1单自由度系统的自由振动.ppt

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1、主讲 贾启芬机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural Vibration引引引引 言言言言 振动振动振动振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置是一种运动形态，是指物体在平衡位置是一种运动形态，是指物体在平衡位置是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作附近作附近作附近作往复运动往复运动往复运动往复运动。振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题已知主动力求已知主动力求已知主动力求已知主动力求运动。运动。运动。运动。Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结

2、构振动 振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题相类似：相类似：相类似：相类似：选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；分析运动；分析运动；分析运动；分析运动；分析受力；分析受力；分析受力；分析受力；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；建立运动微分方程；建立运动微分方程；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。

3、求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。引引引引 言言言言Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动 振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。义坐标的原点。义坐标的原点。义坐标的原点。研究振动问题所用的

4、动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的动量定理；矢量动力学基础中的动量定理；矢量动力学基础中的动量定理；矢量动力学基础中的动量定理；动量矩定理；动量矩定理；动量矩定理；动量矩定理；动能定理；动能定理；动能定理；动能定理；达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。分析动力学基础中的拉格朗日方程。分析动力学基础中的拉格朗日方程。分析动力学基础中的拉格朗日方程。分析动力学基础中的拉格朗日方程。引引引引 言言言言Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振

5、动振动概述振动概述振动概述振动概述所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。所考察的系统既有惯性又有弹性。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。振动问题的共同特点振动问题的共同特点Mechanical and Structural Vibration机械与结构振动机械与结构振动 按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：振动问题的分类振动问题的分类 单自由度单自由度单自由度

6、单自由度振动振动振动振动一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。多自由度多自由度多自由度多自由度振动振动振动振动两个或两个以上自由度系统的两个或两个以上自由度系统的两个或两个以上自由度系统的两个或两个以上自由度系统的 振动。振动。振动。振动。连续系统连续系统连续系统连续系统振动振动振动振动连续弹性体的振动。这种系统连续弹性体的振动。这种系统连续弹性体的振动。这种系统连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。具有无穷多个自由度。具有无穷多个自由度。具有无穷多个自由度。振动概述振动概述振动概述振动概述机械与结构振动机械与结构振动Mechanic

7、al and Structural Vibration 按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：振动问题的分类振动问题的分类 线性振动线性振动线性振动线性振动系统的运动微分方程为线性方程的系统的运动微分方程为线性方程的系统的运动微分方程为线性方程的系统的运动微分方程为线性方程的振动。振动。振动。振动。非非非非线性振动线性振动线性振动线性振动系统的刚度呈非线性特性时，系统的刚度呈非线性特性时，系统的刚度呈非线性特性时，系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动将得到非线性运动微

8、分方程，这种系统的振动将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。称为非线性振动。称为非线性振动。称为非线性振动。机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural Vibration 线性振动线性振动：相应的系统称为：相应的系统称为线性系统线性系统。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。非线性振动非线性振动：相应的系统称为：相应的系统称为非线性系统非线性系统。非线性振动的叠加原理不成立。非线性振动的叠加原理不成立。机械与结构振动机械与结构振动Mechanical an

9、d Structural Vibration 按激励特性划分：按激励特性划分：按激励特性划分：按激励特性划分：振动问题的分类振动问题的分类 自由振动自由振动自由振动自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动系统在作为时间函数的外部激励下发系统在作为时间函数的外部激励下发系统在作为时间函数的外部激励下发系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。生的振动，这种外部激励不受

10、系统运动的影响。生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。自激振动自激振动自激振动自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的系统由系统本身运动所诱发和控制的系统由系统本身运动所诱发和控制的系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。激励下发生的振动。激励下发生的振动。激励下发生的振动。参激振动参激振动参激振动参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参激励源为系统本身含随时间变化的参激励源为系统本身含随时间变化的参激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。数，这种激励所引起的振动。数，这种激励所引起的振动。数，这种激励所引起的振动。振动

11、概述振动概述振动概述振动概述机械与结构振动机械与结构振动Mechanical and Structural Vibration目录Mechanical and Structural Vibration 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 1.2 1.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法 1.3 1.3 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法 1.4 1.4 有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动 1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统

