线性代数4.2非齐次线性方程组.ppt

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1、4.2非齐次线性方程组非齐次线性方程组1.1.性质性质证证2.2.性质性质 证证 三三.求解求解 ：定理：定理3 3给出了求解步骤，归纳如下给出了求解步骤，归纳如下例例1 1求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解例例2 2求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解所求非齐次方程组通解所求非齐次方程组通解 例例3 3 设有线性方程组设有线性方程组 解一解一得同解方程组得同解方程组所求方程所求方程组通解：组通解：解二解二例例4 4解解附附 录录1.经济学投入产出分析应用经济学投入产出分析应用2.线性方程组迭代法（线性方程组迭代法（Jacobi法）法）1.投入产出分析的应用投入产出分析的应用

2、 在一个国家或地区的经济系统中在一个国家或地区的经济系统中,各部门各部门(或或各企业各企业)既有消耗又有生产既有消耗又有生产,或者说既有或者说既有“投入投入”又有又有“产出产出”,生产的产品供给各部门和系统外以生产的产品供给各部门和系统外以满足需求满足需求,同时也要消耗系统内各部门所提供的产同时也要消耗系统内各部门所提供的产品品,消耗的目的是为了生产消耗的目的是为了生产,生产的结果必然要创生产的结果必然要创造新价值造新价值,以支付工资和获取利润以支付工资和获取利润.显然对每一部显然对每一部门门,物资消耗和新创造的价值等于它生产的总产值物资消耗和新创造的价值等于它生产的总产值.这就是这就是“投入

3、投入”和和“产出产出”之间的平衡关系之间的平衡关系.实例实例 一个城镇有三个主要生产企业一个城镇有三个主要生产企业:煤矿、电厂和煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济系统地方铁路作为它的经济系统.已知生产价值一元的已知生产价值一元的煤煤,需消耗需消耗0.25元的电费和元的电费和0.35元的运输费元的运输费;生产价生产价值一元的电值一元的电,需消耗需消耗0.40元的煤费、元的煤费、0.05元的电费和元的电费和0.10元的运输费元的运输费;而提供价值一元的铁路运输服务而提供价值一元的铁路运输服务,则需消耗则需消耗0.45元的煤费、元的煤费、0.10元的电费和元的电费和0.10元的元的运输费运输费.假设在

4、某个星期内假设在某个星期内,除了这三个企业间的彼除了这三个企业间的彼此需求此需求,煤矿得到煤矿得到50000元的订单元的订单,电厂得到电厂得到25000元的电量供应要求元的电量供应要求,而地方铁路得到价值而地方铁路得到价值30000元的元的运输需求运输需求,试问试问:(1)这三个企业在这个星期各应生产多少产值才能这三个企业在这个星期各应生产多少产值才能满足内外需求满足内外需求?(2)除了外部需求除了外部需求,试求这个星期各企业之间的消耗试求这个星期各企业之间的消耗需求需求,同时求出各企业新创造的价值同时求出各企业新创造的价值(即产值中除去即产值中除去各企业的消耗所剩的部分各企业的消耗所剩的部分

5、);(3)如果煤矿需要增加总产值如果煤矿需要增加总产值10000元元,它对各企业它对各企业的产品或服务的完全需求分别将是什么的产品或服务的完全需求分别将是什么?这是一个小型的经济上的投入产出模型这是一个小型的经济上的投入产出模型.以上方程组称之为以上方程组称之为分配平衡方程组分配平衡方程组.每一个等式以价值形式说明对每一企业每一个等式以价值形式说明对每一企业:中间产品中间产品(作为系统内各企业的消耗作为系统内各企业的消耗)+最终产最终产品品(外部需求外部需求)=总产品总产品.以上方程组称之为以上方程组称之为消耗平衡方程组消耗平衡方程组.每一个等式说明对每一企业每一个等式说明对每一企业:对系统内

