2021届高考物理一轮复习：第九章《磁场》第2讲：磁场对运动电荷的作用.pdf

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1、第 1 页 共 42 页2021 届高考物理一轮复习：第九章磁场第 2 讲磁场对运动电荷的作用一、洛伦兹力的大小和方向1.定义：磁场对运动电荷的作用力.2.大小(1)vB 时，F0；(2)vB 时，FqvB；(3)v 与 B 的夹角为 时，F qvBsin .3.方向(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向；(2)方向特点：FB，F v.即 F 垂直于 B、v 决定的平面.(注意 B 和 v 可以有任意夹角)4.做功：洛伦兹力不做功.自测第 2 页 共 42 页1带电荷量为q 的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是()A.只要速度大小相同，所受洛伦兹力

2、就相同B.如果把 q 改为 q，且速度反向、大小不变，则其所受洛伦兹力的大小、方向均不变C.洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直D.粒子在只受洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变答案B 二、带电粒子在匀强磁场中的运动1.若 vB，带电粒子以入射速度v 做匀速直线运动.2.若 vB 时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v 做匀速圆周运动.3.基本公式(1)向心力公式：qvBmv2r；(2)轨道半径公式：rmvBq；(3)周期公式：T2 mqB.注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关.第 3 页 共 42 页自测2(多选)如图 1 所示，在匀强磁场中

3、，磁感应强度 B12B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区域运动到B2磁场区域时，粒子的()第 4 页 共 42 页图 1 A.速率将加倍B.轨迹半径加倍C.周期将加倍D.做圆周运动的角速度将加倍答案BC 命题点一对洛伦兹力的理解1.洛伦兹力的特点(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷.(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化.(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用.(4)洛伦兹力一定不做功.第 5 页 共 42 页2.洛伦兹力与安培力的联系及区别(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力.(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不

4、做功.3.洛伦兹力与电场力的比较洛伦兹力电场力产生条件v 0 且 v 不与 B 平行电荷处在电场中大小FqvB(v B)FqE力方向与场方向的关系FB，FvFE做功情况任何情况下都不做功可能做功，也可能不做功例1(多选)如图 2 所示为一个质量为m、电荷量为 q 的圆环，可在水平放置的粗糙细杆上自由滑动，细杆处在磁感应强度为B 的匀强磁第 6 页 共 42 页场中，圆环以初速度v0向右运动直至处于平衡状态，则圆环克服摩擦力做的功可能为()图 2 A.0 B.12mv02C.m3g22q2B2D.12m(v02m2g2q2B2)答案ABD 解析若圆环所受洛伦兹力等于重力，圆环对粗糙细杆压力为零，

5、摩擦力为零，圆环克服摩擦力做的功为零，选项A 正确；若圆环所受洛伦兹力不等于重力，圆环对粗糙细杆压力不为零，摩擦力不为零，圆环以初速度v0向右做减速运动.若开始圆环所受洛伦兹力小于重力，则一直减速到零，圆环克服摩擦力做的功为12mv02，选项B 正确；若开始圆环所受洛伦兹力大于重力，则减速到洛伦兹力等于重力达到稳定，稳定速度vmgqB，由动能定理可得圆环克服摩擦力做的功为W12mv0212mv212m(v02m2g2q2B2)，选项 C 错误，D 正确.第 7 页 共 42 页变式1(2018 河南郑州模拟)在赤道处，将一小球向东水平抛出，落地点为a；给小球带上电荷后，仍从同一位置以原来的速度

6、水平抛出，考虑地磁场的影响，不计空气阻力，下列说法正确的是()A.无论小球带何种电荷，小球仍会落在a 点B.无论小球带何种电荷，小球下落时间都会延长C.若小球带负电荷，小球会落在更远的b 点D.若小球带正电荷，小球会落在更远的b 点答案D 第 8 页 共 42 页变式2带电粒子以初速度v0从 a 点垂直 y轴进入匀强磁场，如图3 所示，运动中粒子经过b 点，OaOb.若撤去磁场加一个与y 轴平行的匀强电场，仍以v0从 a 点垂直 y 轴进入电场，粒子仍能过b 点，那么电场强度E 与磁感应强度B 之比为()第 9 页 共 42 页图 3 A.v0B.1 C.2v0D.v02答案C 解析带电粒子在