12、的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration关于关于关于关于单自由度系统单自由度系统振动振动振动振动的的概念概念概念概念典型的单自由度系统典型的单自由度系统:弹簧弹簧-质量系统质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧简化成弹簧-质量系统质量系统 Mechanical and Structural Vibration1.1.1 自由振动方程

13、自由振动方程 1.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率 1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 1.1.4 扭转振动扭转振动 Mechanical and Structural Vibration1.1.1 自由振动方程自由振动方程当物块偏离平衡位置为当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的距离时，物块的运动微分方程为运动微分方程为 其中取取物物块块的的静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点O，x轴轴顺顺弹弹簧簧变变形形方方向向铅铅直直向向下下为为正正。当当物物块块在静平衡位置时，由平衡条件在静平衡位置时，由平衡条件，得到得到无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形弹簧的

14、静变形固有圆频率固有圆频率Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动其通解其通解为：为：其中其中C1和和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，时，可解可解1.1.1 自由振动方程自由振动方程Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动两种形式描述的物两种形式描述的物

15、块振动，称为块振动，称为无阻无阻尼自由振动尼自由振动，简称，简称自由振动自由振动。另一种形式另一种形式另一种形式另一种形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动简谐振动 初相位角振 幅1.1.1 自由振动方程自由振动方程Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动1.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率系统振动的周期系统振动的周期系统振动的频率系统振动的频率系统振动的圆频率为系统振动的圆频率为

16、圆频率圆频率pn 是物块在自由振动中每是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。秒内振动的次数。f、pn只与振动系统的弹簧常量只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量和物块的质量 m 有关，有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为称为固有频率，圆频率固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。称为固有圆频率。Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动用弹簧静变形量用弹簧静变形量 st表示固有圆频率的计算公式表示固有圆

17、频率的计算公式 物块静平衡位置时物块静平衡位置时固有圆频率固有圆频率1.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程等效的概念等效的概念等效的概念等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式这一方程，可以等效为广义坐标的形式这一

18、方程，可以等效为广义坐标的形式这一方程，可以等效为广义坐标的形式Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动等效的概念等效的概念等效的概念等效的概念1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并

19、联弹簧的等效刚度例例 在图中，已知物块的质量为在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。解：（解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等二弹簧变形相等。振动过程中，物块始终作平行移动。处振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是而弹性力分别是 系统平衡方程是系统平衡方程是1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数Mechanical and

20、 Structural Vibration1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动如如果果用用一一根根弹弹簧簧刚刚度度系系数数为为k的的弹弹簧簧来来代代替替原原来来的的两两根根弹弹簧簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 k称为称为并联弹簧的等效并联弹簧的等效刚度系数。刚度系数。并联后的等效弹簧刚并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1

21、 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration（2）串联情况。串联弹簧的特征是：）串联情况。串联弹簧的特征是：二二弹簧受力相等弹簧受力相等。当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和，即 dst=d1st+d2st 由由于于每每根根弹弹簧簧所所受受的的拉拉力力都都等等于于重力重力mg，故它们的静变形分别为故它们的静变形分别为如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的

22、静变形等于的静变形等于1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration如果用一根弹簧刚度系数为如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于两根弹簧，此弹簧的静变形等于k称为串联弹簧的等效刚度系数称为串联弹簧的等效刚度系数串联后的弹簧刚度系数的倒数等于串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和各串联弹簧刚度系数倒数的算术和1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1

23、 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度组合弹簧的等效刚度例例 质量为质量为m的物块悬挂如图所示。设杆的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为的弹簧刚度系数分别为k1和和k2,又又AC=a，AB=b，求物块的自由求物块的自由振动频率。振动频率。解解：将各弹簧的刚度系数按：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质静力等效的原则，折算到质量所在处。量所在处。先将刚

