12分)2022河南南阳一中高二期中已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为12,动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程,并说明其形状;(2)过直线x=3上的动点P(3,p)(p0)

11、作曲线C的两条切线PQ,PR(Q,R为切点),N为弦QR的中点,直线l:3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E,F,求NEF的面积S的取值范围.参考答案一、单项选择题1.DkMN=a42a=12,解得a=10,即M(-2,10),N(10,4),所以|MN|=(210)2+(104)2=65,故选D.2.A因为1a+a(-1)=0,所以对任意的aR,直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直.所以“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的充分不必要条件.故选A.3.D由已知条件,得32+12-3a+2=0,解得a=4,则圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心为C

12、(2,0),则直线l的方程为y-1=1kAC (x-3)=-x+3,即x+y-4=0.4.A圆M的圆心为M(0,a),半径为r1=a,a0,圆心M(0,a)到直线x+y=0的距离为a2,所以(a2)2+(222)2=a2a=2,所以M(0,2),r1=2.圆N的圆心为N(3,6),半径r2=7,|MN|=5=r2-r1,所以圆M与圆N内切.故选A.5.D在直线y=2x-3上任取一点P(x,y),过点P作圆C的切线,设切点为A.圆x2+y2-4x+6y+12=0,即(x-2)2+(y+3)2=1,圆心为C(2,-3),半径为r=1.切线长|PA|=|PC|2r2=|PC|21,又|PC|min=

13、|22+33|22+12=455,所以切线长的最小值为(455)21=555.6.A圆C的方程x2+4x+y2-5=0化为(x+2)2+y2=9,圆C与x轴正半轴交于点A(1,0),与y轴正半轴交于点B(0,5),如图所示.因为过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆C:x2+4x+y2-5=0在第一象限有交点,所以kMAkkMB,所以0k5.7.A因为入射角等于反射角,所以把ABC以AC为轴进行翻折,使点B落到B,再以AB为轴,把ACB进行翻折,使点C落到C,如图.由光的反射原理,若kOP1kOC,则光线反射到边AC后不会反射到边AB上,所以光线OP1的斜率满足kOBkOP1kOC.因为A(

14、0,3),B(-1,0),C(1,0),所以|AB|=3+1=2,|AC|=1+3=2,|BC|=1-(-1)=2,所以ABC是等边三角形.由翻折可得B(2,3),C(1,23),所以直线OB的斜率kOB=32,直线OC的斜率kOC=23,所以直线OP1的斜率的范围为32,23.8.B易知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1的圆心C1(1,-1),半径为1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心C2(4,5),半径为3.要使|PN|-|PM|最大,则需|PN|最大,且|PM|最小.又|PN|的最大值为|PC2|+3,|PM|的最小值为|PC1|-1,故|PN|-|PM|的最大值是(|P

15、C2|+3)-(|PC1|-1)=|PC2|-|PC1|+4.因为点C2(4,5)关于x轴的对称点为C2(4,-5),|PC2|-|PC1|=|PC2|-|PC1|C1C2|=(41)2+(5+1)2=5,故|PC2|-|PC1|+4 的最大值为5+4=9,故选B.二、多项选择题9.ACD易知l2:a(x-2y)+3y-1=0过定点(23,13),A正确;当a=1时,l1与l2重合,故B错误;由1a+a(3-2a)=0,得a=0或2,故C正确;当a0时,直线l1:y=1ax+1始终过点(0,1),斜率为负,不会过第三象限,故D正确.故选ACD.10.AD 11.BD由题意,可得示意图如图所示,

16、 因为ABC为等腰三角形且|AB|=|AC|,知外心、重心在BC的垂直平分线FH上,由“欧拉线”的定义知FH即为“欧拉线”.线段BC的中点为(32,12),kBC=-1,所以直线FH:y=x-1.而圆M与直线FH相切,所以r=|301|2=2,所以圆M:(x-3)2+y2=2,所以圆心M到直线x-y+3=0的距离d=62=32,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的范围为22,42,故A错误,B正确;易知直线BC:x+y-2=0,则圆心M到直线BC的距离为2212,所以圆M上到直线BC的距离为12的点有4个,故C错误;圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,即2(a2)2+a232

