20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题8.2 基本不等式（解析版）.docx

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1、8.2全然不等式【套路秘籍】-始于足下始于足下一.全然不等式：(1)全然不等式成破的条件：a0，b0.(2)等号成破的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的多少多何平均数.二多少多个要紧的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)以上不等式等号成破的条件均为ab.三算术平均数与多少多何平均数设a0，b0，那么a，b的算术平均数为，多少多何平均数为，全然不等式可表达为两个正数的算术平均数不小于它们的多少多何平均数四使用全然不等式求最值征询题已经清楚x0，y0，那么(1)假设积xy是定值p，那

2、么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定跟最小)(2)假设跟xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大年夜值.(简记：跟定积最大年夜)【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一开门见山法【例1】1假设x0，那么x的最小值是()A2B4C.D22.设x0，y0，且xy18，那么xy的最大年夜值为()A.80B.77C.81D.82【答案】1D2C【分析】1由全然不等式可得x22，当且仅当x即x时取等号，故最小值是2.应选D.2xy81，当且仅当xy9时取等号.答案C【套路总结】使用全然不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相当，即一正：各项必须为正；二定：各项之跟或各项之积

3、为定值；三相当：必须验证取等号时条件是否存在【举一反三】1.已经清楚0x4，那么x(4x)取得最大年夜值时x的值为()A0B2C4D.6【答案】C【分析】因为0x4，因此4x0，因此x(4x)4，当且仅当x4x，即x2时取等号应选C2.假设x0，y0，且xy18，那么的最大年夜值为()A.9B.18C.36D.81【答案】A【分析】因为xy18，因此9，当且仅当xy9时，等号成破.3.假设x0，那么x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大年夜值，且最大年夜值为2C.有最小值，且最小值为2D.有最大年夜值，且最大年夜值为2【答案】D【分析】因为x0，x22，当且仅当x1时，等号成破，因此x2.

4、考向二配凑法【例2-1】1设0x，那么函数y4x(32x)的最大年夜值为_.(2)已经清楚x，那么f(x)4x2的最大年夜值为_.【答案】(1)(2)1【分析】(1)y4x(32x)22x(32x)2，当且仅当2x32x，即x时，等号成破.，函数y4x(32x)的最大年夜值为.(2)因为x0，那么f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成破.故f(x)4x2的最大年夜值为1.【例2-2】函数y(x1)的最小值为_【答案】22【分析】x1，x10，y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成破【套路总结】此类征询题一般不克不迭开门见山使用全然不等式，要从全部上控制进而使用全

5、然不等式，对不称心使用全然不等式条件的可通过“变形来转换，稀有的变形技艺有：拆项、凑项、凑系数等【举一反三】1.已经清楚0x2)在xa处取最小值，那么a等于()A.1B.1C.3D.4【答案】C【分析】当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3.3.函数y的最大年夜值为_【答案】【分析】y，当x10时，y0，当x10时，y，当且仅当等号成破，即x5时，ymax.考向三常数交流法【例3】1已经清楚x0，y0，且1，那么xy的最小值为_(2)已经清楚正数x，y称心xy1，那么的最小值为_【答案】1322【分析】1由x0，y0，

6、得(xy)332，当且仅当yx时等号成破，又1，那么xy32，因此xy的最小值为32.2正数x，y称心(x2)(y1)4，(x2)(y1)，当且仅当x2y时，min.【套路总结】在求解含有两个变量的代数式的最值征询题时，素日采用“变量交流或“常数1的交流，或构造不等式求解【举一反三】1.假设a，b，c全然上正数，且abc2，那么的最小值是_【答案】3【分析】a，b，c全然上正数，且abc2，abc13，且a10，bc0.(a1bc)(54)3.当且仅当a12(bc)，即a1，bc1时，等号成破2.函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，假设点A在直线mxny10上，且m，n为正数，那么的最