24、度系数先将刚度系数k2换算至质换算至质量量m所在处所在处C的等效刚度系的等效刚度系数数k。C1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration先将刚度系数先将刚度系数k2换算至质量换算至质量m所在处所在处C的等效刚度系数的等效刚度系数k。C设在设在C处作用一力处作用一力F，按静力平衡的按静力平衡的关系，作用在关系，作用在B处的力为处的力为此力使此力使B B 弹簧弹簧 k2 产生产生 变形，变形，而此变形使而此变形使C点发生的变形

25、为点发生的变形为 得到作用在得到作用在C处而与处而与k2弹簧等效的刚度系数弹簧等效的刚度系数 1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural VibrationC物块的自由振动频率为物块的自由振动频率为与弹簧k1串联得系统的等效刚度系数得系统的等效刚度系数1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structu

26、ral Vibration弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度弹性梁的等效刚度例例 一个质量为一个质量为m的物块从的物块从 h 的高的高处自由落下，与一根抗弯刚度为处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。振幅和最大挠度。1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动解解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一

27、根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果质量系统。如果知道系统的静变形知道系统的静变形 则求出系统的固有频率则求出系统的固有频率 Mechanical and Structural Vibration由由材材料料力力学学可可知知，简简支支梁梁受受集集中载荷作用，其中点静挠度为中载荷作用，其中点静挠度为求出系统的固有频率为求出系统的固有频率为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼

28、系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration以以梁梁承承受受重重物物时时的的静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点O，建建立立坐坐标标系系，并并以以撞撞击击时时刻刻为零瞬时，则为零瞬时，则t=0时，有时，有自由振动的振幅为自由振动的振幅为梁的最大挠度梁的最大挠度 1.1.3 等效刚度系数等效刚度系数1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration Theoretical Mechanics 返回首页己知图中所示的三根弹簧

29、的刚性系数分别为己知图中所示的三根弹簧的刚性系数分别为K1，K2，K3，振，振体的质量为体的质量为m，则此系统沿铅垂方向振动的固有圆频率为。，则此系统沿铅垂方向振动的固有圆频率为。（A）（B）（C）（D）答案：A习习 题题 Theoretical Mechanics答案：答案：A点评：点评：由图知三根弹簧为并联关系。因此，可计算出三根由图知三根弹簧为并联关系。因此，可计算出三根并联弹簧的等效刚性系数为并联弹簧的等效刚性系数为K=K1+K2+K3。由弹簧。由弹簧-质量系质量系统计算固有圆频率的公式，计算出系统沿铅垂方向振动的固统计算固有圆频率的公式，计算出系统沿铅垂方向振动的固有圆频率为有圆频率

30、为要点：串联、并联弹簧的等效刚性系数计算和等效弹簧要点：串联、并联弹簧的等效刚性系数计算和等效弹簧-质量系统。质量系统。习习 题题 Theoretical Mechanics 返回首页习习 题题 小车小车M重重P在斜面在斜面h自高度自高度h处滑下与缓冲器相撞，斜面倾处滑下与缓冲器相撞，斜面倾角为角为，缓冲弹簧刚性系数为，缓冲弹簧刚性系数为k。如缓冲器质量不计，斜面摩。如缓冲器质量不计，斜面摩擦不计，小车碰撞后，系统的自由振动周期为：擦不计，小车碰撞后，系统的自由振动周期为：（A）（B）（C）（D）（D）1.3 1.3 1.3 1.3 练练练练 习习习习Mechanical and Struct

31、ural Vibration将一刚度系数为将一刚度系数为k，长为，长为l的弹簧截成等长（均为的弹簧截成等长（均为l/2）的两段，则截断后每根弹簧的刚度系数均为的两段，则截断后每根弹簧的刚度系数均为（A）k（B）2k（C）k/2（D）1/(2k)答（答（B）。质点的直线振动；固有频率）。质点的直线振动；固有频率弹簧截成等长（均为弹簧截成等长（均为l/2）的两段后，刚度增大为）的两段后，刚度增大为2k。1.1.4 扭转振动扭转振动等效系统等效系统等效系统等效系统内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。中常常产生扭转振动，简称扭振。扭振系

32、统称为扭振系统称为扭摆扭摆。OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，来决定，称称扭角扭角。圆轴的抗扭刚度系数为圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。圆盘产生单位扭角所需的力矩。1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and

