高一数学专题：函数的基本性质(导学案含答案).pdf

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1、第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 一、函数的单调性 1函数单调性的定义 一般地，设函数 f（x）的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 12f xf x_，那么就说函数 f（x）在区间 D 上是增函数；如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 12f xf x_，那么就说函数 f（x）在区间 D 上是减函数 对函数单调性的理解（1）定义中的 x1，x2有三个特征：任意性，即不能用特殊值代替；属于同一个区间；有大小，一般令 x1x2学科网（2）增、减函数的定义实

2、现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若()f x是增函数，则 1212f xf xxx；若()f x是减函数，则 1212f xf xxx 2函数的单调区间 如果函数 y=f（x）在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性_，区间 D 叫做 y=f（x）的单调区间_ 对函数单调区间的理解（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接（2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集（3）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性（4）并非

3、所有的函数都具有单调性如函数 1,0,xxf x是有理数是无理数就不具有单调性 常见函数的单调性 函数类型 单调性 一次函数()0ykxb k 0k 在R上单调递增 0k 在R上单调递减 反比例函数(0)kykx 0k 单调减区间是(,0)和(0,)0k 单调增区间是(,0)和(0,)二次函数2()0yaxbxc a 0a 单调减区间是(,)2ba，单调增区间是,)2ba 0a 单调减区间是,)2ba，单调增区间是(,)2ba 二、函数的最大（小）值 1最大值 一般地，设函数()yf x的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的xI，都有()f xM_；（2）存在0 xI，使得0

4、()f xM_ 那么，我们称 M 是函数()yf x的最大值 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标 2最小值 一般地，设函数()yf x的定义域为 I，如果存在实数 m 满足：（1）对于任意的xI，都有()f xm_；（2）存在0 xI，使得0()f xm_ 那么，我们称 m 是函数()yf x的最小值 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标 函数的最值与单调性的关系 如果函数 yf x在区间(,a b上是增函数，在区间),b c上是减函数，则函数 yf x，,()xa c在xb处有最大值 f b 如果函数 yf x在区间(,a b上是减函数，在区间),b c上是增函数，则函数 yf x，,()xa

5、 c在xb处有最小值 f b 如果函数 yf x在区间,a b上是增（减）函数，则在区间,a b的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值 三、函数的奇偶性 一般地，如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有()()fxf x，那么函数 f（x）就叫做偶函数 一般地，如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有()()fxf x _，那么函数 f（x）就叫做奇函数 函数具有奇偶性的条件（1）首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定()fx是否等于 fx（2）分段函数的奇偶性应分段说明()fx与

6、fx的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性（3）若奇函数的定义域包括0，则 00f 四、奇函数、偶函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点_为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点_为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴_为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴_对称，则这个函数是偶函数 奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性上述结论可简

7、记为“奇同偶异”（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数 性质法判断函数的奇偶性()f x，()g x在它们的公共定义域上有下面的结论：()f x()g x()()f xg x()()f xg x()()f x g x()f g x 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 1函数单调性的判断或证明（1）判断函数的单调性常

8、用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作 利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：（2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单调性相反时，则复合函数单调递减可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义域内（3）函数单调性的常用结论：若 ,f xg x均为区间 A 上的增（减）函数，则 f xg x也是区间 A 上的增（减）函数；若0k，则 kf x与 f x的单调性相同；若0k，则 kf x与 f x的单调性相反；

9、函数 0yf xf x在公共定义域内与 yf x，1()yf x的单调性相反；函数 0yf xf x在公共定义域内与()yf x的单调性相同【例 1】证明：函数21()f xxx在区间（0，）上是增函数【答案】证明详见解析 【名师点睛】函数单调性判断的等价变形：()f x是增函数对任意12xx，都有12()()f xf x，或1212()()0f xf xxx，或1212()()()0f xf xxx；()f x是减函数对任意12xx，都有12()()f xf x，或1212()()0f xf xxx，或1212()()()0f xf xxx 2单调性的应用 函数单调性的应用主要有：（1）由1

10、2,x x的大小关系可以判断 1f x与 2f x的大小关系，也可以由 1f x与 2f x的大小关系判断出12,x x的大小关系比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围 若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点（4）利用函数的单调性解不等式 首先根据函数的性质把不等式转化为 f g xf h x的形式，然后根据函数的单调性去掉“

11、f”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意 g x与 h x的取值应在外层函数的定义域内【例 2】若函数 223()1f xaxaxa在1，）上是增函数，求实数 a 的取值范围【答案】0a1 【名师点睛】本题中 223()1f xaxaxa不一定是二次函数，所以要对 a 进行讨论 另外，需熟练掌握一次函数、反比例函数和二次函数的单调性，并能灵活应用 3求函数的最大（小）值 求函数最大（小）值的常用方法有：（1）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；（2）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；（3）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后

