过一已知点作已知直线的垂线.ppt

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2、了获奖等级与人数位居全省前茅，多次创造了“山区薄弱校超山区薄弱校超重点名校、普通实验班超对照特快班重点名校、普通实验班超对照特快班”的奇迹。的奇迹。承担省市级课题承担省市级课题8 8个，个，1313次荣获全国、省、市优秀成果奖，次荣获全国、省、市优秀成果奖，撰写论文撰写论文3030多篇在省级以上获奖或发表，其中多篇在省级以上获奖或发表，其中5 5篇全国一二三篇全国一二三等奖，等奖，2020多篇省一等奖，多篇省一等奖，2 2篇被中国人大全文转载，参加业务篇被中国人大全文转载，参加业务评比多次获省一等奖，连续三次获评比多次获省一等奖，连续三次获部级优课部级优课。曾获省特级教师、国家级骨干教师、省学

3、科带头人、省曾获省特级教师、国家级骨干教师、省学科带头人、省优秀教师、省优秀教研组长、省数学教育奖、市教学名师、优秀教师、省优秀教研组长、省数学教育奖、市教学名师、全国教研先进工作者等称号，全国教研先进工作者等称号，20182018年晋升为正高级教师，事年晋升为正高级教师，事迹载入迹载入中国当代数学家与数学英才大辞典中国当代数学家与数学英才大辞典。一堂优质高效的数学课，既是学生回一堂优质高效的数学课，既是学生回顾并应用所学知识，又是学生对数学知识顾并应用所学知识，又是学生对数学知识认知的深化，更是方法的提炼与总结、数认知的深化，更是方法的提炼与总结、数学思想的升华、思维能力的发展、数学素学思想

4、的升华、思维能力的发展、数学素养的提高。养的提高。教学理念教学理念请欣赏数学探究式示范课请欣赏数学探究式示范课过一已知点作已知直线的垂线过一已知点作已知直线的垂线 欣赏图片欣赏图片感受数学美感受数学美数学的价值数学的价值解决实际问题解决实际问题创造美创造美提高思维能力提高思维能力【读一读】我们把只能使用我们把只能使用圆规圆规和和没有刻度的直尺没有刻度的直尺这两种工具这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图作几何图形的方法称为尺规作图.利用尺规可以作出许多利用尺规可以作出许多优美的图案优美的图案.“数学王子数学王子”高斯，他幼年时就高斯，他幼年时就表现出超人的数学天才表现出超人的数学天才.1795

5、年进入德年进入德国哥根廷大学学习，第二年就发现正国哥根廷大学学习，第二年就发现正十七边形的尺规作图法，并给出可用十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题欧几里得以来悬而未决的问题.正五边形正五边形尺规三等分尺规三等分 169169角角高斯：正十七边形高斯：正十七边形三弧式尺规多等分法三弧式尺规多等分法尺规十一等分尺规十一等分 已知：直线已知：直线m m和点和点P P，求作：过点，求作：过点P P的的m m的垂线的垂线.总总 结结点点P在直线上在直线上点点P在直线外在直线外经过一点作已知直线的垂线的方法经过一点作已

6、知直线的垂线的方法尺规作图的优势尺规作图的优势尺规作图灵活方便、快捷准确尺规作图灵活方便、快捷准确解题步骤与注意事项解题步骤与注意事项 先画草图，进行分析，选择方法，先画草图，进行分析，选择方法，设计作图步骤，保留作图痕迹，写出设计作图步骤，保留作图痕迹，写出作图结论作图结论.总总 结结问：用尺规作角相等、角平分线、三角形全等时方问：用尺规作角相等、角平分线、三角形全等时方便、快捷、准确，但作垂线不如用三角板！请问以便、快捷、准确，但作垂线不如用三角板！请问以后能用三角板作垂线吗？后能用三角板作垂线吗？答：应根据题目要求选择用什么工具。答：应根据题目要求选择用什么工具。若题目要求用尺规若题目要

7、求用尺规,就不能用三角板等工具；就不能用三角板等工具；若没要求若没要求,就可灵活选择就可灵活选择.早在古希腊时代，人们就能用尺规作出了正早在古希腊时代，人们就能用尺规作出了正3 3、正、正4 4、正、正5 5、正、正1515边形以边形以及它们的及它们的2n2n倍的正多边形，但对正倍的正多边形，但对正7 7、正、正9 9、正、正1111、正、正1313、正、正1717边形应当如何边形应当如何作图的问题，却长期困扰着数学家们。两千年来，虽有很多数学家在为之不作图的问题，却长期困扰着数学家们。两千年来，虽有很多数学家在为之不懈努力，却都未能得到解决。直到懈努力，却都未能得到解决。直到17961796

8、年，正在大学读书的年，正在大学读书的1919岁的高斯不但岁的高斯不但成功地给出了正成功地给出了正1717边形的尺规作图法，还证明了单用圆规和直尺根本作不出边形的尺规作图法，还证明了单用圆规和直尺根本作不出正正7 7、正、正9 9、正、正1111、正、正1414边形。他深入研究了多边形的规律，得出一个公式：边形。他深入研究了多边形的规律，得出一个公式：当且仅当其边数是形如当且仅当其边数是形如 的费尔玛质数时，才能用尺规作图，彻底解决的费尔玛质数时，才能用尺规作图，彻底解决了困扰人们两千多年的几何大难题，震撼了全世界。这位杰出的青年学生，了困扰人们两千多年的几何大难题，震撼了全世界。这位杰出的青年

