材力讲稿第3章扭转.ppt

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1、第三章第三章 扭扭 转转材材 料料 力力 学学材料力学构件特征构件特征：等圆截面直杆：等圆截面直杆圆轴圆轴。M0M0受力特征受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。变形特征变形特征：纵向线倾斜一个角度：纵向线倾斜一个角度 ，称为，称为剪切角剪切角(或或称称切应变切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动，称为称为相对相对扭转角扭转角。扭扭 转转/扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算M0 外力偶矩外力偶矩扭力矩扭力矩上节回顾上节回顾材料力学外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系扭矩扭矩：

2、受扭构件横截面上的内力偶矩，记为：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为T。扭矩符号扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负外法线的指向一致，为正；反之为负。nn（+）nn（-）上节回顾上节回顾材料力学（+）扭矩图扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。（-）扭矩图扭矩图扭扭 转转/杆受扭时的内力计算杆受扭时的内力计算上节回顾上节回顾材料力学三、薄壁圆轴的扭转三、薄壁圆轴的扭转材料力学扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转薄壁圆轴薄壁圆轴-壁厚远小于其平均半径壁厚远小于其平均半径(t r

3、0)的空心圆轴。的空心圆轴。TT薄壁圆轴扭转试验薄壁圆轴扭转试验预先在圆轴的表面画上等间距的预先在圆轴的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系纵向线和圆周线，从而形成一系列的格子。列的格子。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。观察到的现象观察到的现象r0 平均半径，平均半径，t 壁厚壁厚材料力学ABDCABDC（1）（2 2）其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形，）其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形，绕轴线产生相对转动。绕轴线产生相对转动。扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转设想设想薄壁圆轴扭转后，横截面保持为形状、大小均无改变的

4、平面，薄壁圆轴扭转后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆轴轴线发生相对转动。相邻两横截面绕圆轴轴线发生相对转动。材料力学横横截截面面上上没没有有正正应应力力，只只有有切切应应力力。且且横横截截面面上上的的切切应应力力的的方方向向是是沿沿着着圆圆周周的的切切线线方方向向，并并设设沿沿壁壁厚厚方方向向是均匀分布的是均匀分布的(壁厚较小壁厚较小)。mm(c)ABCD薄壁圆轴两端截面之间相对薄壁圆轴两端截面之间相对转动的角位移，称为转动的角位移，称为 相对扭相对扭相对扭相对扭转角转角转角转角 ，用，用 表示。表示。薄壁薄壁圆轴表面上每个格子的直圆轴表面上每个格子的直角的改变量，称为

5、角的改变量，称为 切应变切应变切应变切应变。用用 表示表示。ACDB扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转材料力学T 扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转A0=r02,r0 平均半径，平均半径，t 壁厚壁厚几何关系几何关系切应变切应变小变形条件小变形条件切应力切应力静力关系静力关系材料力学dxdydz 切应力互等定理：切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转薄壁圆轴纵截面上的切应力薄壁圆轴纵截面上的切应力材料力学剪

6、切胡克定律剪切胡克定律ACDB其中其中G是材料的是材料的剪切弹性模量剪切弹性模量。且且实验证明实验证明：当切应力不超过：当切应力不超过材料的比例极限材料的比例极限 时，切时，切应力应力 与切应变与切应变 成正比。成正比。即即单位：单位：MPa、GPa.扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转材料力学剪切胡克定律剪切胡克定律扭扭 转转/薄壁圆轴的薄壁圆轴的扭转扭转参考参考拉压胡克定律拉压胡克定律切应变切应变切应力切应力切应力互等定理切应力互等定理材料力学四、圆轴扭转时的应力和变形四、圆轴扭转时的应力和变形材料力学TT实验观察实验观察 假设假设 理论分析理论分析研究方法：研究方法：1 1、实验观察

7、、实验观察扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形横截面上的横截面上的应力分布应力分布材料力学 观察到的变形现象观察到的变形现象ABCD（1）横截面上存在切应力！横截面上存在切应力！（2 2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 对转动。对转动。横截面上不存在正应力！横截面上不存在正应力！ABCD（3 3）圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。）圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。2 2、假设、假设刚性平面假设：刚性平面假设：即圆轴扭转时横截面象刚性平面即圆轴扭转时横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动一样绕轴线作相

8、对转动。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学圆轴圆轴许多个套在一起的薄壁圆轴许多个套在一起的薄壁圆轴(管管)，各个薄，各个薄壁圆轴扭转时横截面的相对扭转角相同。壁圆轴扭转时横截面的相对扭转角相同。横截面上的切应力处处垂直于径向，横截面上的切应力处处垂直于径向，且方向同且方向同T 旋转方向。旋转方向。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学T 横截面上各点横截面上各点 切应力的方向。切应力的方向。3 3、理论分析、理论分析(1)几何分析几何分析TTdx扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学T小变形条件下小变形条件下扭扭

