第六节 函数的连续性与间断点.ppt

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1、第六节第六节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数的连续性一、函数的连续性注意注意增量增量定义定义1二二.函数连续的定义函数连续的定义若若反之反之,称函数在称函数在xx00 处间断处间断,且将且将xx00 叫作函数的间断点叫作函数的间断点 于是于是,得到连续性的等价定义得到连续性的等价定义因为因为 或或故由故由可推得可推得注意注意注意注意 等价定义如下等价定义如下等价定义如下等价定义如下定义定义2连续函数的几何意义连续函数的几何意义:若若 在在 上连续上连续,则图形在则图形在 必断开必断开,则对应于函数的图形则对应于函数的图形(曲线曲线)是连续不断的是连续不断的,且断开的形式是多种

2、多样的且断开的形式是多种多样的.若在若在 处处 不连续不连续,例例1由由 的任意性知的任意性知例例2同法可以证明同法可以证明 在在 内也连续内也连续例例3三、间断点三、间断点定义定义3间断点分类间断点分类例4例例5三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性(导读)和差积商的连续性和差积商的连续性反函数的连续性反函数的连续性复合函数的连续性复合函数的连续性例例6即即 若若则则更一般地更一般地初等函数连续性初等函数连续性1、基本初等函数在其定义域上连续、基本初等函数在其定义域上连续.2、初等函数在其定义区间上连续、初等函数在其定义区间上连续.3、初等函数在其定义区间上求极限即求该点的、初等函数在其定

3、义区间上求极限即求该点的 函数值函数值.4、初等函数求连续区间即求定义区间、初等函数求连续区间即求定义区间.例例7第七节第七节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义最大值和最小值.定理定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有几何说明：几何说明：例如例如 在在 上连续但无最大最小值上连续但无最大最小值 1）若）若 在开区间在开区间 上连续，上连续，注意：注意：2）若）若 在在 上有定义，但有间断点，上有定义，但有间断点，则在区间则在区间 上不一定达到最大值。上不一定达到最大值。则则 在区间在区间 上不一定达到最大最小值。上不一定达到最大最小值。例如例如3）最大值最小值可能不唯一）最大值最小值可能不唯一4）最大值最小值可在区间内或区间端点处取得）最大值最小值可在区间内或区间端点处取得5）定理仅指出最值的存在，并没指出在何处取得。）定理仅指出最值的存在，并没指出在何处取得。定理定理2（有界性定理）（有界性定理）推广：推广：二、介值定理二、介值定理定理定理3(介值定理)推论推论 在闭区间上连续的函数定理定理4(零点定理)必取得介于其最大值与最小值之间的任何值.例例2