216重积分的应用.ppt

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1、21.6重积分的应用第二十一章第二十一章 重积分重积分一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、立体的体积二重积分的二重积分的几何意义几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积例例1 计算由曲面计算由曲面及及 xoy 面所围的立体面所围的立体体积。体积。解解设立体在设立体在第一卦限上第一卦限上的体积为的体积为 V1。由立体的对称性，所求立由

2、立体的对称性，所求立体体积体体积 V=4V1。立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲成是一个曲顶柱体，它的曲顶为顶为立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲成是一个曲顶柱体，它的曲顶为顶为它的底为它的底为于是，于是，所求立体的体积所求立体的体积例例2 求两个圆柱面求两个圆柱面所围所围的立体在第一卦限部分的体积。的立体在第一卦限部分的体积。解解所求立体所求立体可以看成可以看成是一个曲是一个曲顶柱体，顶柱体，它的曲顶为它的曲顶为它的底为它的底为它的底为它的底为它的曲顶为它的曲顶为于是，立体体积为于是，立体体积为例例3 求球体求球体被

3、圆柱面被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解解显然，所求立体应在第一、显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。第四、第五、第八卦限。而且，四个卦限部分的体积而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。是对称相等的。因此，若设第一卦限部分的体因此，若设第一卦限部分的体积为积为 V1，则所求立体的体积为则所求立体的体积为V1 可以看成是一个曲顶柱体，可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的曲顶为它的底它的底D 由半圆周由半圆周及及 x 轴围成。轴围成。用极坐标系表示用极坐标系表示于是，于是，所求立体体积所求立体体积二、曲面的面积设曲面的方程为：

4、设曲面的方程为：如图，如图，-曲面曲面 S 的的面积元素面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得解解设第一卦限部分的面积为设第一卦限部分的面积为 A1，则由对称性，所求的面积为则由对称性，所求的面积为极坐标系下表示：极坐标系下表示：例例5 求两个圆柱面求两个圆柱面所围所围的立体的表面在第一卦限部分的面积的立体的表面在第一卦限部分的面积 A。解解所求表面分成所求表面分成和和，如图。，如图。第一块（第一块（）在圆柱面）在圆柱面第一块（第一块（）在圆柱面）在

5、圆柱面由对称性，这两块曲面的面积相等，即由对称性，这两块曲面的面积相等，即 A=A。因此，因此，A=2 A。在在 A上，曲面方程为上，曲面方程为A在在 A上，曲面方程为上，曲面方程为因此，因此，A=2 A。AAA于是所求面积，于是所求面积，A=2 A设在空间中有设在空间中有 n 个质量分别是个质量分别是的质点组，它们的坐标分别为的质点组，它们的坐标分别为 由静力学的知识可知，这个质点组的质心坐标由静力学的知识可知，这个质点组的质心坐标有如下的计算公式：有如下的计算公式：三、物体的重心设设 为一块可以度量的几何体，它的密度函数为为一块可以度量的几何体，它的密度函数为设设 在在 上连续，要求上连续

6、，要求 的质心坐标的质心坐标。我们打算用质点组的质心坐标的公式来计算，但质点组是我们打算用质点组的质心坐标的公式来计算，但质点组是离散分布的，而离散分布的，而 是质量连续分布的几何体。因此，首是质量连续分布的几何体。因此，首先把先把 分划成若干可度量的小块分划成若干可度量的小块：为了简化符号，也用为了简化符号，也用表示小块的度量。表示小块的度量。若这些小块分得充分小，每一个小块可近似地看若这些小块分得充分小，每一个小块可近似地看作一个点，于是作一个点，于是 可近似地看作一个质点组，从可近似地看作一个质点组，从而可用质点组的质心坐标公式来近似计算而可用质点组的质心坐标公式来近似计算 的质的质心坐

7、标心坐标。为此先计算每一个小块的质量，由于密度函数为此先计算每一个小块的质量，由于密度函数 不是常数，即不是常数，即 的密度分布不是均匀的，因此不的密度分布不是均匀的，因此不能简单地用密度均匀分布的物体的质量的计算公式：能简单地用密度均匀分布的物体的质量的计算公式：密度密度度量，来计算。度量，来计算。由于假设由于假设 连续，因此当连续，因此当 比较小时，比较小时，在在 上上 变化不大，于是可近似地看成变化不大，于是可近似地看成不变，从而不变，从而 的度量可近似计算为的度量可近似计算为iiMDWiiMDW)(r这里这里 是是 中的任意一点，设其在三维空中的任意一点，设其在三维空间中的坐标为间中的

8、坐标为 ，于是几何体，于是几何体 的质的质心坐标心坐标 可近似表示为可近似表示为当然这个质心坐标只能是近似的，如果当然这个质心坐标只能是近似的，如果 分得小一些分得小一些近似程度就要好些，因此在上式中让每一个近似程度就要好些，因此在上式中让每一个 的直径的直径趋于零取极限，把极限值定义为趋于零取极限，把极限值定义为 的质心坐标。于是令的质心坐标。于是令让让 ，取极限得，取极限得上述和式的极限，正是我们在第九章第一节定义的黎曼积分，因此，得到这里如果几何体 是三维空间中的一块立体 ，则上述积分就是三重积分，从而质心坐标可表示为如果几何体 是一块平面区域，则上述积分就是二重积分；如果几何体是一块空

9、间曲面，上述积分就成为第一型曲面积分；如果几何体是一条曲线，上述积分就成为第一型曲线积分。解 由于立体 关于轴对称，并且立体是均匀的，即密度函数 为常数，所以有例 6 设 由上半球面和锥面（以 轴为轴，半顶角为 ）围成的均匀立体，求 的质心。而 于是 平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.由元素法由元素法闭区域闭区域 D 的面积的面积解解薄片对薄片对 z z 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力G 为引力常数为引力常数四、平面薄片对质点的引力解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知所求引力为所求引力为五、矩设 为一块可以度量的空间立体，它的密度函数在 上连

10、续，分别称 为物体 关于坐标平面 ，坐标平面 ，坐标平面 的 阶矩 。其中当 的情形更为重要。当 时称为零阶矩，表示物体的质量。当 时称为静矩，静矩与物体质量之比为该物体的质心的坐标。当 时称为转动惯量。又分别称 为物体 关于 轴，轴，轴的转动惯量。显然有 其中 分别表示物体 关于坐标平面 ，坐标平面 ，坐标平面 的转动惯量。例9 计算由平面所围成的均匀物体（设 ）对于坐标平面的转动惯量解 是一个直角三角形，两直角边的长度分别为所以 同样可得 解解几何应用：立体的体积、曲面的面积几何应用：立体的体积、曲面的面积物理应用：重心、对质点的引力、转动惯量物理应用：重心、对质点的引力、转动惯量（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）五、小结作业：作业：P259：1，2，3，4，6.