江西省南昌实验中学高二上期末数学试卷理科.pdf

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1、高中数学-打印版 校对打印版 2016-2017 学年江西省南昌实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号用 2B 铅笔填涂在答卷的相应表格内）1巳知集合，是虚数单位，设 Z 为整数集，则集合 ZN 中的元素个数是（）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 2曲线的极坐标方程为=2cos，则曲线的直角坐标方程为（）A（x1）2+y2=1 Bx2+（y1）2=1 C（x2）2+y2=1 Dx2+（y2）2=1 3已知 f（x）为偶函数且f（x）dx=8，则f（x）dx

2、等于（）A0 B4 C8 D16 4曲线 y=x3+2x+1 在点 P（1，4）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是（）A9 B3 C1 D3 5已知复数 z1=1+i，z2=1+bi，i 为虚数单位，若为纯虚数，则实数 b 的值是（）A1 B1 C2 D2 6 设 曲 线l极 坐 标 方 程 为cos sin+1=0，曲 线C的 参 数 方 程 为，A，B 为曲线 l 与曲线 C 的两个交点，则|AB|=（）A1 B C D 7假设行列式的计算公式：=adbc，若 f（x）=，则函数 f（x）的单调减区间为（）A B（1，1）C D（2，2）8函数y=2x33x212x+5 在区间0，3上最大值

3、与最小值分别是（）A5，15 B5，4 C4，15 D5，16 9已知为非零向量，函数，则使 f（x）的图象为关于 y 轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是（）高中数学-打印版 校对打印版 A B C D 10观察下列等式：可以推测：13+23+33+n3=_（nN*，用含 n 的代数式表示）（）A B C D 11 已知直线 l 的参数方程为：（t 为参数），圆 C 的极坐标方程为，则直线 l 与圆 C 的位置关系为（）A相切 B相交 C相离 D无法确定 12给出定义：若（其中 m 为整数），则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作x=m在此基础上给出下列关于函数 f（x）=|xx|的四个命

4、题：函数 y=f（x）的定义域为 R，值域为；函数 y=f（x）的图象关于直线（kZ）对称；函数 y=f（x）是周期函数，最小正周期为 1；函数 y=f（x）在上是增函数 其中正确的命题的序号是（）A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填空在答卷上）13写出命题“xR，ax2+4x+10”的否定形式：14设曲线 y=x4+ax+3 在 x=1 处的切线方程是 y=x+b，则 a=15若（2x+）dx=3+ln2（a1），则 a 的值是 16请阅读下列材料：若两个正实数 a1，a2满足 a12+a22=1，那么 a1+a2证明：构造函数 f（x

5、）=（xa1）2+（xa2）2=2x22（a1+a2）x+1，因为对一切实数 x，恒有 f高中数学-打印版 校对打印版（x）0，所以0，从而得 4（a1+a2）280，所以 a1+a2根据上述证明方法，若 n 个正实数满足 a12+a22+an2=1 时，你能得到的结论为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设 P（x，y）是曲线 C：（为参数，02）上任意一点，（1）将曲线化为普通方程；（2）求 的取值范围 18利用数学归纳法证明：19已知实数 x，y 满足 x2+y2=2x，则 x2y2的取值范围是 20已知，q：x22x+（1m2）0

6、，若“p”是“q”的必要而不充分条件，求实数 m 的取值范围 21设函数 f（x）=x2+bln（x+1），其中 b0（1）若 b=12，求 f（x）在1，3的最小值；（2）如果 f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数 b 的取值范围 22已知（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）求函数 f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（3）对一切的 x（0，+），2f（x）g（x）+2 恒成立，求实数 a 的取值范围 高中数学-打印版 校对打印版 2016-2017 学年江西省南昌实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共

7、 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号用 2B 铅笔填涂在答卷的相应表格内）1巳知集合，是虚数单位，设 Z 为整数集，则集合 ZN 中的元素个数是（）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个【考点】交集及其运算；复数代数形式的乘除运算【分析】先根据复数的运算求和集合 N，根据交集的定义求出 ZN，数出元素的个数即可【解答】解：=i，1，i，2 ZN=1，2，有 2 个元素 故选 B 2曲线的极坐标方程为=2cos，则曲线的直角坐标方程为（）A（x1）2+y2=1 Bx2+（y1）2=1 C（x2）2+y2=1 Dx2+（y2）2=1【考点】简单曲线的极坐