33、Structural Vibration根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程扭振的运动规律扭振的运动规律对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。动规律、特征是完全相同的。固有圆频率固有圆频率1.1.4 扭转振动扭转振动1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vi

34、bration图图(a)所所示示为为扭扭振振系系统统两两个个轴轴并并联联的的情情况况；图图(b)为为两轴串联的情况；图两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。则为进一步简化的等效系统。并联轴系的等效刚度系数并联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数串联轴系的等效刚度系数1.1.4 扭转振动扭转振动1.1 1.1 1.1 1.1 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动Mechanical and Structural Vibration 1.2 1.2 1.2 1.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的

35、能量法Mechanical and Structural Vibration计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。计算固有频率的能量法的理论基础是机械能守恒定律。无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。无阻尼单自由振动系统中，势能与动能之和保持不变。常量式式中中T是是动动能能，V是是势势能能。如如果果取取平平衡衡位位置置O为势能的零点，系统在任一位置为势能的零点，系统在任一位置1.2 1.2 1.2 1.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法Mechanical and Structural Vibration当系统在平衡位置时，

36、当系统在平衡位置时，x=0,速度为最大，势能为零，速度为最大，势能为零，动能具有最大值动能具有最大值Tmax；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最大值势能具有最大值Vmax。由于系统的机械能守恒由于系统的机械能守恒 用能量法计算固有频率的公式用能量法计算固有频率的公式 1.2 1.2 1.2 1.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法Mechanical and Structural Vibration例例 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连

37、同杆连同杆BD对于对于支点支点B的转动惯量为的转动惯量为IE,求重物求重物P在铅直方向的振动频率。已知在铅直方向的振动频率。已知弹簧弹簧AC的弹簧刚度系数是的弹簧刚度系数是k。解解：这是单自由度的振动系统。这是单自由度的振动系统。系统的位置可由杆系统的位置可由杆BD自水平的平自水平的平衡位置量起的衡位置量起的 角来决定。角来决定。系统的动能系统的动能设系统作简谐振动，则其运动方程设系统作简谐振动，则其运动方程角速度为角速度为系统的最大动能为系统的最大动能为1.2 1.2 1.2 1.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法Mechanical and

38、 Structural Vibration如如取取平平衡衡位位置置为为系系统统的的势势能能零零点点。设设在在平平衡衡位位置置时时，弹弹簧簧的的伸伸长量为长量为dst。此时，弹性力。此时，弹性力Fst=k dst,方向向上。方向向上。该系统的势能该系统的势能1.2 1.2 1.2 1.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法Mechanical and Structural Vibration Theoretical Mechanics 在图示之振动系统中，已知重为在图示之振动系统中，已知重为P的的AB杆对杆对O轴的回转半轴的回转半径为径为 o，物块，

39、物块M重为重为Q，两弹簧的刚性系数均为，两弹簧的刚性系数均为k，当系统静止，当系统静止时，杆位于水平。则此系统微振动时的圆频率为：时，杆位于水平。则此系统微振动时的圆频率为：（A）（B）（C）（D）（D）习习 题题 Theoretical Mechanics 返回首页小球重小球重P，刚刚接于杆的一端，杆的另一端接于杆的一端，杆的另一端铰铰接于接于O点。杆点。杆长长l，在其中点，在其中点A的两的两边边各各连连接一接一刚刚性系数性系数为为k的的弹弹簧如簧如图图示。如杆示。如杆及及弹弹簧的簧的质质量不量不计计，小球可，小球可视为视为一一质质点，点，则则系系统统作微作微摆动时摆动时的的运运动动微分方程

40、微分方程为为（）。）。（A）（B）（C）（D）答案：D习习 题题答案：答案：D点评：以小球为研究对象，画受力图；以刚杆偏离铅直点评：以小球为研究对象，画受力图；以刚杆偏离铅直位置的转角位置的转角 为广义坐标。利用动量矩定理，建立小球为广义坐标。利用动量矩定理，建立小球绕绕O点作微摆动时的运动微分方程为点作微摆动时的运动微分方程为 Theoretical Mechanics 返回首页要点要点：利用普遍定理建立系统的运动微分方程。：利用普遍定理建立系统的运动微分方程。习习 题题 1.3 1.3 1.3 1.3 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法Mechanical and Structural Vibrat