7、匀强磁场中做匀速圆周运动，O 为圆心，故OaObmv0qB，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，故Ob v0t，OaqE2mt2，联立以上各式解得EB2v0，故选项C 正确.命题点二带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动基本思路图例说明第 10 页 共 42 页圆心的确定与速度方向垂直的直线过圆心弦的垂直平分线过圆心轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心P、M 点速度垂线交点P 点速度垂线与弦的垂直平分线交点某点的速度垂线与切点法线的交点半径的确定利用平面几何知识求半径常用解三角形法：例：(左图)RLsin 或由 R2L2(Rd)2求得 RL2d22d运动时间的确定利用轨迹对应圆心角或轨迹长度L 求时间t2

8、T tLv(1)速度的偏转角等于?AB所对的圆心角(2)偏转角 与弦切角的关系：180 时，360 2模型 1直线边界磁场直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图 4 所示)第 11 页 共 42 页图 4 图 a 中 tT2 mBq图 b 中 t(1)T(1)2 mBq2m Bq图 c 中 tT2mBq例第 12 页 共 42 页2(2016 全国卷 18)平面 OM 和平面 ON 之间的夹角为30，其横截面(纸面)如图 5 所示，平面 OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外.一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q0).粒子沿纸面以大小为v的速度从OM 的某点向左上方射

9、入磁场，速度与OM 成 30 角.已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM 上另一点射出磁场.不计重力.粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O 的距离为()图 5 A.mv2qBB.3mvqBC.2mvqBD.4mvqB答案D 解析带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为rmvqB.轨迹与 ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，知AO D 为等边三角形，ODA60，而MON30，则OCD 90，第 13 页 共 42 页故 COD 为一直线，OD CDsin 302 CD 4r4mvqB，故 D 正确.变式第 14 页 共 42 页3如图 6 所示，在足够大的屏MN 的上方

10、有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P 为屏上一小孔，PC 与 MN 垂直，一束质量为m、电荷量为 q 的粒子(不计重力)以相同的速率v 从 P 处射入磁场区域，粒子入射方向在与磁场垂直的平面里，且分散在与PC 夹角为 的范围内，则在屏MN 上被粒子打中区域的长度为()图 6 A.2mvqBB.2mvcos qBC.2mv 1sin qBD.2mv 1cos qB答案D 解析如图所示，S、T之间的距离为在屏MN 上被粒子打中区域的长度.由 qvBmv2R得 RmvqB，则 PS 2Rcos 2mvcos qB第 15 页 共 42 页PT 2R2mvqB，所以ST 2mv 1

11、cos qB.模型 2平行边界磁场平行边界存在临界条件(如图 7 所示)图 7 图 a 中 t1mBq，t2T2 mBq图 b 中 tmBq图 c 中 t(1)T(1)2 mBq2m Bq图 d 中 tT2mBq第 16 页 共 42 页例3如图 8 所示，在屏蔽装置底部中心位置O点放一医用放射源，可通过细缝沿扇形区域向外辐射速率为v3.2 106m/s 的 粒子.已知屏蔽装置宽AB 9 cm，缝长 AD18 cm，粒子的质量m6.641027 kg，电荷量 q3.21019 C.若在屏蔽装置右侧条形区域内加一匀强磁场来隔离辐射，磁感应强度B0.332 T，方向垂直于纸面向里，整个装置放于真空

12、环境中.(结果可带根号)第 17 页 共 42 页图 8(1)若所有的粒子均不能从条形磁场隔离区的右侧穿出，则磁场的宽度d 至少是多少？(2)若条形磁场的宽度d 20 cm，则射出屏蔽装置的 粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间各是多少？答案(1)(20102)102 m(2)16106 s48106 s 解析(1)由题意：AB9 cm，AD18 cm，可得BAO ODC45所有 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，设为R，根据牛顿第二定律有Bqvmv2R解得 R0.2 m20 cm.由题意及几何关系可知：若条形磁场区域的右边界与沿OD 方向进入磁场的粒子的圆周轨迹相切，则所有粒子均不能从条

