线性微分方程组解的存在唯一性定理.pptx

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1、线性微分方程线性微分方程(wi fn fn chn)组解的组解的存在唯一性定理存在唯一性定理第一页，共29页。掌握掌握(zhngw)高阶线性微分方程与线性微分方程组的关高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。系。理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。熟练掌握熟练掌握(zhngw)解的逐次逼近序列的构造方法。解的逐次逼近序列的构造方法。本节要求本节要求(yoqi)/Requirements/第1页/共29页第二页，共29页。5.1.1 5.1.1 记号记号(j ho)(j ho)与定义与定义/Symbol and/Symbol and Definition/

2、Definition/一阶微分方程一阶微分方程(wi fn fn chn)组组初值条件初值条件(tiojin)5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第2页/共29页第三页，共29页。一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)组组(5.1)5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第3页/共29页第四页，共29页。.(5.2)(5.3).(5.4)5.1 E 5.1 Existence&Uniquene

3、ss Theorems of of Linear ODEs 第4页/共29页第五页，共29页。可定义矩阵可定义矩阵(j zhn)与向量与向量函数函数在区间在区间(q jin)连续连续(linx):连续。连续。在区间在区间可微可微:可微。可微。在区间在区间可积可积:可积。可积。在区间在区间 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第5页/共29页第六页，共29页。5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第6页/共29页第七页，共29页。上的连续上

4、的连续(linx)维向量，方程组维向量，方程组上连续上连续(linx)(linx)且满足且满足定义定义(dngy)1(dngy)1设设是区间是区间上的连续上的连续矩阵，矩阵，是区间是区间.(5.4)在某区间在某区间的解就是向量的解就是向量在区间在区间 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第7页/共29页第八页，共29页。定义定义(dngy)2初值问题初值问题(Cauchy Problem).(5.5)的解就是的解就是(jish)方程组方程组(5.4)在包含在包含使得使得(sh de)(sh de)5.1 E 5.1

5、 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第8页/共29页第九页，共29页。例例1 1 验证验证(ynzhng)(ynzhng)向量向量是初值问题是初值问题 在区间在区间(q jin)(q jin)上的解。上的解。解解因此因此(ync)是给定初值问题的解。是给定初值问题的解。5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第9页/共29页第十页，共29页。5.1.2 n 阶线性微分方程阶线性微分方程(wi fn fn chn)与一阶线性微分方程与一阶线性微分方程(wi f

6、n fn chn)组等价组等价例例1令令解解 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第10页/共29页第十一页，共29页。满足满足(mnz)解解构造构造(guzo)向量向量 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第11页/共29页第十二页，共29页。解解满足满足(mnz)5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第12页/共29页第十三页，共29页。令令 5.1 E

7、5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第13页/共29页第十四页，共29页。5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第14页/共29页第十五页，共29页。(5.6)等价等价(dngji)(5.7)5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第15页/共29页第十六页，共29页。例例2令令将初值问题将初值问题化为与之等价化为与之等价(dngji)的一阶方程组的初值问题。的一阶方程组的初

8、值问题。解解 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第16页/共29页第十七页，共29页。例例3将下列将下列(xili)方程组化为高阶方程方程组化为高阶方程解解注意：不是注意：不是(b shi)所有方程组都可化为高阶方程所有方程组都可化为高阶方程 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第17页/共29页第十八页，共29页。5.1.3 存在存在(cnzi)唯一性定理唯一性定理初值问题初值问题(Cauchy Problem).(5.5)5.1

9、E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第18页/共29页第十九页，共29页。定理定理(dngl)1(dngl)1f(t)是是 n 维列向量维列向量(xingling)，上连续，则对于上连续，则对于(duy)(duy)区间区间上的任何数上的任何数及任一常数向量及任一常数向量方程组方程组(5.5)存在唯一解存在唯一解定义于整个区间定义于整个区间上，且满足初始条件上，且满足初始条件如果如果矩阵，矩阵，它们都在区间它们都在区间 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear

10、ODEs 第19页/共29页第二十页，共29页。现取现取，构造皮卡逐步逼近向量函数，构造皮卡逐步逼近向量函数(hnsh)(hnsh)序列：序列：向量向量(xingling)(xingling)函数函数称为称为(chn wi)(5.4)(chn wi)(5.4)的第的第 k k 次近似解。次近似解。5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第20页/共29页第二十一页，共29页。例例4求方程组的初值问题求方程组的初值问题的二次近似的二次近似(jn s)解。解。解解令令 5.1 E 5.1 Existence&Uniquen

11、ess Theorems of of Linear ODEs 第21页/共29页第二十二页，共29页。5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第22页/共29页第二十三页，共29页。5.1.4 简单简单(jindn)方程组的消元法方程组的消元法例例5 求解求解(qi ji)方程组方程组解解关键关键(gunjin)：保留一个未知函数，消掉另一个未：保留一个未知函数，消掉另一个未知函数知函数 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第23页/共29

12、页第二十四页，共29页。方程组的解为 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第24页/共29页第二十五页，共29页。例例6 求解求解(qi ji)方程组方程组解解：保留(boli)一个未知函数 x，消掉另一个未知函数 y 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第25页/共29页第二十六页，共29页。另外(ln wi)，由方程组的解为 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第26页/共29页第二十七页，共29页。练习练习(linx)：2 求方程组的初值问题求方程组的初值问题 的二次近似的二次近似(jn s)解。解。1 P.184 2(b)5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第27页/共29页第二十八页，共29页。作业作业(zuy)：P.184 第第2(c),3题。题。3 求下列求下列(xili)方程组的方程组的解解 5.1 E 5.1 Existence&Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第28页/共29页第二十九页，共29页。