9、 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学同理同理式中式中 表示扭转角表示扭转角沿轴长的变化率称为沿轴长的变化率称为单位单位扭转角扭转角，在同一截面上，在同一截面上，=常数。常数。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学(2)物理条件物理条件剪切胡克定律剪切胡克定律T扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学 称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、尺寸有关。尺寸有关。(3)静力平衡条件静力平衡条件T(单位扭转角单位扭转角,单位：单位：rad/m)扭扭 转转/圆轴扭转时的

10、应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学在扭矩相同的条件下，在扭矩相同的条件下，因此因此 表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。横截面上切应力计算公式横截面上切应力计算公式式中式中 称为称为抗扭截面模量抗扭截面模量。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形应力分布情况应力分布情况（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）材料力学D=2R(4)公式中几何量公式中几何量 与与 的计算。的计算。a、实心圆截面实心圆截面因此因此而而dA扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形

11、圆轴扭转时的应力和变形材料力学b、空心圆截面空心圆截面Dd式中式中而而扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形内外径之比内外径之比材料力学讨论讨论 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的剪切弹性模量分别为的剪切弹性模量分别为G1和和G2，且，且G12G2。圆轴尺圆轴尺寸如图中所示。寸如图中所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D)所所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。示的四种结论，请判断哪一种是正确的。扭

12、扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形T材料力学等直圆杆扭转时斜截面上的应力等直圆杆扭转时斜截面上的应力1.1.低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。2.2.灰铸铁试件：灰铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的的螺旋线断开。螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。因此还需要研究斜截面上的应力。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形两种扭转破坏方式两种扭转破坏方式材料力学1.点点M的应力单元体如图的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2.斜截面上的应力；斜截面上的应力；取微元体如图取微元体如图(d)：(d)x扭扭 转转/圆轴扭转时的应力

13、和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学(d)xnt转角规定：转角规定：x轴正向转至截面外法线轴正向转至截面外法线逆时针：为逆时针：为“+”顺时针：为顺时针：为“”由平衡方程：由平衡方程：解得：解得：扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学分析分析：当当 =0时，时，当当 =45时，时，当当 =45时，时，当当 =90时，时，45 由此可见：圆轴扭转时，在横截由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角方向角 =45 的斜截面上作用有最的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结大压应力和最大拉应力。根据这一结论，

14、就可解释前述的破坏现象。论，就可解释前述的破坏现象。扭扭 转转/圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形材料力学五、圆轴的强度条件和刚度条件五、圆轴的强度条件和刚度条件材料力学（一）强度条件（一）强度条件塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学受扭圆轴失效的标志：受扭圆轴失效的标志：塑性材料：屈服，扭转塑性材料：屈服，扭转屈服应力屈服应力：；脆性材料：断裂，扭转脆性材料：断裂，扭转强度应力强度应力：；统称统称扭转极扭转极限应力限应力：因此圆轴的强度条件为因此圆轴的强度条件为式中式中（许用切应力许用切应力，n 为为安全系数安全系数）

15、扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学（二）刚度条件（二）刚度条件或或 的数值按照对机器的要求决定：的数值按照对机器的要求决定：精密机器的轴：精密机器的轴：一般传动轴：一般传动轴：精度要求不高的轴：精度要求不高的轴：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件三类强度计算问题三类强度计算问题 校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：材料力学扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件三类刚度计算问题：三类刚度计算问题：校核刚度：校

16、核刚度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：材料力学解：解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：轴的最大切应力轴的最大切应力例题例题3-2 某汽车传动轴，用某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为使用时最大扭矩为T=1500 N.m,试校核此轴的强度。试校核此轴的强度。已知已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径当，则实心轴的直径 为？为？扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条

17、件和刚度条件材料力学所以此轴安全。所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而若此轴改为实心轴，而式中式中解得：解得：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积空心轴的横截面面积空心轴与实心轴的重量之比：空心轴与实心轴的重量之比：因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。约材料、比较经济。约材料、比较经济。约材料、比较经济。扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条

18、件和刚度条件材料力学例题例题3-3 图示等截面圆轴，已知图示等截面圆轴，已知d=90mm,l=50cm,。轴的材料为钢，轴的材料为钢，G=80GPa,求求（1）轴的最大切应力；）轴的最大切应力；（2）截面）截面B和截面和截面C的扭转角；的扭转角；（3）若要求）若要求BC段的单位扭转角与段的单位扭转角与AB段的相等，则在段的相等，则在BC段钻孔段钻孔 的孔径的孔径d 应为多大？应为多大？AllBCd扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学AllBCd（+）（-）扭矩图扭矩图解：解：(1)轴的最大切应轴的最大切应力力作扭矩图：作扭矩图：2211因此因此扭扭 转转/圆轴的

19、强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学AllBCd（2）扭转角）扭转角截面截面B：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学截面截面CAllBCd扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学（3）BC段孔径段孔径dAllBCd由由得得解得：解得：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学例题例题3-4 图示圆截面杆图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为左端固定，承受一集度为t的的均布力偶矩作用。试导出计算截面均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。的扭转角公式。Lt xdx解：解：取微段作为研究对象。

