泰勒公式说明.ppt

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1、第六节第六节 一、泰勒公式一、泰勒公式二、泰勒级数二、泰勒级数幂级数在函数逼近中的应用幂级数在函数逼近中的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 三、幂级数在近似计算中的应用三、幂级数在近似计算中的应用本节本节内容内容:对于一些较为复杂的计算，为了便于研究，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达某函数.我们常用多项式来近似表达函数，称为用多项式来逼近函数。在微分应用中，我们已经知道，当变量的绝对值很小时，有如下的近似计算：显然，在 x=0处，这些多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。第六节 目录 上页 下页 返回 结束 但是这种表达式还存在不足之处就是精度

2、不高，对于精度要求较高且需要估计误差的情形，往往须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式。一、泰勒公式一、泰勒公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1的某领域内有直至阶导数，则对此领域内任何一个，有称为泰勒公式，其中 叫做余项，之间。容易验证当设函数在在与泰勒公式称为麦克劳林公式。时就是微分的拉格朗日中值定理。特别地，取时，泰勒公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.写出函数解:因为当迈克劳林展开式为其中，的麦克劳林展开式。时，得为余项其含义是将f(x)展开到(x-x0)的n次幂。Seriesf(x),x,x0,n机动 目录 上页 下页 返回 结束 我们也可以利用Mathem

3、atica软件来展开函数，其语句为：对于本例，如果n=6，则其中ox7为余项。其误差不超过万分之一。当n=6，x=1时，可以算出数数二、泰勒级数二、泰勒级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2 设函数设函数为函数f(x)在f(x0)特别地，当取称为的麦克劳林级数。则称级数则称级数 的某领域内具有任意阶导的某领域内具有任意阶导在在的泰勒级数。时，机动 目录 上页 下页 返回 结束 二是该级数是否收敛于函数定理 设收敛于的充要条件是泰勒公式的余项满足在此领域内，泰勒级数同样地，麦克劳林级数条件是泰勒公式的余项满足一是该级数在什么条件下收敛，泰勒级数是泰勒多项式从有限项到无限项的推广，带来

4、了两个问题：。的某领域内有任意阶导数，那么在的充要收敛于的机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.将解解:（1）先求出处的值，当n=2m时，当n=2m-1时的幂级数。展开成分别算出在（2）写出麦克劳林级数：机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为对于（3）求级数的收敛半径所以级数的收敛区间为。有，或收敛区间余项机动 目录 上页 下页 返回 结束（2）利用麦克劳林公式，不难得出几个常用的初等函数的幂级数展开式：（3）（1）机动 目录 上页 下页 返回 结束（5）（4）（6）三、幂级数在近似计算中的应用三、幂级数在近似计算中的应用 在经济和工程技术领域中，常常涉及近似计算问题，例如在债券理论中

5、，为了研究收益率对价格的影响，往往利用泰勒级数的前两项或前三项来近似计算，并根据近似计算公式研究债券的性质，为复杂的债券投资组合提供依据。机动 目录 上页 下页 返回 结束 由函数产生的泰勒级数是函数的精确表达式：只要来估计。适当小，可用级数前几项部分和来作近似计算，这种近似计算还是具有相当精确度的，而且所产生的误差可以由余项P(y)的二阶导数为 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束 变化主要取决于收益率y,如果第t年所得的现金流为 我们来研究幂级数近似计算在固定收益证券中的是各期现金流的现值和CFt，它的现值为应用对于总期限为的付息债券而言，其价格的，那么债券的理论价格就P(y)的二阶导数为

6、根据泰勒级数公式，债券价格P(y)的近似计算公式为 将一阶导数和二阶导数代入上式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或者 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 令 D是债券现金流的加权平均期限，被称为修正的久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间所支付的现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，修正值为(1+y)-1.经济含义是债券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标。C被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积t(t+1)的加权修正值，权数是现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比，不同于久期的是，其修正值为(1+y

7、)-2。令机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此，债券价格的近似公式简化为 例3 面值为100元的上海世博一期债券期限为7年，每年利息为4元，市场价格为105元求债券的修正久期的凸性，当收益率上升0.01时，世博债券的价格变化。设 债券的收益率为，则债券的价格等于现金流的总现值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用Mathematica软件，首先定义价格方程 所得现金流为(4+100)元。解每份债券前六年的现金流为4元，第七年还本付息机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于收益率y介于0和1之间，所以y0=0.0319当P0=105元时的y0值求修正久期 修正久期为6.07052。求凸性

8、机动 目录 上页 下页 返回 结束 当收益率上升0.01的时候，世博债券的价格变动幅度为 因此，债券的近似计算公式为 即债券的收益率上升100个基点（0.01），债券的价格大约下降5.84%有关幂级数的近似计算，也可以直接利用Mathematica软件中函数Series 的功能，它将按照要求将目标函数展开为泰勒级数的前n次幂项，并用o n+1表示余项。机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 （1）定义价格函数。例4.利用Mathematica软件的幂级数功能函数Series 计算例3的问题。机动 目录 上页 下页 返回 结束（2）利用Series 求解债券价格的展开式。即P105.01-637

9、.4(y-0.031 9)+2 376.46(y-0.031 9)2（3）计算债券的价格变动、久期和凸性。将y=0.041 9代入上式，可得P=98.87，价格变动幅度=(98.87-105)105=5.83%，修正久期为 凸性为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 （1）利用Mathematica软件，首先定义债券的价格函数。例42006年某期面值为100 元的附息国债的年限为5年，每年利息为3.7元，如果债券的收益率为4%，求债券的修正久期和凸性。Out23=98.664 5-441.43(y-0.04)+1 242.32(y-0.04)2+oy-0.043（2）求y=4%，n=2时，泰勒级数的展开式。机动 目录 上页 下页 返回 结束（3）求修正久期和凸性。债券的修正久期 债券的凸性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节小结：2.泰勒级数的定义 1.泰勒公式定义 3.如何利用级数来求近似值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 课堂练习：习题课堂练习：习题10 6 1求tanx和arccosx在x0=0处的幂级数展开式，取n=15。3将下列函数在指定处展开成泰勒级数，取n=6。机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业：作业：P2372、4题习题习题10 6