(精品)3.2+求导法则与公式.ppt

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1、2 求导数的方法法则与公式 第三章第三章 三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则一、问题的提出一、问题的提出四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、小结与思考题五、小结与思考题（The Rule of Derivation）1/29/20231一、问题的提出（Introduction）1.导数的定义1/29/202322.利用导数的定义得出以下导数公式：利用导数的定义得出以下导数公式：1/29/20233但是，但是，对于比较复杂的函数，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它直接根据定义求它们的导数往往很困难们的导数往往

2、很困难.例如，例如，求下列函数的导函数：为此，为此，我们有必要研究一下函数的求导法则函数的求导法则！1/29/20234二、函数的和、差、积、商的求导法则定理定理1 的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.1/29/20235此法则可推广到任意有限项的情形.设,则例如例如,证:（1）1/29/20236证证:设则有推论推论:(C为常数)（2）1/29/20237证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)（3）1/29/20238的导数.例例1 求函数答案：答案：和例例2 求函数的导数.答案：答案：和例例3 求函数的导数.答案

3、：答案：1/29/20239三、反函数的求导法则定理定理2 y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此1/29/202310例例4 求反三角函数的导数。解解:设则类似可求得,则1/29/202311四、复合函数的求导法则在点 x 可导,定理定理3 在点可导复合函数且在点 x 可导,证证:在点 u 可导,故（当 时 )故有1/29/202312 说说 明：明：1/29/202313例如例如,关键关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.（3）此法则可推广到多个中间变量的情形.1/29/202314的导数.例例5 求函数答案：答案：例例6 设提示：提

4、示：分情况讨论。答案：答案：由此可见，由此可见，即即答案：答案：1/29/202315求解解:思考思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同例例8 设练习练习1/29/202316五、基本求导法则与导数公式1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数1/29/2023172.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(C为常数)3.反函数的求导法则反函数的求导法则单调可导,则则4.复合函数求导法则复合函数求导法则5.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数1/29/202318若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的

5、导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或的二阶导数二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称高阶导数高阶导数 1/29/202319三、一些常见函数的高阶导数的求法例例1 设设 求求解：解：1.直接法直接法求高阶导数就是多次接连地求导数求高阶导数就是多次接连地求导数.例例2 求求 的的n 阶导数阶导数.解：解：1/29/202320求解解:一般地,类似可证:例例3 设2.数学归纳法证明高阶导数数学归纳法证明高阶导数1/29/202321例例4 设设 求求解解若若 为自然数为自然数 ，则，则 1/29/202322内容小结1.掌握函数求导的法则掌握函数求导的法则四则运算的求导法则四则运算的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意注意:1)2)搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.2.记住一些基本初等函数的导数公式记住一些基本初等函数的导数公式3.3.求高阶导数的方法求高阶导数的方法1/29/202323思考与练习1.对吗对吗?2.求下列函数的导数答案：答案：1/29/202324其中在因故正确解法正确解法:时,下列做法是否正确?在求处连续,3.设1/29/202325求解解:方法方法1 利用导数定义.方法方法2 利用求导公式.4.设1/29/202326