13、形磁场隔离区右侧穿出，此时磁场的宽度最小，如图甲所示.第 18 页 共 42 页设此时磁场宽度dd0，由几何关系得d0RRcos 45(20102)cm.则磁场的宽度至少为(20102)102 m.(2)设 粒子在磁场内做匀速圆周运动的周期为T，则T2 mBq8 106 s.设速度方向垂直于AD 进入磁场区域的 粒子的入射点为E，如图乙所示.因磁场宽度d20 cm0)的带电粒子(重力不计)从 AB 边的中心O 以速度 v 进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB 边的夹角为60，若要使粒子能从AC 边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B 需满足()第 25 页 共 42 页图 1

14、2 A.B3mv3aqB.B3mvaqD.Br0，解得 B3mv3aq，选项 B 正确.命题点三带电粒子在磁场运动的多解问题第 26 页 共 42 页类型分析图例带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如图，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b磁场方向不确定在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解如图，带正电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，若 B 垂直纸面向里，其轨迹为a，若 B 垂直纸面向外，其轨迹为b临

15、界状态不唯一带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180 从入射界面这边反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解第 27 页 共 42 页例6(2017 湖北华中师大一附中模拟)如图13甲所示，M、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示.有一群正离子在t0 时垂直于M 板从小孔O 射入磁场.已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周

16、期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力.求：第 28 页 共 42 页图 13(1)磁感应强度B0的大小.(2)要使正离子从O垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值.答案(1)2 mqT0(2)d2nT0(n 1,2,3，)解析设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向.(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0mv02R做匀速圆周运动的周期T02 Rv0由以上两式得磁感应强度B02 mqT0(2)要使正离子从O 孔垂直于 N 板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动第 29 页 共 42 页一个周期即T0时，有

17、 Rd4；当两板之间正离子运动n 个周期，即 nT0时，有 Rd4n(n1,2,3，).联立求解，得正离子的速度的可能值为v0B0qRm d2nT0(n1,2,3，)变式5(多选)如图 14 所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是 cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从 O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成 30 角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是()第 30 页 共 42 页图 14 A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t0

18、，则它一定从cd 边射出磁场B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t0，则它一定从ad 边射出磁场C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t0，则它一定从bc 边射出磁场D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab 边射出磁场答案AC 解析如图所示，作出刚好从ab 边射出的轨迹、刚好从 bc 边射出的轨迹、从 cd 边射出的轨迹 和刚好从ad 边射出的轨迹.由从 O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.可知，从 ad 边射出磁场经历的时间一定小于第 31 页 共 42 页13t0；从 ab

19、边射出磁场经历的时间一定大于等于13t0，小于56t0；从 bc 边射出磁场经历的时间一定大于等于56t0，小于43t0；从 cd 边射出磁场经历的时间一定是53t0，综上可知，A、C 正确，B、D 错误.1.下列说法正确的是()A.运动电荷在磁感应强度不为0 的地方，一定受到洛伦兹力的作用B.运动电荷在某处不受洛伦兹力的作用，则该处的磁感应强度一定为0 C.洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度D.洛伦兹力对带电粒子总不做功答案D 2.如图 1为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹.云室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直.第 32 页 共 42 页由此可知粒子()图 1 A.

20、一定带正电B.一定带负电C.不带电D.可能带正电，也可能带负电答案A 3.如图 2 所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，两个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b，以不同的速率沿着AO 方向对准圆心O 射入磁场，其运动轨迹如图.若带电粒子只受洛伦兹力的作用，则下列说法正确的是()图 2 A.a 粒子速率较大第 33 页 共 42 页B.b 粒子速率较大C.b 粒子在磁场中运动时间较长D.a、b 粒子在磁场中运动时间一样长答案B 4.如图 3 所示，长直导线ab 附近有一带正电荷的小球用绝缘丝线悬挂在M 点.当 ab 中通以由ba 的恒定电流时，下列说法正确的是()图 3 A.小球受磁场力作用，方

