(最新)平面向量的综合应用专题研究(习题和答案).pdf

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1、平面向量的综合应用专题研究1(2010 湖南卷改编)已知 A，B 是圆心为 C 半径为5的圆上两点，且|AB|5，则AC CB等于()A52B.52C0 D.5 32答案A 解析本题考查向量的数量积的运算由于弦长|AB|5与半径相同，则ACB60?AC CBCA CB|CA|CB|cos ACB55 cos6052.2已知 a，b 是两个非零向量，给定命题 p：|a b|a|b|，命题 q：?tR，使得 atb，则 p 是 q 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C 解析|a b|a|b|cos|a|b|，0 或 180，即 a，b 共线?tR，使得 at

2、b 成立 p 是 q 的充分条件若?tR，使得 atb，则 a，b 共线，|a b|a|b|.p 是 q 的必要条件综上可知，p 是 q 的充要条件3P 是ABC 所在平面上一点，若 PA PBPB PCPC PA，则P 是ABC的()A外心B内心C重心D垂心答案D 解析由PA PBPB PC得PB(PAPC)0.即PB CA0.PBCA.同理PABC.即 P 为垂心4在平行四边形ABCD 中，ABa，ADb，则当(ab)2(ab)2时，该平行四边形为()A菱形B矩形C正方形D以上都不正确答案B 解析数形结合，在平行四边形中，abABADAC，abABADDB，由|ab|ab|，|AC|DB|

3、，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B.5若 O 是ABC 所在平面内一点，且满足|OBOC|OBOC2OA|，则 ABC 的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形答案B 解析OBOC2OAOBOAOCOAABAC，OBOCCBABAC，|ABAC|ABAC|?|ABAC|2|ABAC|2?AB AC0，三角形为直角三角形，故选B.6在ABC 中，AB BC3，ABC 的面积 S32，32，则AB与BC夹角的取值范围是()A4，3B6，4 C6，3 D3，2 答案B 解析设 AB，BC ，因为AB BC|AB|BC|cos 3?|AB|BC|3cos，又 S12|AB|

4、BC|sin()123cos sin()32tan，而32S32?3232tan 32?33tan 1?6 4.故选 B.7如图所示，E、F、G、H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若(ABBC)(BAAD)0，则四边形 EFGH 是()A平行四边形，但不是矩形B矩形C菱形D正方形答案B 解析 ABBCAC，BAADBD，且(ABBC)(BAAD)0，AC BD0，即ACBD.又E、F、G、H 为四边形 ABCD 四边的中点，EHBDFG，EFACHG，故四边形 EFGH 为平行四边形且 EHEF，即为矩形8已知坐标原点为 O，抛物线 y22x 与过焦点的直线交于A、B两点，则 OA O

5、B等于_答案34解析设 A(y212，y1)，B(y222，y2)，则OA(y212，y1)，OB(y222，y2)，又由 y1y2p21.OA OB(y212，y1)(y222，y2)14y21y22y1y2141349已知向量 m(0，1)，n(cosA,2cos2C2)，其中 A、B、C 是ABC的内角，且 A、B、C 依次成等差数列，求|mn|的取值范围答案22，52)解析2BAC，B3，AC23，0A23.mn(cosA,2cos2C21)(cosA，cosC)，|mn|cos2Acos2C1cos2A21cos2C2112cos2Acos432A 112cos 2A332A353，

6、1cos(2A3)12，|mn|22，52)10(2012 烟台调研)已知向量 m(ac，b)，n(ac，ba)，且 m n0，其中 A，B，C 是ABC 的内角，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边(1)求角 C 的大小；(2)求 sin Asin B 的取值范围解(1)由 m n0，得(ac)(ac)b(ba)0?a2b2c2ab.由余弦定理，得cosCa2b2c22abab2ab12，0C，C3.(2)C3，AB23.sinAsinBsinAsin(23A)sinAsin23cosAcos23sinA32sinA32cosA3(32sinA12cosA)3sin(A6)0A23，6A

7、656.12sin(A6)1.32 3sin(A6)3，即32sin Asin B3.11 平面上的两个向量 OA，OB满足|OA|a，|OB|b，且OAOB，a2b24.向量OPxOAyOB(x，yR)，且 a2(x12)2b2(y12)21.(1)如果点 M 为线段 AB的中点，求证：MP(x12)OA(y12)OB；(2)求|OP|的最大值，并求此时四边形OAPB 面积的最大值分析对第(1)问，可先求 OM，再由条件即可得到结论；对第(2)问，先设点 M 为线段 AB 的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定 P，O，A，B 四点共圆，结论即可得到解析(1)因为点 M 为线段 AB

8、 的中点，所以 OM12OA12OB.所以MPOPOM(xOAyOB)(12OA12OB)(x12)OA(y12)OB.(2)设点 M 为线段 AB 的中点，则由OAOB，知|MA|MB|MO|12|AB|1.又由(1)及 a2(x12)2b2(y12)21，得|MP|2|OPOM|2(x12)2OA2(y12)2OB2(x12)2a2(y12)2b21.所以|MP|MO|MA|MB|1.故 P，O，A，B 四点都在以 M 为圆心，1 为半径的圆上，所以当且仅当 OP 为圆 M 的直径时，|OP|max2.这时四边形 OAPB 为矩形，则 S四边形 OAPB|OA|OB|aba2b222，当且仅当ab2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.