17、,所以1-22a1+22,故D正确.故选BD.12.BCCD,CB,BA所在圆的方程分别为(x+1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,(x-1)2+y2=1,曲线与x轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个四分之一圆,面积为2+2+24=+2,故A错误;设CB与BA的公切线的方程为y=kx+b(k0),则|1+b|k2+1=|k+b|k2+1=1,解得k=-1,b=1+2,所以CB与BA的公切线的方程为y=-x+1+2,即x+y-12=0,故B正确;由x2+(y-1)2=1及(x-1)2+y2=1,两式相减得x-y=0,所以所求相交弦所在直线的方程为x-y=0,故C正确;CD所在圆的方程为(

18、x+1)2+y2=1,圆心为(-1,0),圆心到直线y=x的距离d=|1|2=22,则所求弦长为21(22)2=2,故D错误.故选BC.三、填空题13.(x12)2+(y12)2=1(答案不唯一)解析 因为该圆截两坐标轴所得的弦长相等,所以可设圆心坐标为(m,m),由圆的半径为1,可得|m|1,所以可取m=12,则圆的标准方程为(x12)2+(y12)2=1.(其他答案合理均可.)14.4解析 由题知O1(0,0),O2(m,0),且5|m|35.因为O1AO2A,所以m2=(5)2+(25)2=25,所以m=5,所以|AB|=25255=4.15.2或6解析 方法一设N(x,y),因为M(-

19、m,-1),圆M和圆N关于直线l对称,所以y+1x+m=1xm2y12+3=0,解得x=4y=m+3,所以N(-4,-m+3),所以|MN|=(4m)2+(m4)2=2(m4)2.因为圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为222,所以2(m4)22=222,解得m=2或6.方法二由圆M与圆N关于直线x-y+3=0对称得,圆M上的点到直线x-y+3=0距离的最小值为2222=21,即圆心M(-m,-1)到直线x-y+3=0的距离为21+1,即|m+1+3|1+1=2,解得m=2或m=6.16.42x+y+1=0解析 由x2+y2-2x-2y-2=0可得(x-1)2+(y-1)2=4,则

20、圆心M(1,1),半径为2,如图,连接AM,BM,四边形PAMB的面积为12|PM|AB|,要使|PM|AB|最小,则需四边形PAMB的面积最小,即只需PAM的面积最小.SPAM=12|PA|AM|=|PA|=|PM|2|AM|2=|PM|24,|PM|的最小值是圆心M到直线l的距离,为d=|2+1+2|5=5,此时PMl,|PA|=1,四边形PAMB的面积为2,即|PM|AB|的最小值为4.此时直线PM的方程为x-2y+1=0,由2x+y+2=0x2y+1=0,解得x=1y=0,即P(-1,0),易知点P,A,M,B四点共圆,所以以PM为直径的圆的方程为x2+(y12)2=(52)2,即x2

21、+y2-y-1=0,则直线AB的方程为2x+y+1=0. 四、解答题17. 解析 (1)因为A与D关于y轴对称,所以点D(1,0). (2分)因为角B的平分线为y轴,所以点D(1,0)在直线BC上, (3分)又C(2,1),所以直线BC方程为y010=x121,即x-y-1=0. (5分)(2)因为角B的平分线为y轴,所以点B在y轴上,得B(0,-1). (6分)设ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有1D+F=01E+F=05+2D+E+F=0,解得D=1E=1F=2,即ABC外接圆的方程为x2+y2-x-y-2=0. (10分)18. 解析 (1)直线l:(3m+1)x+

22、(1-m)y-4=0化为(3x-y)m+x+y-4=0,令3xy=0x+y4=0,解得x=1y=3,所以直线l过定点(1,3). (2分)又1+9-24+12=-20,所以定点M(1,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交,即直线l与圆C总有两个不同的交点. (5分)(2)将圆的方程化为标准方程x2+(y-4)2=4,则C(0,4),半径r=2. (6分)方案一选条件.因为CACB=0,所以CACB,所以在RtACB中,|AB|=22,所以圆心C到直线l:(3m+1)x+(1-m)y-4=0的距离d=r2(|AB|2)2=2, (9分)即|4(1m)4|(3m+1)2+(1m)2=2,解得m=-1