6、各企业产品的消耗对系统内各企业产品的消耗+新创价值新创价值=总产值总产值.方程组方程组(1)可以写成矩阵形式可以写成矩阵形式 在在经济学上分别称为经济学上分别称为直接消耗矩阵直接消耗矩阵、产出向量产出向量和和最最后需求后需求(或或最终产品最终产品)向量向量.上述方程组又可以写成上述方程组又可以写成三个列向量组成的矩阵三个列向量组成的矩阵是是投入产出分析中的投入产出表的基本部分投入产出分析中的投入产出表的基本部分.有了总产量和各企业的投入有了总产量和各企业的投入,就可得创新价值就可得创新价值.由于某个企业在进行生产或提供服务时由于某个企业在进行生产或提供服务时,对对任何一个产品的直接消耗事实上还

7、蕴含着对其他任何一个产品的直接消耗事实上还蕴含着对其他产品的间接消耗产品的间接消耗,例如地方铁路在运输时直接消例如地方铁路在运输时直接消耗了煤耗了煤,但它还通过消耗电而间接消耗煤但它还通过消耗电而间接消耗煤,这样就这样就有了完全消耗系数的概念有了完全消耗系数的概念.完全消耗系数是指某企业生产单位产值的产品完全消耗系数是指某企业生产单位产值的产品而对其他一企业产品的总消耗值而对其他一企业产品的总消耗值.与直接消耗矩阵一样与直接消耗矩阵一样,完全消耗矩阵反映了煤完全消耗矩阵反映了煤矿、电厂和铁路在生产需求上的关系矿、电厂和铁路在生产需求上的关系,但后者从完但后者从完全需求的角度揭示了它们在更深层次

8、上的相互依赖全需求的角度揭示了它们在更深层次上的相互依赖关系关系.如果要扩大煤的生产每周增加产值如果要扩大煤的生产每周增加产值1万元万元,就不就不仅要增产仅要增产0.25万元的电和万元的电和0.35万元的运输能力作为万元的运输能力作为直接消耗直接消耗,还必须有还必须有0.46万元的煤、万元的煤、0.24万元的电和万元的电和0.27万元的运输能力作为间接消耗万元的运输能力作为间接消耗.对于经济部门的计划决策者而言对于经济部门的计划决策者而言,以上数据是以上数据是非常重要的非常重要的.在扩大生产与投资等问题上在扩大生产与投资等问题上,需要充需要充分考虑其他部门的相应能力分考虑其他部门的相应能力.2

9、.线性方程组的线性方程组的Jacobi迭代法迭代法格式很简单：收敛条件（要参看专业数学书）收敛条件（要参看专业数学书）迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径1。对于Jacobi迭代，我们有一些保证收敛的充分条件定理：若A满足下列条件之一，则Jacobi迭代收敛。A为行对角占优阵 A为列对角占优阵 A满足史密斯（史密斯（Smith，Henry John Stanley）(18261883)对数学的主要贡献对数学的主要贡献 史史密密斯斯对对数数论论、高高等等代代数数、数数学学分分析析等等领领域域都都作作出出了了贡贡献献.例例如如：他他将将高高斯斯的的若若干干定定理理由由实实变变量量推推广广到到复复变变

10、量量，他他补补充充完完善善了了 数数论论理理论论，从从 而而 1 18 88 83 3年年获获法法国国科科学学院院的的奖奖金金，他他引引进进了了 增增广广矩矩阵阵和和非非增增广广矩矩阵阵 的的术术语语，他他还还与与 魏魏尔尔斯斯特特拉拉 斯斯 以以 及及 西西尔尔维维斯斯特特 创创立立了了 -矩矩阵阵和和初初等等因因子子理理论论；引引入入了了 上上积积分分 和和下下积积分分 的的概概念念，1 18 89 94 4年年牛牛津津出出版版了了他他的的论论文文集集 史史密密斯斯数数学学论论文文汇汇编编，在在该该论论文文集集中中史史密密斯斯给给出出了了一一系系列列清清晰晰精精确确、形形 式式 完完 美美 的的 论论 证证 结结 果果 和和 独独 到到 见见 解解