7、小值为_.【答案】4【分析】曲线ya1x恒过定点A，x1时，y1，A(1，1).将A点代入直线方程mxny10(m0，n0)，可得mn1，(mn)2224，当且仅当且mn1(m0，n0)，即mn时，取得等号.3已经清楚，那么的最小值为ABCD【答案】A【分析】由题意知，可得：，那么，当且仅事前，等号成破，那么的最小值为。应选：A考向四全然不等式积(ab)与跟(ab)的转化【例4】正数a，b称心abab3，那么ab的取值范围是_.【答案】9，)【分析】a，b是正数，abab323，解得3，即ab9.拓展：本例已经清楚条件波动，求ab的最小值.【答案】看法析【分析】a0，b0，ab，即ab3，拾掇

8、得(ab)24(ab)120，解得ab6或ab2(舍).故ab的最小值为6.【举一反三】1.假设a0，b0且2ab4，那么的最小值为()A.2B.C.4D.【答案】B【分析】(1)因为a0，b0，故2ab2(当且仅当2ab时取等号).又因为2ab4，2400，u3333，【举一反三】1假设正数，称心，那么的最小值为ABCD【答案】A【分析】由得：，即：，当且仅当，即时取等号此题精确选项：2假设正数称心，那么的最大年夜值为ABCD【答案】B【分析】正数称心，解得，当且仅事前，等号成破，的最大年夜值为应选：B考向六理论使用【例6】某工厂某种产品的年结实本钞票为250万元，每花费x千件，需另投入本钞

9、票为C(x)，当年产量缺少80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂花费的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数分析式；(2)当年产量为多少多千件时，该厂在这一商品的花费中所赚钱润最大年夜？【答案】看法析【分析】(1)因为每件商品售价为0.05万元，那么x千件商品销售额为0.051000x万元，依题意妥善0x80时，L(x)1000x0.05250x240x250；当x80时，L(x)1000x0.052501200.L(x)(2)当0x80时，L(x)(x60)2

10、950.对称轴为x60，即当x60时，L(x)max950万元；当x80时，L(x)1200120021000(万元)，当且仅当x100时，L(x)max1000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年赚钱润最大年夜【举一反三】1.运货卡车以每小时xkm的速度匀速行驶130km，按交通法那么限制50x100(单位：km/h)假设汽油的价钞票是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求此次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，此次行车的总费用最低，并求出最低费用的值【答案】看法析【分析】(1)设所用时辰为t，那么t(h)，y214，x50,100因此此次行车总费用

11、y关于x的表达式是yx，x50,100(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成破故当x18km/h，此次行车的总费用最低，最低费用的值为26元考向七不等式与其他知识综合【例7】1已经清楚m，n为正实数，向量a(m,1)，b(1n,1)，假设ab，那么的最小值为_2已经清楚x，y称心约束条件且目标函数zaxby(a，b0)的最大年夜值为4，那么的最小值为_【答案】132232【分析】1ab，m(1n)0，即mn1，又m，n为正实数，(mn)32332，当且仅当即时，取等号.2画地域如图，易知目标函数在点A处取得最大年夜值，由解得因此2a2b4，即ab2，因此2133232，当且仅当，即时，取

12、等号故的最小值为32.【举一反三】1已经清楚函数f(x)ex在点(0，f(0)处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，那么2a2b的最小值是_【答案】【分析】由题意得f(x)ex，f(0)e01，kf(0)e01.因此切线方程为y1x0，即xy10，ab10，ab1，2a2b222.2已经清楚假设恒成破，那么实数的取值范围是A(BC(-2,4)D(-4,2)【答案】D【分析】由，可得，而恒成破，因此恒成破，即恒成破，解得，应选D3已经清楚双曲线跟椭圆有一样的中心，那么的最小值为A2B4C6D9【答案】D【分析】椭圆的中心坐标为：，当且仅当，即时取等号此题精确选项：【使用套路】-纸上得来终觉浅,