23、,所以直线l:x-y+2=0. (12分) 方案二选条件.当直线l所过定点M(1,3)为弦AB的中点时,|AB|最小,此时CMAB, (8分)又kCM=3410=-1,所以kl=1,即3m+11m=1,解得m=-1,所以直线l:x-y+2=0.(12分)方案三选条件.因为过A,B两点分别作圆C的切线,切线交于点P(2,2),所以CPAB, (8分)又kCP=2420=-1,所以kl=1,即3m+11m=1,解得m=-1,所以直线l:x-y+2=0.(12分)19. 解析 (1)将圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5-m,所以圆C的圆心为C(-1,2),半径为r=5m.(2分)

24、因为圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半,所以(r4)2+22=r2,(3分)所以r2=6415,即5-m=6415,解得m=1115.(5分)(2)当m=3时将圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,其圆心C(-1,2),半径r=2.(7分)当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线的方程为y=kx,所以圆心到切线的距离为|k2|k2+1=2,即k2-4k-2=0,解得k=26,所以切线方程为y=(2+6)x或y=(26)x.(9分)当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线的方程为x+y-a=0,所以圆心到切线的距离为|1+2a|2=2,即|a-1|=2,解得a=3或-1,所以切

25、线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.(11分)综上所述,所求切线方程为y=(2+6)x或y=(26)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(12分)20. 解析 (1)设P(x,y),由题意得A(3,0),B(12,0),|PA|PB|=12,即2|PA|=|PB|,所以2(x3)2+y2=(x12)2+y2,即x2+y2=36,所以曲线E的方程为x2+y2=36.(4分)(2)因为C在该海上平台正南211海里处,所以C(0,-211).因为轮船向北偏东30方向航行,所以轮船航行直线l的倾斜角为60,即直线l的斜率为3,所以轮船航行直线l的方程为y+211=3(x-0),即3x-y-211=

26、0.(6分)因为曲线E的方程为 x2+y2=36,圆心O(0,0),半径为R=6,所以圆心O到直线l的距离d=21112+(3)2=110,所以k218.(5分)设M(x1,y1),N(x2,y2),得x1+x2=61+k2,x1x2=81+k2,(6分)由OMON=26,得x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+3k(x1+x2)+9=26,即k2-2k+1=0,所以k=1,与k218不符,所以满足条件的直线不存在.(8分)MN中点坐标为(x1+x22,y1+y22)(k218),所以x1+x22=31+k2,y1+y22=3k1+k2+3.(10分)设MN中点D为(xD,yD),则xD=

27、31+k2,yD=3k1+k2+3yD3xD=k,将k=yD3xD代入xD=31+k2中,得(xD32)2+(yD3)2=94,所以中点D的轨迹方程为(x32)2+(y-3)2=94.(12分)22.解析 (1)设M(x,y),由|MO|MA|=12,得x2+y2(x3)2+y2=12,化简得x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4.故曲线C的方程为(x+1)2+y2=4,曲线C是以(-1,0)为圆心,以2为半径的圆.(3分)图1(2)由题意知,PQ,PR与圆相切,Q,R为切点,则DQPQ,DRPR,则D,R,P,Q四点共圆,Q,R在以DP为直径的圆上(如图1).设D(-1,0),又

28、P(3,p)(p0),则DP的中点为(1,p2),|DP|=16+p2.以线段DP为直径的圆的方程为(x-1)2+(yp2)2=(16+p22)2,整理得x2+y2-2x-py-3=0. (5分)又Q,R在曲线C:x2+y2+2x-3=0上,-得4x+py=0,所以切点弦QR所在直线的方程为4x+py=0,(6分)则QR恒过坐标原点O(0,0). (7分)由对称性可知,QR的中点N在x轴上当且仅当点P在x轴上,因为p0,点P不在x轴上,则点N也不在x轴上,所以点N与D,O均不重合.图2因为N为弦QR的中点,所以DNQR,即DNON(如图2),所以点N在以OD为直径的圆上,圆心为G(12,0),半径r=12.因为直线3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E,F,所以E(2,0),F(0,32),|EF|=52.圆心G(12,0)到直线3x+4y-6=0的距离d=|3(12)+406|32+42=32. (10分)设NEF的边EF上的高为h,则点N到直线3x+4y=6的距离为h,则h的最小值为d-r=3212=1,h的最大值为d+r=32+12=2.则Smin=12521=54,Smax=12522=52.因此NEF的面积S的取值范围是54,52. (12分)学科网（北京）股份有限公司