2chapter5(1)曲面与曲线.ppt

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1、Chapter 5(1)曲面与曲线曲面与曲线教学要求：教学要求：1.理解曲面方程的概念理解曲面方程的概念;2.会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于 坐标轴的柱面方程坐标轴的柱面方程;3.了解空间曲线的参数方程和一般方程了解空间曲线的参数方程和一般方程;4.了解空间曲线在坐标平面上的投影了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程并会求其方程.1.曲面方程的定义曲面方程的定义关于曲面讨论两个方面的问题关于曲面讨论两个方面的问题:(1)已知曲面上点的轨迹已知曲面上点的轨迹,求方程求方程;(2)已知方程已知方程,研究该方程表示的曲面的形状研究该方程表示

2、的曲面的形状.2.球面方程球面方程Solution.根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为讨论讨论:(2)球心在原点时方程为球心在原点时方程为(1)球面方程的一般形式为球面方程的一般形式为 Solution.经经配方可知配方可知,3.旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴.定曲线叫定曲线叫旋转曲面的旋转曲面的母线母线.播放播放旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入得方程得方程ex2.将下列各曲线绕对应的轴旋转

3、一周，求生将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面反之反之,Solution.圆锥面方程为圆锥面方程为播放播放定义定义4.4.柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：(柱柱面面方程为缺项的方程方程为缺项的方程)表表母

4、线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面;表表母线平行于母线平行于 x 轴的柱面轴的柱面;表表母线平行于母线平行于 y 轴的柱面轴的柱面.注意：注意：(1)准线准线C并不唯一并不唯一,只是为了方便通常选择坐标面只是为了方便通常选择坐标面 上的曲线上的曲线;(2)母线平行于坐标轴的柱面是我们研究的母线平行于坐标轴的柱面是我们研究的.实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴双曲柱面双曲柱面 /轴轴抛物柱面抛物柱面 /轴轴ex4.指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？Solution.平面解析几何中平面解析几何中空间解析

5、几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程1.一般方程一般方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：Solution.表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.Solution.上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.2.投影方程投影方程设空间曲线设空间曲线C的一般方程：的一般方程：定义定义1.以以曲线曲线C为准线为

6、准线,母线平行于母线平行于z轴的柱面轴的柱面叫做关于叫做关于xoy面的投影柱面面的投影柱面.定义定义2.投影柱面与投影柱面与xoy面的交线面的交线叫做叫做C在在xoy面上的面上的投影曲线投影曲线,即投影即投影.由由C消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的面上的投影曲线投影曲线,面上的面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线截线方程为截线方程为Solution.如图如图,Solution.（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上

7、的投影为（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，所以在所以在 yoz 面上的投影为线段面上的投影为线段.(3)同理同理,在在 xoz 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.ex10.Solution.半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为一个圆一个圆,Solution.在在xoy面上面上,在在yoz面上面上,3.参数方程参数方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程如何得到曲线的参数方程？如何得到曲线的参数方程？(1)由已知曲线的一般方程由已知曲线的一般方程,引入适当参数得到相应引入适当参数得到相应 的参数方程的参数方程.(2)视曲线为动点运动的轨迹视曲线为动点运动的轨迹,适当选取参数适

8、当选取参数t使得动点使得动点 坐标坐标(x,y,z)分别用关于分别用关于t的函数来表示的函数来表示.Solution.曲线的参数方程不唯一！曲线的参数方程不唯一！动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，Solution.螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距The end 5.5.曲面的参数方程曲面的参数方程 (1)定义：定义：称为曲面的参数方程称为曲面的参数方程.(2)参数方程与一般方程参数方程与一般方程F(x,y,z)=0的相互转化的相互转化Method1.Method2.参数方程不唯一！参数方程不唯一！