2.2.1 等差数列.ppt

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1、2.2.1 等差数列等差数列中国人民大学附属中学中国人民大学附属中学请看下面一些数列请看下面一些数列:鞋的尺码，按照国家统一规定，有鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22，22.5，23，23.5，24，24.5，某月星期日的日期为某月星期日的日期为 2，9，16，23，30；一个梯子共一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度为：级，自下而上每一级的宽度为：89，83，77，71，65，59，53，47(cm)特征：从第特征：从第2项起，每一项与前一项的差都等项起，每一项与前一项的差都等于一个常数于一个常数.等差数列的定义等差数列的定义 如果一个数列如果一个数列an，从第，从第2项起项起每一项每一项

2、与前一项的差都等于一个常数，那么这个数与前一项的差都等于一个常数，那么这个数列为列为等差数列等差数列，这个，这个常数常数叫做等差数列的叫做等差数列的公公差差，公差通常用字母，公差通常用字母 d 表示。表示。例例1已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为an=3n5，这个数列是等差数列吗？这个数列是等差数列吗？解：因为当解：因为当n2时，时，anan1=3n53(n1)5=3，所以数列所以数列an是等差数列，且公差为是等差数列，且公差为3.说明：说明：判断判断一个数列是否等差数列，应一个数列是否等差数列，应严格按严格按照等差数列的定义照等差数列的定义来进行。来进行。如果等差数列如果等差数列a

3、n的首项的首项为为a1，公差为，公差为d，求它的求它的通项公式通项公式ana 2a1da 3a2da12d a 4a3da13da 5a4da14d 由此得由此得:ana1(n1)d （nN+)解：由等差数列得定义得：解：由等差数列得定义得：a n1and例例2已知等差数列已知等差数列10，7，4，；（1）试求此数列的第）试求此数列的第10项；项；（2）40是不是这个数列的项？是不是这个数列的项？56是不是不是这个数列的项？如果是，是第几项？是这个数列的项？如果是，是第几项？解：（解：（1）设此数列为）设此数列为an，由由a1=10，a2=7，得，得d=710=3，得到这个数列的通项公式为得到

4、这个数列的通项公式为 an=103(n1)，即，即an=3n+13，当当n=10时，时，a10=17.（2）如果）如果40是这个数列的项，是这个数列的项，则方程则方程40=3n+13应有正整数解，应有正整数解，解这个方程得解这个方程得 ，所以所以40不是这个数列的项；不是这个数列的项；如果如果56是这个数列的项，是这个数列的项，则方程则方程56=3n+13有正整数解，有正整数解，解这个方程得解这个方程得n=23，所以所以56是这个数列的第是这个数列的第23项；项；等差中项等差中项 如果三个数如果三个数x，A，y组成等差数列，那么组成等差数列，那么A叫做叫做x和和y的等差中项。的等差中项。如果如

5、果A是是x和和y的等差中项，则的等差中项，则 在一个等差数列中，从第在一个等差数列中，从第2项起，每一项项起，每一项(有穷数列的末项除外有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后都是它的前一项与后一项的等差中项。一项的等差中项。在等差数列在等差数列an中，中，ana1(n1)d=nd+(a1d)可以看出，当公差可以看出，当公差d=0时，该数列是常数列时，该数列是常数列.即常数列是等差数列的特殊形式，公差为即常数列是等差数列的特殊形式，公差为0.当公差当公差d0时，时，an是关于是关于n的一次式的一次式.设数列设数列an的通项公式是的通项公式是an=an+b，(a，b是常数是常数)因为因为anan1

6、=(an+b)a(n1)+b=a.(n2)所以所以an是等差数列，其中是等差数列，其中a是公差是公差.结论：结论：如果如果an是等差数列，则是等差数列，则an=an+b，(a，b是常数是常数)；反之，若反之，若an的通项公式是的通项公式是an=an+b，(a，b是常数是常数)，则数列，则数列an是等差数列，是等差数列，由于等差数列的通项公式可以表示为由于等差数列的通项公式可以表示为an=an+b，因此从图象上看，表示这个数列的各点均在一因此从图象上看，表示这个数列的各点均在一条直线上。条直线上。当当a0时，各点均在一次函数时，各点均在一次函数y=ax+b的图象的图象上；上；当当a=0时，各点均

7、在函数时，各点均在函数y=b的图象上。的图象上。例例3已知等差数列的公差为已知等差数列的公差为d，第，第m项为项为am，试求其第，试求其第n项项an.解：由等差数列的通项公式可知解：由等差数列的通项公式可知 an=a1+(n1)d，am=a1+(m1)d，两式相减得，两式相减得，an=am+(nm)d.例例4.（1）在等差数列）在等差数列an中，若中，若mnpq，求证：求证：amanapaq.（2）在等差数列）在等差数列an中，若中，若a3a4a5a6a7=450，求，求a2a8.解解：（：（2）a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5，5a5=450，a5=90,a2+a8=290=180

8、.例例5梯子共有梯子共有5级，从上往下数第级，从上往下数第1级宽级宽35厘米，第厘米，第5级宽级宽43厘米，且各级的宽度依次厘米，且各级的宽度依次组成等差数列组成等差数列an，求第，求第2，3，4级的宽度。级的宽度。解法解法1：由题意，：由题意，a1=35，a5=43，由等差数列，由等差数列通项公式，通项公式，因此得因此得a2=37，a3=39，a4=41.得公差得公差解法解法2：此数列共：此数列共5项，项，a3是是a1与与a5的等差中项，的等差中项，因此因此 又因为又因为a2是是a1与与a3的等差中项，的等差中项，a4是是a3与与a5的等差中项，所以的等差中项，所以 答：梯子的第答：梯子的第

9、2，3，4级的宽度分别是级的宽度分别是37cm，39cm，41cm.例例6已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=17，公差，公差d=0.6，此等差数列从第几项开始出现负数？，此等差数列从第几项开始出现负数？解：由题意，解：由题意，an的通项公式是的通项公式是 an=170.6(n1)，令令170.6(n1)0，解得，解得 又因为又因为an是递减数列，是递减数列，所以数列所以数列an从第从第30项起开始出现负数。项起开始出现负数。1等差数列的判定方法等差数列的判定方法等差数列中的主要方法：等差数列中的主要方法：(1)定义法定义法:(2)中项法中项法:(3)通项公式判定通项公式判定:三数成

10、等差数列三数成等差数列:四数成等差数列四数成等差数列:2设元技巧设元技巧:1.已知某等差数列共有已知某等差数列共有10项，其奇数项之和项，其奇数项之和为为15，偶数项之和为，偶数项之和为30，则其公差为（，则其公差为（）A.5 B.4 C.3 D.2C练习：练习：2.在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a1=2，a2+a3=13，则则a4+a5+a6等于（等于（）（A）40 （B）42（C）43 （D）45B3.an是等差数列，且是等差数列，且a1 a4 a8 a12+a15=2，求求a3+a13的值的值.()44.已知已知 成等差数列，求证成等差数列，求证 也成等差数列。也成等差数列。证明：因为证明：因为 成等差数列，所以，成等差数列，所以，即即2ac=b(a+c)，所以所以即即成等差数列。成等差数列。5.一等差数列由一等差数列由3个数组成，个数组成，3个数之和为个数之和为9，3个数的平方和为个数的平方和为35，求此，求此3个数。个数。解：设这三个数为解：设这三个数为ad，a，a+d，依题意有，依题意有 解得解得a=3，d=2，所以所求的所以所求的3个数分别是个数分别是1，3，5；或或5，3，1.