向量法证明平行与垂直课件.pptx

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1、1考点突破基础诊断第第7节立体几何中的向量方法节立体几何中的向量方法(一一)证明平行与垂直证明平行与垂直2考点突破基础诊断最新考纲1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.3考点突破基础诊断1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量.知知 识识 梳梳 理理平行或重合4考点突破基础诊断2.空间位置关系的向量表示位置关系向量

2、表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2_直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnm_lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnm_n1n20nm0nm05考点突破基础诊断常用结论与微点提醒1.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.6考点突破基础诊断1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)若直线a的方向向量和平面的法向量

3、平行，则a.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若直线a的方向向量与平面的法向量垂直，则a.()解析(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a；(3)两平面平行或重合；(4)a或a.答案(1)(2)(3)(4)诊诊 断断 自自 测测7考点突破基础诊断2.(选修21P104练习2改编)已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则()A.B.C.，相交但不垂直 D.以上均不对解析n1n2，且n1n22(3)315(4)230，相交但不垂直.答案C8考点突破基础诊断3.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()A.

4、l B.lC.l D.l与斜交解析a(1，0，2)，n(2，0，4)，n2a，即an.l.答案B9考点突破基础诊断答案C10考点突破基础诊断5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.答案垂直11考点突破基础诊断12考点突破基础诊断证明法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.13考点突破基础诊断14考点突破基础诊断法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标

5、为(x0，y0，0).15考点突破基础诊断规律方法1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.2.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.16考点突破基础诊断【训练1】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG平面B1CD1.17考点突破基础诊断证明建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)

6、，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).18考点突破基础诊断设n1(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，n2(x2，y2，z2)为平面B1CD1的一个法向量.令x11，可得y11，z11，同理可得x21，y21，z21.则n1(1，1，1)，n2(1，1，1).由n1n2，得平面EFG平面B1CD1.19考点突破基础诊断考点二利用空间向量证明垂直问题考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PA

7、BD；(2)平面PAD平面PAB.20考点突破基础诊断证明(1)取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，BC为交线，PO平面PBC，PBC为等边三角形，即POBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.21考点突破基础诊断22考点突破基础诊断又PAPBP，PA，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.23考点突破基础诊断规律方法1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键

8、.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.24考点突破基础诊断25考点突破基础诊断证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.26考点突破基础诊断所以A1CBD，A1CBB1.又BDBB1B，BD，BB1平面BB1D1D，所以A1C平面BB1D1D.27考点突破基础诊断28考点突破基础诊断(1)证明因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以

9、AB平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD且ABPAA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.(2)解取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.29考点突破基础诊断如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).30考点突破基础诊断31考点突破基础诊断命题角度命题角度2与垂直有关的探索性问题与垂直有关的探索性问题【例32】如图，正方形ADEF所在平面和等腰

10、梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC4，ABAD2.(1)求证：ACBF；32考点突破基础诊断(1)证明 平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AFAD，AF平面ADEF，AF平面ABCD.又AC平面ABCD，AFAC.ABAFA，AB，AF平面FAB，AC平面FAB，BF平面FAB，ACBF.33考点突破基础诊断34考点突破基础诊断假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，35考点突破基础诊断36考点突破基础诊断37考点突破基础诊断【训练3】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；38考点突破基础诊断证明(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，AA1平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AB，AA1AC.39考点突破基础诊断由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz.则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4).40本节内容结束