12、，可依据单调性确定函数最值；（4）若函数存在最值，则最值一定是值域两端处的值，所以求函数的最大（小）值可利用求值域的方法 注意：（1）无论用哪种方法求最值，都要考查“等号”是否成立（2）函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大（小）值【例 3】已知函数 223f xxx，若 xt，t2，求函数 f（x）的最值【答案】答案详见解析【解析】易知函数 223f xxx的图象的对称轴为直线 x1，（1）当 1t2，即 t1 时，f（x）maxf（t）t22t3，f（x）minf（t2）t22t3（2）当22tt 1t2，即1t0 时，f

13、（x）maxf（t）t22t3，f（x）minf（1）4（3）当 t122tt，即 0t1 时，f（x）maxf（t2）t22t3，f（x）minf（1）4（4）当 11 时，f（x）maxf（t2）t22t3，f（x）minf（t）t22t3 设函数 f（x）的最大值为 g（t），最小值为（t），则有2223,0()23,0tttg tttt，2223,1()4,1123,1tttttttt 【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确

14、定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与x轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合 4判断函数的奇偶性 判断函数奇偶性的方法：（1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断 判断()fx与 f x的关系时，也可以使用如下结论：如果 0()fxf x或()1()0)()fxf xf x，则函数 f x为偶函数；如果 0()fxf x或()1()0)()fxf xf x，则函数 f x为奇函数【例 4】下列判断正确的是 A函数2

15、2)(2xxxxf是奇函数 B函数2()1f xxx是非奇非偶函数 C函数2211,02()11,02xxf xxx是偶函数 D函数1)(xf既是奇函数又是偶函数【答案】B【解析】对于 A，22)(2xxxxf的定义域为2x，不关于原点对称，不是奇函数 对于 B，2()1f xxx，2()1fxxx ，不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数 对于 C，函数的定义域为(,0)(0,)，关于原点对称当0 x 时，2211()()1(1)()22fxxxf x ；当0 x 时，2211()()11()22fxxxf x 综上可知，函数()f x是奇函数 对于 D，1)(xf的图象为平行于x轴的直线，不关

16、于原点对称，不是奇函数【名师点睛】对于 C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()fx与()f x的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性若 D 项中的函数是()0f x，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数 5奇偶函数图象对称性的应用 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此可以借助函数一部分的图象得出函数另一部分的图象，进而研究函数的性质【例 5】设奇函数()f x的定义域为 5,5若当0,5x时，()f x的图象如图所示，则不等式()0f x 的解集是 A(2,0)(2,5)B(5,2)(2,5)C 2,0(2,5 D(2,0)(2,5【

17、答案】D 【名师点睛】利用数形结合思想解题时，要准确画出草图，并注意特殊点的位置，且求解时不要忽略定义域的限制 6函数奇偶性的应用（1）利用奇偶性的定义求函数的值或参数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解（2）利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可（3）利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶

18、函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上比较大小【例 6】设偶函数()f x的定义域为 R，当 x0,)时()f x是增函数，则(2)f，()f，(3)f 的大小关系是 A()f(3)f(2)f B()f(2)f(3)f C()f(3)f(2)f D()f(2)f 32ff，从而()f(3)f(2)f 学科+网【名师点睛】由于偶函数在y轴两侧的单调性相反，故不可直接由 23 得出()(2)(3)fff 7对单调区间和在区间上单调两个概念的理解【例 7】已知二次函数2()2(1)6f xxax在区间(,5上单调递减，求实数a的

19、取值范围【错解】易知函数2()2(1)6f xxax的图象的对称轴为直线1xa，由题意知()f x在区间(,5上单调递减，所以15a，解得6a 【错 因 分 析】错 解 中 把 在 区 间 上 单 调 误 认 为 是 单 调 区 间，若 把 本 题 改 为 二 次 函 数2()2(1)6f xxax的单调递减区间是(,5，则错解中的解法是正确的【正解】易知函数2()2(1)6f xxax的图象的对称轴为直线1xa，由题意知()f x在区间(,5上单调递减，所以15a，解得6a 【名师点睛】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是 I，指的是函数递减的最大范围为区间 I而函数在某一区间

20、上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间，一定要区分开 8判断函数奇偶性时，注意定义域【例 8】判断函数42()3,(2,2f xxxx 的奇偶性【错解】因为4242()()3()3()fxxxxxf x，所以函数42()3,(2,2f xxxx 是偶函数【错因分析】判断函数的奇偶性时，需先判断函数的定义域是否关于原点对称【正解】函数42()3,(2,2f xxxx 的定义域为(2,2，不关于原点对称，故函数42()3,(2,2f xxxx 既不是奇函数又不是偶函数【名师点睛】由函数奇偶性的定义可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称的 1集合x|x2表示成区间是 A（2，+）B2，+）

21、C（，2）D（，2 2集合x|x0 且 x2用区间表示出来 A（0，2）B（0，+）C（0，2）（2，+）D（2，+）3函数 f（x）=（x1）2的单调递增区间是 A0，+）B1，+）C（，0 D（，1 4已知函数 f（x）=1+11x（x1），则 f（x）A在（1，+）上是增函数 B在（1，+）上是增函数 C在（1，+）上是减函数 D在（1，+）上是减函数 5函数 y=f（x），x4，4的图象如图所示，则函数 f（x）的所有单调递减区间为 A4，2 B1，4 C4，2和1，4 D4，21，4 6函数 g（x）=|x|的单调递增区间是 A0，+）B（，0 C（，2 D2，+）7已知 f（x）是