20、取微段作为研究对象。T(x)T(x)L-xtT(x)根据平衡条件求得横截面上的扭根据平衡条件求得横截面上的扭矩为：矩为：微段两端截面的相对扭转角为微段两端截面的相对扭转角为AB扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学因此因此扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件Lt材料力学 例例 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用切应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度

21、条件材料力学40NmxT代入数值得：D 0.0226m 由扭转刚度条件校核刚度扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学40NmxT右端面转角为：扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件圆轴强度与刚度设计的一般过程圆轴强度与刚度设计的一般过程圆轴强度与刚度设计的一般过程圆轴强度与刚度设计的一般过程 根根据据轴轴传传递递的的功功率率以以及及轴轴每每分分钟钟的的转转数数，确确定定作作用用在在轴轴上的外加力偶的力偶矩。上的外加力偶的力偶矩。应应用用截截面面法法确确定定轴轴的的横横截截面面

22、上上的的扭扭矩矩，当当轴轴上上同同时时作作用用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。根根据据轴轴的的扭扭矩矩图图，确确定定可可能能的的危危险险面面以以及及危危险险面面上上的的扭扭矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。计计算算危危险险截截面面上上的的最最大大切切应应力力或或单单位位长长度度上上的的相相对对扭扭转转角。角。根根据据需需要要，应应用用强强度度设设计计准准则则与与刚刚度度设设计计准准则则对对圆圆轴轴进进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。行强度与刚度校核、

23、设计轴的直径以及确定许用载荷。材料力学 例例 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率输入功率N1=500 马力，马力，输出功率分别输出功率分别 N2=200马力及马力及 N3=300马力，已知：马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m ，试确定：试确定：AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？解：解：图示状态下图示状态下,扭矩如扭矩如 图图，由强度条件得由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(

24、kNm)扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学由刚度条件得由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学 综上：综上：全轴选同一直径时全轴选同一直径时扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件 可见：可见：此轴的直径是由刚度条件控制的此轴的直径是由刚度条件控制的材料力学 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应 该该换换位。位。换位后换位后,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示,此时此时,轴的最

25、大直径轴的最大直径 为为 75 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814扭扭 转转/圆轴的强度条件和刚度条件圆轴的强度条件和刚度条件材料力学六、扭转的超静定问题六、扭转的超静定问题材料力学扭转的超静定问题扭转的超静定问题受扭圆杆的未知反力偶或扭矩受扭圆杆的未知反力偶或扭矩数超过独立的静力平衡方程数。数超过独立的静力平衡方程数。超静定问题的解法：超静定问题的解法：（1）建立静力平衡方程；）建立静力平衡方程；（2）由变形协调条件建立变形协调方程；）由变形协调条件建立变形协调方程；（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：，代入变形协调方程，得到补充方程；代

26、入变形协调方程，得到补充方程；（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反力偶或扭矩。力偶或扭矩。扭扭 转转/扭转的超静定问题扭转的超静定问题材料力学例题例题3-5 一两端固定的圆截面杆一两端固定的圆截面杆AB，在截面在截面C处承受力处承受力偶矩偶矩T作用。试写出三种不同形式的变形协调条件。作用。试写出三种不同形式的变形协调条件。MABCab解：解：(1)(1)考虑截面考虑截面C:C:式中式中 值应取绝对值，不值应取绝对值，不考虑扭矩或扭转角的转向。考虑扭矩或扭转角的转向。扭扭 转转/扭转的超静定问题扭转的超静定问题材料力学(2)(2)考虑截

27、面考虑截面B:B:式中式中 值应取代数值，值应取代数值，考虑扭矩或扭转角的转向。考虑扭矩或扭转角的转向。(3)(3)考虑解除考虑解除B B端约束，以反力矩端约束，以反力矩 代替。代替。MABCab变形协调条件：变形协调条件：式中式中M和和 共同作用产生的扭转角，共同作用产生的扭转角，M单独单独作用产生的扭转角，作用产生的扭转角，单独作用产生的扭转角。单独作用产生的扭转角。扭扭 转转/扭转的超静定问题扭转的超静定问题MABCab叠叠加加原原理理材料力学例题例题3-6 一组合杆由实心杆一组合杆由实心杆1和空心管和空心管2结合在一起所组结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受试求组合杆承受外力偶矩外力偶矩M以后，杆和管内的最大切应力。以后，杆和管内的最大切应力。12T12解：解：（1 1）静力学关系）静力学关系（2）变形协调条件）变形协调条件扭扭 转转/扭转的超静定问题扭转的超静定问题材料力学（3）物理关系：）物理关系：代入变形协调方程，得补充方程代入变形协调方程，得补充方程（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得）补充方程与静力平衡方程联立，解得扭扭 转转/扭转的超静定问题扭转的超静定问题材料力学（5）最大切应力）最大切应力杆杆1 1：管管2 2：扭扭 转转/扭转的超静定问题扭转的超静定问题材料力学