9、学生，后来成为世界最著名的数学家之一。后来成为世界最著名的数学家之一。因为因为7 7、9 9、1111、1313不是费尔玛质数，所以正不是费尔玛质数，所以正7 7、正、正9 9、正、正1111、正、正1313边形是边形是不可能用尺规作出的，但能作出正不可能用尺规作出的，但能作出正1717边形，边形，1717以后的费尔玛质数是以后的费尔玛质数是257257和和6553765537。后来有人给出了正。后来有人给出了正257257边形尺规作图法，长达边形尺规作图法，长达8080多页！另一位用尺规多页！另一位用尺规作出了正作出了正6553765537边形，其手稿有一提箱，现在还保存在哥廷根大学。边形，

10、其手稿有一提箱，现在还保存在哥廷根大学。用尺规能作出用尺规能作出“任意正多边形任意正多边形”吗吗？锻炼了人的思维锻炼了人的思维,提高探究能力提高探究能力 推动了科学的发展推动了科学的发展发现了许多新成果发现了许多新成果 从历史上看，好些数学结果是为解决三大从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲圆锥曲线线的研究，发现了一批著名的的研究，发现了一批著名的曲线曲线，不仅如此，不仅如此，三大问题还和近代的三大问题还和近代的方程论、群论方程论、群论等数学分支等数学分支发生了关系发生了关系.尺规作图的价值尺规作图的价值解题思路解题思路

11、即即 90=1802直角直角 平角的一半平角的一半转化为转化为解题思路解题思路利用勾股数利用勾股数构造三边为构造三边为3 3、4 4、5 5的三角形，的三角形，得最大角为直角得最大角为直角作图基本要求作图基本要求保留作图痕迹，写出作图结论，辅助线应去掉保留作图痕迹，写出作图结论，辅助线应去掉直线直线PCPC即为所求作的即为所求作的m m的垂线的垂线若点若点P P在直线外在直线外思路思路：根据等腰三角形根据等腰三角形“三线合一三线合一”构造以构造以P P为顶点的等腰三角形，再作顶角的平分线为顶点的等腰三角形，再作顶角的平分线PA=PB,QA=QBPA=PB,QA=QBPA=PB=QA=QBPA=

12、PB=QA=QB经过一点作已知直线的垂线的经过一点作已知直线的垂线的思路与方法思路与方法若点若点P P在直线上，在直线上，则构造以则构造以P P为底边中点的等腰为底边中点的等腰；若点若点P P在直线外，在直线外，则构造以则构造以P P为顶点的等腰为顶点的等腰，再作顶角的平分线。再作顶角的平分线。若点若点P P在直线外，也可以说是构造有公共底边的两个等腰在直线外，也可以说是构造有公共底边的两个等腰这条垂线就是有公共底边不重合的两个等腰这条垂线就是有公共底边不重合的两个等腰的公共对称轴的公共对称轴 新新观观点点直线直线CMCM即为即为BCBC的垂线；的垂线；垂线段垂线段CDCD即为即为ABCABC

13、的高的高已知：线段已知：线段 m m 和和 n n，求作：求作：RtABCRtABC使使AB=mAB=m，AC=n.AC=n.分类讨论分类讨论数学的重要方法，解题数学的重要方法，解题周密周密已知：线段已知：线段 m m，求作：求作：ABCABC，使，使 BAC=45BAC=45，中线中线 AD=m.AD=m.先作先作ABDABD作作22.522.5角的方法：把一个直角四等分角的方法：把一个直角四等分作垂线作垂线90 90 作角平分线作角平分线BAC=45BAC=45作作BACBAC的平分线的平分线AMAM在在AMAM上截取上截取AD=m AD=m 过过D D作作ADAD的垂线的垂线解题步骤解题

14、步骤草图草图画直线画直线AC,AC,过过A A作作APACAPAC，作作PACPAC的平分线的平分线AB,AB,作作BACBAC的平分线的平分线AM,AM,在在AMAM上截取上截取AD=m AD=m 过过D D作作ADAD的垂线交的垂线交ABAB、ACAC于于B B、C.C.作法作法PM一块直角一块直角ABCABC塑料板弄碎了塑料板弄碎了,只剩下如图一小块只剩下如图一小块,C,C为直角顶点为直角顶点,EF,EF为斜边的一部分为斜边的一部分,已知已知B=60.B=60.你能用尺规作出你能用尺规作出ABCABC吗？吗？问问:为什么不先作为什么不先作C=90C=90呢呢?答答:因为因为 C C 两边的位置都不确定两边的位置都不确定问问:怎样平移？怎样平移？答答:过过 C C 作作 CB CB 平行平行 MNMN思思 考考除了平行线，除了平行线，还有什么特殊的线还有什么特殊的线可把角转化？可把角转化？平行线与垂线平行线与垂线都是重要辅助线都是重要辅助线都可把角转化！都可把角转化！发现：发现：ACD=CBD=60ACD=CBD=60步骤：步骤：作直线作直线EFEF，过过C C作作CDEFCDEF于于D,D,作作ACD=60,ACD=60,过过C C作作CBACCBAC交直线交直线EFEF于于B.B.