泛函分析习题1.doc

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1、习题11.(张燕石淼)设在全部实数R上，界说两个二元映射(x,y)(xy)跟(2)2d(x,y)2.(范彦勤孙娴静)设(X,)为器量空间，为严厉枯燥函数，且满意x,y0,+,f(0)=0,f(xy)f(x)f(y)，令d(x,y)f(x,y)，证实(X,d)xy，证实(1)(R,)(2)(R,d)不是器量空间；是器量空间f:0,+0,+为器量空间3.(武亚静张丹)设(X,d)为器量空间，证实x,y,z,wX有d(x,z)d(y,w)d(x,y)d(z,w)4.(崔机灵杨冰)设全部实数列构成的聚集为X(x,x,x,.x,.)|xR,i1,2,.，关于12k3ni1xkykx(x,x,x,.x,.

2、)及y(y,y,.y,.)，界说d(x,y)证实(X,d)为度123n12nk21xkyk1量空间5.设X(n)为0跟1构成的n维有序数组，比方X(3)000,001,010,011,100,101,110,111，对于恣意的x,yX(n)，界说d(x,y)为x跟y中取值差别的个数，比方在X(3)中，d(110,111)1，d(010,010)0d(010,101)3证实(X(n),d)为器量空间6.(苏艳丁亚男)设(X,d)为器量空间，AX且A证实A是开集当且仅当A为开球的并7.(张振山赵扬扬)设(X,d)跟(Y,)是两个器量空间那么映射f:XY是延续映射当且1仅当Y的恣意闭子集F的原象f(

3、F)是X中的闭集8.(王林何超)设x与y是器量空间(X,d)的两个Cauchy列证实andx,y是收敛nnnn列9.(李敬华孙良帅)设(X,d)跟(Y,)是两个器量空间，在XY上界说器量1p(x,y),(x,y)d(x,x)pd(y,y)，此中(x,y),(x,y)XY，p1为负数证实p112212121122XY是齐备空间当且仅当(X,d)跟(Y,)均是齐备空间10.(李秀峰钞票慧敏)设(X,d)是齐备的器量空间，GxG是X中的一列稀疏的开子集，n11证实G也是X中的稀疏子集nn1n11.(王胜训闫小艳)设AR，证实A是列紧集当且仅当A是有界集12(冯岩盛谢星星)设(X,d)为器量空间，AX

4、且A证实1x|xX,d(x,A)2x|xX,d(x,A)是X的开集是X的闭集，此中013.(李小伟周新慧)设Ba,b为界说在a,b上的一切有界函数，假定x(t),y(t)Ba,b，界说d(x,y)supxtyt，求证d为Ba,b的器量及Ca,b为Ba,b的闭集ta,b14.(陈明徕孙潇洋)设x,d为器量空间，AX且A使得diam(A)d(x,y)此中diam(A)supd(x,y)假定A为紧集，那么存在x0,y0A00x,yAd(x,y)15.(张秀芳张银利)设(X,d)为度(X,d)量空间，令器量空间当且仅当(X,)为齐备器量空间(x,y)，证实(X,d)为齐备1d(x,y)11+16.(常

5、铮岳晓鹏)设x,y,zZ，界说d(x,y)+，证实d为Z上的器量，(Z,d)不为xy齐备器量空间，Z+表现正整数集17.(王文生李科莹)设(X,d)为器量空间，AX且A，界说d(x,A)infd(x,y)证实yAx,yX有|d(x,A)d(y,A)|d(x,y)18.设(X,d)为齐备的器量空间，点列xn使得d(x,y)X，假如0，存在X的一个根本列y，n证实xn收敛nn19.设(X,d)为为紧的器量空间，A为X的一列非空闭子集，且nA1A2A3AnAn1证实Ann120.设(X,d)为齐备的器量空间，映射设(X,d)，(Y,)为两个器量空间，f:XY为单射，证实f是延续映射的充要前提是f把X

6、中的任一紧集映成Y中的紧集21.设X,Y均为器量空间，f:XY为延续映射，假定A是X的稀疏子集，那么f(A)是f(X)的稀疏子集22.设F,F基本上器量空间(X,d)中的紧集，那么必存在x0F,y0F，使得1212d(x,y0)d(F,F)，此中d(F,F)infd(x,y)xF,yF称为F与F的间隔01212121223.设F,F是器量空间(X,d)中的两个子集，此中F是紧集，F是闭集，假定d(F,F)0那么121212必存在x0F1F2A:X24.设(X,d)为齐备的器量空间，映射X满意：x,yX且xy有d(Ax,Ay)d(x,y)假定知A有不动点，那么此不动点是唯一的n25.设M是(R,d)中的有界闭子集，x,yM且xy，映射A:MM满意d(Ax,A)yd(,x)yA在M，证实中存在唯一的不动点26.证实有界数列空间l是齐备的器量空间(间隔的界说：(,)sup|dxyxy|)iiin27.证实在n维欧氏空间R中点列收敛等价于按坐标收敛即假如xi(x,x,x)，此中(i1,2,n,)，及x0(x,x(0),x)，那么xi(i)(i)(i)(0)(0)x0(i)12n12n12nd(x,x0)i|x(ji)x|2(0)0(i)等价于x(ji)x(0)j0(i)(j1,2,n)jj1