41、ion利利用用能能量量法法，将将弹弹簧簧的的分分布布质质量量的的动动能能计计入入系系统统的的总总动动能能，仍仍按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为按单自由度系统求固有频率的近似方法，称为瑞利法瑞利法。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。应用瑞利法，首先应假定系统的振动位形。等效质量等效质量 l对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位对于图示系统，假设弹簧上各点在振动过程中任一瞬时的位移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截移与一根等直弹性杆在一端固定另一端受轴向力作用下各截面的静变形一样。面的静变形一样。根据胡克定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。根据胡克

42、定律，各截面的静变形与离固定端的距离成正比。依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为依据此假设计算弹簧的动能，并表示为集中质量的动能为 1.3 1.3 1.3 1.3 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法Mechanical and Structural Vibration例例 在在图图示示系系统统中中，弹弹簧簧长长l，其其质质量量ms。求求弹弹簧簧的的等等效效质质量量及系统的固有频率。及系统的固有频率。左端距离为左端距离为 的截面的位移为的截面的位移为 ，则则d 弹簧的动能为弹簧的动能为l d 假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在

43、一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，解解：令：令x表示弹簧右端的位移，也是质表示弹簧右端的位移，也是质量量m的位移。的位移。1.3 1.3 1.3 1.3 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法Mechanical and Structural Vibration弹簧的总动能弹簧的总动能系统的总动能为系统的总动能为系统的势能为系统的势能为固有频率为固有频率为设设l d 1.3 1.3 1.3 1.3 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法Mechanical and Structural Vibration 1.4 1.4 1.4 1.4 有阻尼系统的衰减振动有阻尼

44、系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动Mechanical and Structural Vibration 阻尼阻尼阻尼阻尼系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。阻力。阻力。阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运

45、动沿润滑表面的阻力与速度的关系c c粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。1.4 1.4 1.4 1.4 有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动Mechanical and Structural Vibration运动微分方程运动微分方程 图示为一有阻尼的弹簧图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模质量系统的简化模型。以静平衡位置型。以静平衡位置O为坐标原点，选为坐标原点，选x轴铅直轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程向下为正，有阻

46、尼的自由振动微分方程 特征方程特征方程特征方程特征方程特征根特征根特征根特征根 1.4 1.4 1.4 1.4 有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动有阻尼系统的衰减振动衰减系数，单位1/秒(1/s)Mechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 特征根特征根特征根特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关强阻尼（强阻尼（强阻尼（强阻尼（n n p pn n）情形情形情形情形临界阻尼临界阻尼

47、临界阻尼临界阻尼(n n=p pn n )情形情形情形情形阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响特征根特征根特征根特征根运动微分方程运动微分方程 Mechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 临临界界情情形形是是从从衰衰减减振振动动过过渡渡到到非非周周期期运运动动的的临临界界状状态态。这这时时系系统统的的阻阻尼尼系系数数是是表表征征运运动动规规律律在在性性质质上上发发生生变变化的重要临界值。化的重要临界值。设设cc为临界阻尼系数，由于为临界阻尼系数，由于z z=n/pn=1，

48、即即z z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z z 称为阻尼比的原因。称为阻尼比的原因。cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由只取决于系统本身的质量与弹性常量。由Mechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发振动运动，临界阻尼的这种性质有实

49、际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。要求。Mechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 强阻尼强阻尼强阻尼强阻尼(11)情形情形情形情形临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼(1 1)情形情形情形情形 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是

50、按负指数衰减这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减引入阻尼比引入阻尼比引入阻尼比引入阻尼比11OtxMechanical and Structural Vibration1.4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 弱阻尼弱阻尼弱阻尼弱阻尼(11)情形情形情形情形（npn）特征根特征根特征根特征根其中其中其中其中其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，可解C1=x0 Mechanical and Structural Vibration1.4 单自由度