21、向与导线垂直且垂直纸面向里B.小球受磁场力作用，方向与导线垂直且垂直纸面向外C.小球受磁场力作用，方向与导线垂直并指向左方D.小球不受磁场力作用答案D 5.如图 4 所示，一正电荷水平向右射入蹄形磁铁的两磁极间.此时，该电荷所受洛伦兹力的方向是()第 34 页 共 42 页图 4 A.向左B.向右C.垂直纸面向里D.垂直纸面向外答案D 6.(多选)(2018 安徽芜湖调研)如图 5 所示，虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为B；一群电子以不同速率v 从边界上的P 点以相同的方向射入磁场.其中某一速率为v0的电子从 Q 点射出.已知电子入射方向与边界夹角为，则由以上条件可判断()图 5 A.该匀强

22、磁场的方向垂直纸面向里B.所有电子在磁场中的轨迹相同C.速率大于 v0的电子在磁场中运动时间长D.所有电子的速度方向都改变了2第 35 页 共 42 页答案AD 解析由左手定则可知，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A 选项正确；由qvBmv2R得 RmvqB，可知所有电子在磁场中的轨迹不相同，B 选项错误；由T2 Rv得 T2 mqB，所以所有电子在磁场中的运动时间都相同，C 选项错误；所有电子偏转角度相同，所有电子的速度方向都改变了2，D 选项正确.综上本题选A、D.7.如图 6 所示为一圆形区域的匀强磁场，在O 点处有一放射源，沿半径方向射出速率为v 的不同带电粒子，其中带电粒子1 从 A

23、点飞出磁场，带电粒子2 从 B 点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则()图 6 A.带电粒子1 的比荷与带电粒子2 的比荷的比为31 B.带电粒子 1 的比荷与带电粒子2 的比荷的比为3 1 C.带电粒子 1 与带电粒子2 在磁场中运动时间的比为21 D.带电粒子1 与带电粒子2 在磁场中运动时间的比为12 答案A 解析设匀强磁场圆形区域的半径为R，由 qBvmv2R，得 RmvqB，可知带电粒子1 从 A 点飞出磁场，带电粒子2 从 B 点飞出磁场，半径分别为R1Rtan 30，R2Rtan 60，所以 R1 R213，则带电粒子1 的比荷与带电粒子2 的比荷的比为31；由 T2 mqB知，

24、带电粒子1 和 2 的周期之比为13，所以带电粒子1与带电粒子2 在磁场中运动时间的比为t1t223.综上本题选A.第 36 页 共 42 页8.(多选)(2018 广东广州模拟)如图 7 所示，真空中xOy 平面内有一束宽度为d 的带正电粒子束沿 x轴正方向运动，所有粒子为同种粒子，速度大小相等，在第一象限内有一方向垂直xOy平面的有界匀强磁场区(图中未画出)，所有带电粒子通过磁场偏转后都会聚于x 轴上的 a 点.下列说法中正确的是()图 7 A.磁场方向一定是垂直xOy 平面向里B.所有粒子通过磁场区的时间相同C.所有粒子在磁场区运动的半径相等D.磁场区边界可能是圆，也可能是其他曲线答案C

25、D 解析由题意可知，正粒子经磁场偏转后，都集中于一点a，根据左手定则可知，磁场的方向垂直平面向外，故A 错误；由洛伦兹力提供向心力，可得T2 mqB，而运动的时间还与圆心角有关，因此粒子的运动时间不等，故B 错误；由洛伦兹力提供向心力，可得RmvqB，由于为同种粒子，且速度大小相等，所以它们的运动半径相等，故C 正确；所有带电粒子通过磁场偏转后都会聚于x 轴上的 a 点，因此磁场区边界可能是圆，也可能是圆弧，故D 正确；故选 C、D.第 37 页 共 42 页9.(多选)(2018 甘肃平凉质检)如图 8 所示，ABCA 为一半圆形的有界匀强磁场.O 为圆心，F、G 分别为半径OA 和 OC