8、标方程；点的极坐标和直角坐标的互化【分析】等式两边同乘，转化成直角坐标方程，再变成为圆的标准式方程【解答】解：=2cos2=2cosx2+y2=2xx22x+1+y2=1，即（x1）2+y2=1，故选A 3已知 f（x）为偶函数且f（x）dx=8，则f（x）dx 等于（）A0 B4 C8 D16【考点】定积分【分析】根据定积分的几何意义知，定积分的值66f（x）dx 是 f（x）的图象与 x 轴所高中数学-打印版 校对打印版 围成的平面图形的面积的代数和，结合偶函数的图象的对称性即可解决问题【解答】解：原式=f（x）dx+06f（x）dx 原函数为偶函数，在 y 轴两侧的图象对称，对应的面积相

9、等，则66f（x）dx=82=16 故选 D 4曲线 y=x3+2x+1 在点 P（1，4）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是（）A9 B3 C1 D3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令x=0，即可得到所求纵坐标【解答】解：y=x3+2x+1 的导数为 y=3x2+2，可得在点 P（1，4）处的切线斜率为 3+2=5，曲线在点 P（1，4）处的切线方程为 y4=5（x1），令 x=0，可得 y=45=1 故选：C 5已知复数 z1=1+i，z2=1+bi，i 为虚数单位，若为纯虚数，则实数 b 的值是（）A1 B1 C2

10、D2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：=+i，为纯虚数，=0，0，解得 b=1 故选：B 6 设 曲 线l极 坐 标 方 程 为cos sin+1=0，曲 线C的 参 数 方 程 为高中数学-打印版 校对打印版，A，B 为曲线 l 与曲线 C 的两个交点，则|AB|=（）A1 B C D【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】先将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线 C 的参数方程化为普通方程，然后利用代数法或几何法解答【解答】方法一：代数法 直线 l：cossin+1=0 xy+1=0，曲线 C：x2+y2=2，联立

11、，得 x2+（x+1）22=0，即 2x2+2x1=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，所以=，选 D 方法二：几何法 直线 l：cossin+1=0 xy+1=0，曲线 C：x2+y2=2，圆心（0，0）到直线 xy+1=0 的距离，半径，所以，选 D 注：当然此题也可以直接求出 A，B 两点的坐标，然后利用两点之间的距离公式求解 7假设行列式的计算公式：=adbc，若 f（x）=，则函数 f（x）的单调减区间为（）A B（1，1）C D（2，2）高中数学-打印版 校对打印版【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据题意，由行列式的计算公式可得函数 f（x）的解析式，对

12、其求导可得 f（x）=3x23=3（x21），令其导数小于 0 可得 3（x21）0，解可得 x 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）=xx23x=x33x，对其求导可得：f（x）=3x23=3（x21），令 f（x）=3（x21）0，解可得1x1，即函数 f（x）的单调减区间为（1，1）；故选：B 8函数 y=2x33x212x+5 在区间0，3上最大值与最小值分别是（）A5，15 B5，4 C4，15 D5，16【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】对函数 y=2x33x212x+5 求导，利用导数研究函数在区间0，3上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间0，3

13、上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意 y=6x26x12 令 y0，解得 x2 或 x1 故函数 y=2x33x212x+5 在（0，2）减，在（2，3）上增 又 y（0）=5，y（2）=15，y（3）=4 故函数 y=2x33x212x+5 在区间0，3上最大值与最小值分别是 5，15 故选 A 9已知为非零向量，函数，则使 f（x）的图象为关于 y 轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是（）A B C D【考点】抛物线的简单性质【分析】首先把函数解析式展开整理，根据函数的图象关于 y 轴对称可判断出函数解析式中的一次项系数为 0，进而求得|和|的关系 高中数学-打印版 校对打印版

14、【解答】解：=x2+（22）x+，f（x）的图象为关于 y 轴对称，所以 22=0，|=|=|故选 C 10观察下列等式：可以推测：13+23+33+n3=_（nN*，用含 n 的代数式表示）（）A B C D【考点】归纳推理【分析】根据所给出的几个等式，可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数，故可推测结论【解答】解：根据所给等式 13=12 13+23=32=（1+2）2 13+23+33=62=（1+2+3）2 13+23+33+43=102=（1+2+3+4）2 可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底数，推测：13+23+33+n3=（1+2+n）2=故选 C

