高二数学上册 9.2《矩阵的运算》课件1 沪教.ppt

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1、第二章第二章 矩阵矩阵2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算2021/8/11 星期三1第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算 一、一、一、一、矩阵的线性运算矩阵的线性运算矩阵的线性运算矩阵的线性运算 二、二、二、二、矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算 三、三、三、三、矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置 四、四、四、四、对乘矩阵和反对矩阵对乘矩阵和反对矩阵对乘矩阵和反对矩阵对乘矩阵和反对矩阵 五、五、五、五、小结小结小结小结 思考题思考题思考题思考题2021/8/11 星期三2一、线性运算：一、线性运算：两个矩阵的行数和列数均相等时，称它们为两个矩阵的行数和列数均相等时，

2、称它们为同型同型矩阵。矩阵。定义定义3如果两个矩阵如果两个矩阵 是同型矩是同型矩阵阵,且各对应元素也相同且各对应元素也相同,即即则称矩阵则称矩阵 相等相等,记作记作例如例如为为同型矩阵同型矩阵.2021/8/11 星期三3定义定义4 4：两个两个 矩阵矩阵 的和的和记作记作 ,规定规定即：即：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行行注注:加法运算。加法运算。2021/8/11 星期三4例如例如记记 ,称称 为为 的的负矩阵负矩阵，由此规定由此规定矩阵的矩阵的减法减法为为显然，显然，数数与矩与矩阵阵的乘的乘积记积记作作或或2021/8/11 星期三5矩阵的加法和数

3、乘统称为矩阵的线性运算。矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算。矩阵矩阵的线性运算的线性运算的运算规律的运算规律:令令和和是是，为为常数。常数。阶阶矩矩阵阵，2021/8/11 星期三6二、矩阵与矩阵相乘与与2021/8/11 星期三7=一般地，有一般地，有定义定义2021/8/11 星期三8是一个一是一个一阶阶方方阵阵，即一个数。，即一个数。注意：1.一个一个行矩行矩阵阵与一个与一个列矩阵的乘积列矩阵的乘积2.2.A A与与B B满足什么足什么条条例例5 5 求矩求矩阵阵与与的乘的乘积积2021/8/11 星期三9解：解：例例6 62021/8/11 星期三10解：解：但是但是这正是这正是矩阵

4、与矩阵与数的不同数的不同计计算乘算乘积积显然显然这又是矩阵这又是矩阵与数的不同与数的不同2021/8/11 星期三11请记住：请记住：2.2.不满足消去律；不满足消去律；1.1.矩阵乘法不满足交换律；矩阵乘法不满足交换律；3.3.有非零的零因子。有非零的零因子。n n元线性方程组元线性方程组 例例7矩阵表示矩阵表示2021/8/11 星期三12矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律（其中（其中 为数）为数）;若若A A是是 阶矩阵，定义阶矩阵，定义 为为A A的的 次幂次幂,为正整数，为正整数，。规定。规定 即即易证易证2021/8/11 星期三13阶阶方方阵阵的的次多次多项项式式为为阶阶方方阵

5、阵其中其中 为数，为数，例例8求求解：解：2021/8/11 星期三14三、矩阵的转置三、矩阵的转置把把的行与列依次互的行与列依次互换换得到另得到另矩阵矩阵定义：矩矩阵阵，称，称为为一个一个的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作或或例如例如2021/8/11 星期三15证明：证明：仅证仅证(4)(4)。是是阶阶矩矩阵阵，是是和和都是都是矩矩阵阵。的第的第则则行行第第列的元素都是列的元素都是的第的第行第行第列元素列元素,，的第的第 行第行第它是它是列的列的第第元素是元素是行的元素与行的元素与第第行的行的元素的对元素的对转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质2021/8/11 星期三16一般地，应有一般地

6、，应有应乘积之和。也就是应乘积之和。也就是的第的第 列元素与列元素与的第的第 行的行的此二元素相等，故此二元素相等，故元素的对应乘积之和。它也是元素的对应乘积之和。它也是例例9已知已知2021/8/11 星期三17解法解法1 1解法解法2 22021/8/11 星期三18四、对称与反对称矩阵四、对称与反对称矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即.则则 称为称为对称阵对称阵例如例如对称轴对称轴为对称阵。为对称阵。说明说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等等.2021/8/11 星期三19例例9 设列矩阵设列矩阵 满足满足 为为阶

7、单阶单位位阵阵。证证明明是是对对称矩称矩阵阵，且，且。证明：证明：注意：注意：是一阶方阵，也就是一个数，是一阶方阵，也就是一个数，而而是是阶方阵。阶方阵。2021/8/11 星期三20五、小结五、小结五、小结五、小结矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与反对称矩阵对称阵与反对称矩阵前提条前提条件？件？前提条前提条件？件？与行列式的数与行列式的数乘运算区别乘运算区别?2021/8/11 星期三21思考题思考题 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵与反对都可表示成对称阵与反对称阵之和。称阵之和。2021/8/11 星期三22思考题解答思考题解答证明证明 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.证毕证毕2021/8/11 星期三23思考题解答思考题解答矩阵与行列式有本质的区别，行列式行列数必相矩阵与行列式有本质的区别，行列式行列数必相同。行列式可展开为代数式，而矩阵仅仅是一个同。行列式可展开为代数式，而矩阵仅仅是一个数表，数表，它的行数和列数可以不同。它的行数和列数可以不同。2021/8/11 星期三24