26、的中点，D、E 点位于边界圆弧上，且DF EGBO.现有三个相同的带电粒子(不计重力)以相同的速度分别从B、D、E 三点沿平行BO 方向射入磁场，其中由B 点射入磁场的粒子1 恰好从 C 点射出.由 D、E 两点射入的粒子2 和粒子 3 从磁场某处射出，则下列说法正确的是()图 8 A.粒子 2 从 O 点射出磁场B.粒子 3 从 C 点射出磁场C.粒子 1、2、3 在磁场的运动时间之比为3 23 D.粒子 2、3 经磁场偏转角相同答案ABD 解析从 B 点射入磁场的粒子1 恰好从 C 点射出，可知带电粒子运动的轨迹半径等于磁场的第 38 页 共 42 页半径，由D 点射入的粒子2 的圆心为E

27、 点，由几何关系可知该粒子从O 点射出，同理可知粒子 3从 C 点射出，A、B 正确；1、2、3 三个粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为90、60、60，运动时间之比为32 2，C 错误，D 正确.10.如图 9 所示，边界OA 与 OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一个粒子源 S.某一时刻，从 S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场.已知 AOC60，从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T6(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子

28、在磁场中运动的最长时间为()图 9 A.T3B.T2C.2T3D.5T6答案B 第 39 页 共 42 页解析由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动.由粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，弦长也越短，所以从 S点作 OC的垂线 SD，则 SD 为最短弦，可知粒子从D 点射出时运行时间最短，如图所示，根据最短时间为T6，可知 OSD 为等边三角形，粒子圆周运动半径RSD，过 S点作 OA 的垂线交OC于 E 点，由几何关系可知SE2SD，SE为圆弧轨迹的直径，所以从E 点射出，对应弦最长，运行时间最长，且tT2，故 B 项正确.11.如图 10

29、 所示，半径为R 的圆形区域位于正方形ABCD 的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反.一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以速率 v0沿纸面从M 点平行于AB 边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过90 从 N 点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计，求：图 10 第 40 页 共 42 页(1)磁场的磁感应强度B 的大小；(2)正方形区域的边长；(3)粒子再次回到M 点所用的时间.答案(1)mv0qR(2)4R(3)4 Rv0解析(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设粒子在圆形磁场中的轨迹半径为 r1，qv0Bmv02r1.由

30、几何关系r1R.解得 Bmv0qR.(2)设粒子在正方形磁场中的轨迹半径为r2，粒子恰好不从AB 边射出，qv0Bmv02r2，r2mv0BqR.正方形的边长L2r1 2r24R.(3)粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动的周期T12 Rv0，在圆形磁场中运动时间t112T1 Rv0.粒子在正方形区域做匀速圆周运动的周期T22 Rv0，t232T23 Rv0.第 41 页 共 42 页再次回到M 点的时间为t t1t24 Rv0.12.如图 11 所示，在坐标系xOy 中，第一象限内充满着两个匀强磁场a和 b，OP 为分界线，在磁场 a 中，磁感应强度为2B，方向垂直于纸面向里，在磁场b 中，磁感应

31、强度为B，方向垂直于纸面向外，P 点坐标为(4l,3l).一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从P 点沿 y 轴负方向射入磁场b，经过一段时间后，粒子恰能经过原点O，不计粒子重力.求：图 11(1)粒子从 P 点运动到O 点的最短时间是多少？(2)粒子运动的速度大小可能是多少？答案(1)53 m60qB(2)25qBl12nm(n1,2,3，)解析(1)设粒子的入射速度为v，用 Ra、Rb、Ta、Tb分别表示粒子在磁场a 中和磁场b 中运动的轨道半径和周期，则有Ramv2qB，RbmvqB，Ta2 m2qB mqB，Tb2 mqB当粒子先在磁场b 中运动，后进入磁场a 中运动，然后从O 点射出时，粒子从P 点运动到O点所用的时间最短，如图所示.根据几何知识得tan 3l4l34，故 37第 42 页 共 42 页粒子在磁场b 和磁场 a 中运动的时间分别为tb2 90 360Tb，ta2 90 360Ta故从 P 点运动到 O 点的时间为ttatb53 m60qB(2)由题意及上图可知n(2Racos 2Rbcos )3l2 4l2解得 v25qBl12nm(n1,2,3，).