热传导方程和定解条件学习教案.pptx

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1、会计学1热传导方程和定解条件热传导方程和定解条件第一页，编辑于星期二：三点 四分。2热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行：物体在无穷小时段内流过一个无穷小面积的热量与物体温度沿曲面法线方向的方向导数成正比，而热流方向与温度升高的其中称为物体在点处的热传导系数，为正值.当物体为均匀且各向同性时，为常数，为曲面沿热流方向的法线.方向相反，即第1页/共24页第二页，编辑于星期二：三点 四分。3为了导出温度所满足的方程,在物体G内任取一闭曲面它所包围的区域记作则从时刻到时刻经过曲面流入区域的热量为其中表示对曲面的外法向导数.第2页/共24页第三页，编辑于星期二：三点 四分。4流入的热量使区域

2、内部的温度发生变化,在时间间隔中物理温度从变化到所需要的热量为其中为物体的比热,为物体的密度.如果所考察的物体内部没有热源,由于热量守恒,第3页/共24页第四页，编辑于星期二：三点 四分。5先对进行变形利用奥-高(Gauss)公式设函数关于变量具有二阶连续偏导数,关于变量具有一阶连续偏导数,可化为第4页/共24页第五页，编辑于星期二：三点 四分。6而可化为因此由移项即得（利用牛顿-莱布尼兹公式）第5页/共24页第六页，编辑于星期二：三点 四分。7由于与区域都是任意取的,并且被积函数是连续的,于是得上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程.如果物体是均匀的,此时为常数,记则得齐次热传导方程第6页/

3、共24页第七页，编辑于星期二：三点 四分。8如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有电流,或有化学反应等情况),设热源密度(单位时间内单位体积所产生的热量)为则在时间间隔中区域内所产生的热量为同样由于热量要平衡,第7页/共24页第八页，编辑于星期二：三点 四分。9其中非齐次热传导方程相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。第8页/共24页第九页，编辑于星期二：三点 四分。10二、定解条件初始条件：表示初始时刻物体内温度的分布情况其中为已知函数。1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）设所考察的物体G的边界曲面为S，已知物体表面温度函数为即第9页/共24页第十页，编辑于星期二：三点 四

4、分。112、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）特别地，如果物体表面上各点的热流量为0,绝热性边界条件已知物体表面上各点的热流量也就是说在单位时间内流过单位面积的热量是已知的，其中由傅里叶实验定律可知是定义在边界曲面S，且上的已知函数.则相应的边界条件为第10页/共24页第十一页，编辑于星期二：三点 四分。121.3 拉普拉斯方程与定解条件拉普拉斯方程与定解条件1.三维拉普拉斯(Laplace)方程(1)凡具有二阶连续偏导数并满足方程(1)的连续函数为调和函数.(调和方程)方程(1)通常表示成或拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的分布规律.第11页/共24页第十二页，编辑于星期二：三点 四

5、分。132.泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程)(2)方程(2)通常表示成或3.拉普拉斯方程的边值问题第一边值问题(狄氏问题)第12页/共24页第十三页，编辑于星期二：三点 四分。14在空间某一区域的边界上给定了连续函数要求函数在闭区域上连续且在内调和,在边界上与给定的函数重合,即第二边值问题(诺伊曼问题)在空间某一区域的边界上给定了连续函数要求函数在闭区域上连续且在内调和,在边界上法向导数存在,且有其中n是外法线方向.第13页/共24页第十四页，编辑于星期二：三点 四分。151.4 基本概念与基本知识基本概念与基本知识1.古典解:如果一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数,且满足该方程

6、.2.自由项:偏微分方程中不含有未知函数及其各阶偏导数的项.例如:齐次偏微分方程(自由项为0)非齐次偏微分方程(自由项不为0)第14页/共24页第十五页，编辑于星期二：三点 四分。163.叠加原理考察二阶线性偏微分方程其中都是某区域上的已知函数.叠加原理设是方程(1)中第i个方程的解,(1)第15页/共24页第十六页，编辑于星期二：三点 四分。17如果级数(2)收敛,其中为任意常数,并且它还能够逐项微分两次,则级数(2)是下方程的解特别地,当方程(1)中的自由项时,则得相应的齐次方程为若是方程(3)的解,则级数(2)也是方程(3)(3)的解.第16页/共24页第十七页，编辑于星期二：三点 四分

7、。三角函数系在上正交。4.傅里叶(Fourier)级数第17页/共24页第十八页，编辑于星期二：三点 四分。19补充：三角函数积化和差公式第18页/共24页第十九页，编辑于星期二：三点 四分。204.傅里叶(Fourier)级数设周期为的函数可展开成傅里叶级数,则(4)其中傅里叶系数满足(5)第19页/共24页第二十页，编辑于星期二：三点 四分。21当为奇函数时当为偶函数时(6)(7)第20页/共24页第二十一页，编辑于星期二：三点 四分。224.两个自变量的二阶微分方程的分类一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状(8)其中等都是自变量在区域上的实函数，并假定他们是连续可微的。若在区域上每点则称方程(8)在每点为双曲型的；那么也则称方程(8)在区域内是双曲型的。第21页/共24页第二十二页，编辑于星期二：三点 四分。23若在区域上每点则称方程(8)在每点为椭圆型的；那么也则称方程(8)在区域内是椭圆型的。若在区域上每点则称方程(8)在每点为抛物型的；那么也则称方程(8)在区域内是抛物型的。第22页/共24页第二十三页，编辑于星期二：三点 四分。24例如：双曲型抛物型椭圆型第23页/共24页第二十四页，编辑于星期二：三点 四分。