22、定义在0，+）上单调递增的函数，则满足1213fxf的 x 取值范围是 A1 22 3，B23，C1 22 3，D23，8函数 f（x）=|x2|的单调递减区间为 A（，2 B2，+）C0，2 D0，+）9函数254yxx的单调递增区间是 A52，B542，C4，+）D5142，10已知函数 f（x）是定义域为 R 的奇函数，且 f（1）=2，那么 f（1）+f（0）=A2 B0 C1 D2 11函数 f（x）=1xx 的图象关于 A坐标原点对称 Bx 轴对称 Cy 轴对称 D直线 y=x 对称 12函数 f（x）=x3+x 的图象关于 Ay 轴对称 B直线 y=x 对称 C坐标原点对称 D直

23、线 y=x 对称 13用区间表示数集x|20 时 f（x）=x（1x），则当 x0）的单调减区间是 A（2，+）B（0，2）C（2，+）D（0，2）17函数 f（x）=x+bx（b0）的单调减区间为 A（b，b）B（，b），（b，+）C（，b）D（b，0），（0，b）18函数 f（x）=x+3|x1|的单调递增区间是 A（，+）B（1，+）C（，1）D（0，+）19函数 y=21xx，x（m，n最小值为 0，则 m 的取值范围是 A（1，2）B（1，2）.C1，2）D1，2）20已知 f（x）=ax2+bx 是定义在a1，2a上的偶函数，那么 a+b 的值是 A13 B13 C12 D12 2

24、1已知函数 y=f（x）在 R 上为奇函数，且当 x0 时，f（x）=x22x，则当 x0f（4）Bf（2）0f（4）0 Df（2）f（4）0 且 x2用区间表示为：（0，2）（2，+）故选 C 5【答案】C【解析】由如图可得，f（x）在4，2递减，在2，1递增，在1，4递减，可得 f（x）的减区间为 4，2，1，4故选 C 6【答案】A【解析】x0，时，g（x）=x，x0 时，g（x）=x，故函数在0，+）递增，故选 A 7【答案】C【解析】f（x）是定义在0，+）上单调递增的函数，不等式1213fxf等价为 02x113，即12x23，即不等式的解集为1 22 3，故选 C 8【答案】B【

25、解析】y=|x2|=2222xxxx，函数 y=|x2|的单调递减区间是（，2，f（x）=|x2|的单调递减区间是2，+），故选 B 11【答案】A【解析】函数 f（x）=1xx，定义域为x|x0关于原点对称，f（x）=1x+x=f（x），则 f（x）为奇函数，图象关于原点对称故选 A 12【答案】C【解析】f（x）=x3x=f（x），函数 f（x）=x3+x 为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，故选 C 13【答案】（2，4【解析】数集x|20 时，f（x）=x（1x），当 x0，f（x）=f（x）=（x（1+x）=x（1+x），即 x0），根据对勾函数图象及性质可知，函数 f（x）=x+2

26、x（x0）在（2，+）单调递增，函数 f（x）在（0，2）单调递减故选 D 17【答案】D【解析】函数 f（x）=x+bx（b0），的导数为 f（x）=12bx，由 f（x）0，即为 x2b，解得bx0 或 0 xb，则 f（x）的单调减区间为（b，0），（0，b）故选 D 18【答案】B【解析】函数 f（x）=x+3|x1|，当 x1 时，f（x）=x+3x3=4x3，可得 f（x）在（1，+）递增；当 x1 时，f（x）=x+33x=32x，可得 f（x）在（，1）递减故选 B 19【答案】D【解析】函数 y=2313111xxxxx1，且在 x（1，+）时，函数 y 是单调递减函数，在

27、x=2 时，y 取得最小值 0；根据题意 x（m，n时 y 的最小值为 0，m 的取值范围是1m0f（2），即f（4）0 f（2），f（2）0f（4）故选 A 26【答案】最大值是 2，最小值是18【解析】f（x）=3x23=3（x+1）（x1），令 f（x）0，解得：x1 或 x1，令 f（x）0，解得：1x1，故 f（x）在3，1）递增，在（1，1）递减，在（1，32递增，而 f（3）=27+9=18，f（1）=2，f（1）=2，f（32）=98，故函数的最大值是 2，最小值是18学科+网 27【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24aafb fab fb 中取，所以最值之

28、差一定与b无关，选 B【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值 28【答案】D【解析】因为()f x为奇函数且在(,)单调递减，要使1()1f x 成立，则x满足11x，从而由121x 得13x，即满足1(2)1f x 的x的取值范围为1,3，选 D.29【答案】12【解析】当 x（，0）时，f（x）=2x3+x2，f（2）=12，又函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，f（2）=12，故答案为：12 30【答案】2【解析】1()11 121f xx ，即最大值为 2