15、11 已知直线 l 的参数方程为：（t 为参数），圆 C 的极坐标方程为，则直线 l 与圆 C 的位置关系为（）A相切 B相交 C相离 D无法确定 高中数学-打印版 校对打印版【考点】参数方程化成普通方程【分析】消去 t 为参数可得直线 l 的普通方程；根据 x=cos，y=sin 带入可得圆 C 的直角坐标方程圆心到直线的距离与半径比较可得直角的关系【解答】解：直线 l 的参数方程为：，消去 t 为参数可得：2xy+1=0 圆 C 的极坐标方程为，根据 x=cos，y=sin 带入可得：，圆心为（0，），半径 r=那么：圆心到直线的距离 d=d，直线 l 与圆 C 相交 故选 B 12给出定

16、义：若（其中 m 为整数），则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作x=m在此基础上给出下列关于函数 f（x）=|xx|的四个命题：函数 y=f（x）的定义域为 R，值域为；函数 y=f（x）的图象关于直线（kZ）对称；函数 y=f（x）是周期函数，最小正周期为 1；函数 y=f（x）在上是增函数 其中正确的命题的序号是（）A B C D【考点】四种命题的真假关系；函数的值域；函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性【分析】根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据 f（kx）与 f（x）的关系，可以判断函数 y=f（x）的图象是否关于直线（

17、kZ）对称；再判断 f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断的正误；而由的结论，易判断函数 y=f（x）在上的单调性，但要说明不成立，我们可以举出一个反例 高中数学-打印版 校对打印版【解答】中，令 x=m+a，a（，f（x）=|xx|=|a|0，所以正确；中f（kx）=|（kx）kx|=|（x）x|=f（x）所以关于对称，故正确；中，f（x+1）=|（x+1）x+1|=|xx|=f（x）所以周期为 1，故正确；中，x=时，m=1，f（）=x=时，m=0，f（）=所以 f（）=f（）所以错误 故选 C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填空在答卷上）13

18、写出命题“xR，ax2+4x+10”的否定形式：xR，ax2+4x+10 【考点】命题的否定【分析】通常像“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意 x”；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在 x”【解答】解：命题“xR，ax2+4x+10 的否定形式是特称命题；“xR，ax2+4x+10”故答案为：xR，ax2+4x+10 14设曲线 y=x4+ax+3 在 x=1 处的切线方程是 y=x+b，则 a=3 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 高中数学-打印版 校对打印版【分

19、析】求出函数的导数，可得曲线在 x=1 处切线的斜率，由已知切线方程可得 a 的方程，解方程可得 a 的值【解答】解：y=x4+ax+3 的导数为 y=4x3+a，可得曲线 y=x4+ax+3 在 x=1 处的切线斜率为 4+a，切线方程是 y=x+b，可得 4+a=1，解得 a=3 故答案为：3 15若（2x+）dx=3+ln2（a1），则 a 的值是 2 【考点】微积分基本定理【分析】根据题意找出 2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出 a值；【解答】解：=（x2+lnx）=a2+lna（1+ln1）=3+ln2，a1，a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得 a=2

20、，故答案为：2；16请阅读下列材料：若两个正实数 a1，a2满足 a12+a22=1，那么 a1+a2证明：构造函数 f（x）=（xa1）2+（xa2）2=2x22（a1+a2）x+1，因为对一切实数 x，恒有 f（x）0，所以0，从而得 4（a1+a2）280，所以 a1+a2根据上述证明方法，若 n 个正实数满足 a12+a22+an2=1 时，你能得到的结论为 a1+a2+an 【考点】类比推理【分析】由类比推理知识可构造函数 f（x）=（xa1）2+（xa2）2+（xan）2=nx22（a1+a2+an）x+1，由对一切实数 x，恒有 f（x）0，所以0，即可得到结论【解答】解：构造函

21、数 f（x）=（xa1）2+（xa2）2+（xan）2=nx22（a1+a2+an）x+1，由对一切实数 x，恒有 f（x）0，所以0，得 a1+a2+an 故答案为：a1+a2+an 高中数学-打印版 校对打印版 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设 P（x，y）是曲线 C：（为参数，02）上任意一点，（1）将曲线化为普通方程；（2）求 的取值范围【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）利用三角函数的平方关系式消去，即可得到普通方程（2）利用圆的圆心到直线的距离等于半径求出 k 的最值，即可得到结果【解答】解：（1）曲线 C：（为参数