13、绝知此事要躬行1已经清楚正数a，b称心ab1，那么的最小值为_【答案】9【分析】由题意知，正数a，b称心ab1，那么(ab)41529，当且仅当，即a，b时等号成破，因此的最小值为9.2.假设实数x，y称心xy3x3，那么的最小值为_【答案】8【分析】由已经清楚得，x，又0x3，y3y36268，当且仅当y4时，min8.3圆上存在两点关于直线对称，那么的最小值为。【答案】9【分析】由圆的对称性可得，直线必过圆心，因此.因此，当且仅当，即时取等号，应选B4已经清楚，且，假设不等式恒成破，那么实数的范围是。【答案】【分析】由得：，即，当且仅当，即时取等号当且仅事前取等号此题精确选项：5已经清楚向

14、量的最小值为。【答案】【分析】因为，因此，当且仅事前，取到最小值.6假设实数x，y称心，那么x+y的最大年夜值是。【答案】【分析】实数x，y称心，即再由，可得，变形得解得，故的最大年夜值为7设，假设3是与的等比中项，那么的最小值为.【答案】【分析】【分析】3是与的等比中项，=，8已经清楚，那么的最小值是。【答案】4【分析】lg2x+lg8ylg2，lg2x8ylg2，2x+3y2，x+3y1x0，y0，24，当且仅当x3y时取等号9设变量，称心约束条件，假设目标函数的最小值为1，那么的最小值为。【答案】4【分析】变量，称心约束条件的可行域如图，当直线过直线跟的交点时，有最小值为1，因此，.当且

15、仅事前取等.应选：D.10正实数、称心，那么的最大年夜值是。【答案】4【分析】，当且仅当，取等号，因此的最大年夜值为4.11假设正数称心，那么的最小值为。【答案】【分析】由题意，设，解得其中，因为，因此，拾掇得，又由，当且仅当，即等号成破，因此的最小值为.12已经清楚,那么取最大年夜值时的值是。【答案】【分析】因为，因此，因此，当且仅事前，即，等号成破.13已经清楚正实数，称心，那么的最小值为_.【答案】【分析】由，可得，可得，故的最小值为14已经清楚，那么的最小值为_【答案】2【分析】由题可得：当且仅事前取等号，拾掇得：，即：，又：，因此：当且仅事前取等号，那么：的最小值是2故答案为：215

16、设实数x,y称心条件4x-y-100x-2y+80x0,y0，假设目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大年夜值为12，那么2a+3b的最小值为_【答案】256【分析】由可行域可得，当x=4，y=6时，目标函数z=ax+by取得最大年夜值，4a+6b=12，即a3+b2=1，2a+3b=2a+3ba3+b2=136+ba+ab136+2=256.故答案为：25616函数的最大年夜值为_,现在的值为_.【答案】-32【分析】因为，又，因此，当且仅事前取等号；现在.即最大年夜值为，现在.17假设，那么的最大年夜值为_.【答案】【分析】【分析】由，可得，当且仅当取等号，的最大年夜值为，答案：.18

17、已经清楚，那么的最小值为_【答案】【分析】因为，因此，因此，因此最小值为19假设，且，那么最小值是_【答案】13【分析】由题得，故又，当且仅当x=8,y=5,等号成破故答案为1320已经清楚正数，称心，那么的最小值是_【答案】【分析】正数，称心，那么，当且仅当且即，时取得最小值故答案为：21已经清楚正项等比数列称心，假设存在两项，使得，那么的最小值为_【答案】2【分析】正项等比数列称心，拾掇，得，又，解得，存在两项，使得，拾掇，得，那么的最小值为2当且仅当取等号，又，因此只需当，时，取得最小值是2故答案为：222设,称心约束条件,假设目标函数的最大年夜值为,那么的最小值为_【答案】【分析】不等式表示的破体地域如以下列图阴影部分,当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大年夜,即,即,而故答案为：23设，那么的最小值为_.【答案】.【分析】由，得，得，等号当且仅当，即时成破。故所求的最小值为。24已经清楚，当_.时，取得最小值.【答案】【分析】，当且仅事前“=成破，又，可得，故答案为.25已经清楚，且称心，那么的最小值为_【答案】16【分析】，,故答案为16.