1不定积分和定积分整章.ppt

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1、第一节第一节不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质 第二节第二节不定积分的积分方法不定积分的积分方法 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第三节第三节定积分的概念定积分的概念 第四节 微积分基本公式微积分基本公式 第五节第五节 定积分的积分方法定积分的积分方法 第六节第六节 广义积分广义积分第七节第七节 定积分的应用定积分的应用 引入引入 前面我们研究了一元函数微分学的基本问题，即已知一个可导函数F(x),求它的导数 。但在实际问题中，常会遇到与此相反的另一类问题。已知某函数的导数已知某函数的导数f(x),求求原函数原函数F(x)。一、不定积分的基本概念一、不定积分的基本概念二二基本

2、公式基本公式 三、性质三、性质第一节第一节不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质 1 1原函数的概念原函数的概念原函数说明：原函数说明：一、不定积分的概念一、不定积分的概念 2.2.不定积分的概念不定积分的概念 例例 1 1 求下列不定积分：求下列不定积分：微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算.结论：结论：微分运算与积分运算是微分运算与积分运算是互逆互逆互逆互逆的的.若先积后微，作用相互抵消；若先积后微，作用相互抵消；若先微后积，则在抵消后加若先微后积，则在抵消后加任意常数任意常数C。3.3.不定积分的几何意义不定积分的几何意义不定积分的几何意义不定积分的几何意义若若y=

3、F(x)是是f(x)的一个原函数，的一个原函数，则称则称y=F(x)的图形是的图形是f(x)的的积分曲线积分曲线.因为不定积分因为不定积分是是f(x)的原函数的一般表达式，的原函数的一般表达式，所以它对应的图形所以它对应的图形是是一族积分曲线一族积分曲线，称它为积分曲线族称它为积分曲线族.积分曲线族积分曲线族y=F(x)+C 的特点是的特点是：当当C 0时，向上移动；时，向上移动；(1)积分曲线族中任意一条曲线，积分曲线族中任意一条曲线，可可由由其其中中某某一一条条(例如，曲线例如，曲线y=F(x)沿沿y 轴平行移动轴平行移动|C|单位而单位而得到得到.当当C 0时，向下移动；时，向下移动；(

4、2)由于由于F(x)+C=F (x)=f(x)，即即横横坐坐标标相相同同点点x 处处，每每条条积积分分曲曲线线上上相相应应点点的的切切线线斜斜率率相相等，等，都等于都等于f(x)，从从而而使使相相应应点点的的切切线线相相互互平平行行(如如图图)xyOy=f(x)y=F(x)+C积分曲线族积分曲线族y=F(x)+C 由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公 式可以相应地得出下列积分公式：式可以相应地得出下列积分公式：二、二、基本积分公式基本积分公式 性质性质1 1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即号外

5、，即 性质性质2 2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分两个函数代数和的积分，等于各函数积分 的代数和，即的代数和，即三、三、不定积分的性质不定积分的性质 例例 3 3 求下列不定积分求下列不定积分:例例 4 4 求下列不定积分：求下列不定积分：(2)(2)例例5求求f(x)=x2+1,x0.解解:F(x)=而要使而要使F(x)成为成为f(x)在在R上的原函数，必须上的原函数，必须F(x)连续，从而连续，从而C10，C21，因此满足，因此满足条件的函数为条件的函数为F(x)=故故得得思考题思考题2 2思考下列问题：思考下列问题：一、一、换元积分法换元积分法二、二、分部积分法分部积分法 三、三

6、、简单有理数的积分简单有理数的积分 3.1.2 3.1.2 换元积分法和分部积分方法换元积分法和分部积分方法 1 1第一换元积分法第一换元积分法(凑微分法凑微分法)直接验证得知直接验证得知,计算正确计算正确，我们可以把原积分作下列变形后计算：，我们可以把原积分作下列变形后计算：换和计算：换和计算：一、换元积分法一、换元积分法 还成立还成立?回答是肯定的回答是肯定的,我们有下述定理：我们有下述定理：可一般化为下列计算程可一般化为下列计算程 序：序：下面的例子下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧将继续展示凑微分法的解题技巧 例例 6 6 求下列积分：求下列积分：解解（1 1）本题六个积分今后经

7、常用到，可以作为公式使用本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用 例例 7 7 求下列积分：求下列积分：解解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被 积函数做适当变形积函数做适当变形 本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式的积分结果的积分结果第二换元积分法第二换元积分法40求求令令则则因此得因此得例例1111解解44求求令令，则，则于是于是根据根据作直角三角形（如图），作直角三角形（如图），从而，从而xat得得例例1414解解一般地说，当被积函数含有一般地说，当被积函数含有为了化掉根式是否一定采用