22、，02），即，两式平方和可得：（x+2）2+y2=1；（2）设 y=kx，则 kxy=0，1=，k2=，k=，18利用数学归纳法证明：【考点】数学归纳法【分析】用数学归纳法证明：（1）当 n=1 时，去证明等式成立；（2）假设当 n=k 时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当 n=k+1 时，等式也成立即可【解答】解：（1）当 n=1 时，左边=1=，右边=，命题成立（2）假设当 n=k 时命题成立，即 1+=+，那么当 n=k+1 时，左 边=1+=+=+，上式表明当 n=k+1 时命题也成立 由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立 高中数学-打印版 校对打印版 19已知实数 x，y 满足

23、 x2+y2=2x，则 x2y2的取值范围是 0，【考点】基本不等式【分析】由 x2+y2=2x，得 y2=2xx200 x2，x2y2=2x3x4，构造函数 f（x）=2x3x4（0 x2），利用导数法可求得函数的单调区间与极值，从而可求其值域【解答】解：由 x2+y2=2x，得 y2=2xx20，0 x2，x2y2=x2（2xx2）=2x3x4 设 f（x）=2x3x4（0 x2），则 f（x）=6x24x3=2x2（32x），当 0 x 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，）上单调递增；当 x2 时，f（x）0，函数 f（x）在（，2）上单调递减，当 x=时，函数取得极大值，也是最大值

24、，f（）=，当 x=0、x=2 时，f（x）=0，函数 f（x）的值域为0，即 0 x2y2 故答案为：0，20已知，q：x22x+（1m2）0，若“p”是“q”的必要而不充分条件，求实数 m 的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】分别求出“p”和“q”对应的 x 取值范围 A 和 B，根据“p”是“q”的必要而不充分条件，则BA可得答案【解答】（本小题 12 分）解：由，解得2x10，“p”：A=（，2）（10，+）由 q：x22x+（1m2）0，高中数学-打印版 校对打印版 解得：1|m|x1+|m|，“q”：B=（，1|m|）（10，1+|m|）由“p”是“q”的必要而不充分条件

25、可知：BA 1|m|2，且 1+|m|10，解得|m|9 满足条件的 m 的取值范围为（，99，+）21设函数 f（x）=x2+bln（x+1），其中 b0（1）若 b=12，求 f（x）在1，3的最小值；（2）如果 f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数 b 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件【分析】（1）当 b=12 时令由得 x=2 则可判断出当 x1，2）时，f（x）单调递减；当 x（2，3时，f（x）单调递增故 f（x）在1，3的最小值在x=2 时取得（2）要使 f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即 f（x）在定义域内与 X 轴有三个

26、不同的交点即使在（1，+）有两个不等实根即 2x2+2x+b=0 在（1，+）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得解之求 b 的范围【解答】解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+）b=12 时，由，得 x=2（x=3 舍去），当 x1，2）时 f（x）0，当 x（2，3时，f（x）0，所以当 x1，2）时，f（x）单调递减；当 x（2，3时，f（x）单调递增，所以 f（x）min=f（2）=412ln3（2）由题意在（1，+）有两个不等实根，即 2x2+2x+b=0 在（1，+）有两个不等实根，设 g（x）=2x2+2x+b，则，解之得 高中数学-打印版 校对打印版 22已

27、知（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）求函数 f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（3）对一切的 x（0，+），2f（x）g（x）+2 恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论 t 的范围，求出函数 f（x）的最小值即可；（3）问题转化为 2xlnx3x2+2ax+1，可得 alnx x，设 h（x）=lnx x，根据函数的单调性求出 a 的范围即可【解答】解：（1）f（x）=lnx+1，令 f（x）0，解得：0 x，令 f（x）0，解得：x，f

28、（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）（）0tt+2，t 无解；（）0t t+2，即 0t 时，f（x）min=f（）=；（）tt+2，即 t 时，f（x）在t，t+2递增，f（x）min=f（t）=tlnt，f（x）min=；（3）由题意：2xlnx3x2+2ax1+2 在 x（0，+）上恒成立，即 2xlnx3x2+2ax+1，可得 alnx x，设 h（x）=lnx x，则 h（x）=，令 h（x）=0，得 x=1，x=（舍）当 0 x1 时，h（x）0；当 x1 时，h（x）0，当 x=1 时，h（x）取得最大值，h（x）max=2，高中数学-打印版 校对打印版 a2 高中数学-打印版 校对打印版 2017 年 3 月 11 日