8、三角代换并不是为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定绝对的，需根据被积函数的情况来定.例例1515求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解例例16 16 求求解解二、分部积分法二、分部积分法例例20求求解解例例2222求积分求积分解解用分部积分法，当用分部积分法，当利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真分式之和，例如分式之和，例如 多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积 分法分法 三、简单有理式的积分三、简单有理式的积分 化真分式为部分分式之和举例

9、说明：化真分式为部分分式之和举例说明：有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面 三种形式三种形式:前两种积分，简单凑微分法即可获解，下面举例说前两种积分，简单凑微分法即可获解，下面举例说 明（明（3 3）式的积分方法）式的积分方法思考题思考题 1.1.第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是 什么？什么？一、一、定积分的实际背景定积分的实际背景 二、二、定积分的概念定积分的概念三、三、定积分的几何意义定积分的几何意义四、四、定积分的性质定积分的性质3.2.13.2.1 定积分的概念定积分的概念3.2

10、.13.2.1 定积分的概念定积分的概念 1.曲曲边边梯梯形形的的面面积积曲曲边边梯梯形形:若若图图形形的的三三条条边边是是直直线线段段，其其中中有有两两条条垂垂直直于于第第三三条条底底边边，而而其其第第四四条条边边是是曲曲线线，这这样样的的图图形形称称为为曲曲 边边梯梯形形，如如左左下下图图所所示示.yOMPQNBxCAA推广为推广为一、定积分的实际背景一、定积分的实际背景 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是

11、曲一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：如下图所示：0 x1x2xxn Oxy y=f(x)0 x=axn=b2变速直线运动的路程变速直线运动的路程 二、定积分的概念二、定积分的概念 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四、定积分的性质四、定积分的性质仍有仍有思考题思考题 一、一、变上限的定积分变上限的定积分二、二、牛顿牛顿-莱布尼茨莱

12、布尼茨（Newton-Leibniz）公式）公式 3.2.23.2.2 微积分基本公式微积分基本公式 一、变上限的定积分一、变上限的定积分如右图所示如右图所示:例例2 求下列函数的导数：求下列函数的导数：二、二、牛顿牛顿-莱布尼茨莱布尼茨（Newton-LeibnizNewton-Leibniz）公式）公式 例例1求定积分：求定积分：思考题思考题 一、一、定积分的换元积分法定积分的换元积分法 二、二、定积分的分部积分法定积分的分部积分法 3.2.33.2.3 定积分的积分方法定积分的积分方法一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法注意注意:求定积分一定要注意定积分的存在性求定积分一定要注意

13、定积分的存在性.二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法一、一、无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分二、二、无界函数的广义积分无界函数的广义积分 3.33.3 广广 义义 积积 分分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分二、被积函数有无穷间断点的广义积分二、被积函数有无穷间断点的广义积分一、一、定积分应用的微元法定积分应用的微元法二、二、用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积三、三、用定积分求体积用定积分求体积四、四、平面曲线的弧长平面曲线的弧长3.2.43.2.4 定积分的应用定积分的应用五、五、定积分的物理应用定积分的物理应用六、六、经济应用问题举例经济应用问题

14、举例 用定积分计算的量的特点：用定积分计算的量的特点：一、一、定积分应用的微元法定积分应用的微元法 用定积分概念解决实际问题的四个步骤：用定积分概念解决实际问题的四个步骤：定积分应用的微元法定积分应用的微元法：微元法中微元的两点说明：微元法中微元的两点说明：1.1.直角坐标系下的面积计算直角坐标系下的面积计算 二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积 2.2.极坐标下的面积计算极坐标下的面积计算 1.1.平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积三、用定积分求体积三、用定积分求体积解解 取坐标系如图，则底圆方程为取坐标系如图，则底圆方程为.2、旋转体体积旋转体体积 四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长 思考题思考题 1.1.功功(1)(1)变力做功变力做功 五、定积分的物理应用五、定积分的物理应用 于是功为于是功为 若移至无穷远处，则做功为若移至无穷远处，则做功为(2)(2)抽水做功抽水做功 于是功为于是功为 2.2.液体对平面薄板的压力液体对平面薄板的压力 于是，端面所受的压力为于是，端面所受的压力为 3.3.转动惯量转动惯量 1 1已知总产量的变化率求总产量已知总产量的变化率求总产量.六、经济应用问题举例六、经济应用问题举例2、已知边际函数求总量函数、已知边际函数求总量函数.思考题思考题