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1、 中考数学专题复习几何最值问题 The pony was revised in January 2021【典例 1】如图,在矩形ABCD中,AB4,AD6,E是AB边的中点,F是线段BC边上的动点,将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF,连结BD,则BD的最小值是()A2 10-2 C.2 13-2 【思路探究】根据E为AB中点,BEBE可知,点A、B、B在以点E为圆心,AE长为半径的圆上,D、E为定点,B是动点,当E、B、D三点共线时,BD的长最小,此时BDDEEB,问题得解.【解析】AEBE,BEBE,由圆的定义可知,A、B、B在以点E为圆心,AB长为直径的圆上,如图所示.BD的长最小值=D
2、EEB226222 102.故选A【启示】此题属于动点(B)到一定点(E)的距离为定值(“定点定长”),联想到以E为圆心,EB为半径的定圆,当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决,如BDDEBE,当且仅当点E、B、D三点共线时,等号成立.【典例 2】如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AEDF,连接CF交BD于点G,连结BE交AG于点H,若正方形的边长是2,则线段DH长度的最小值是 .【思路探究】根据正方形的轴对称性易得AHB90,故点H在以AB为直径的圆上.取AB中点O,当D、H、O三点共线时,DH的值最小,此时DHODOH,问题
3、得解.【解析】由ABEDCF,得ABEDCF,根据正方形的轴对称性,可得DCFDAG,ABEDAG,所以AHB90,故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中点O,OD交O于点H,此时DH最小,OH112AB,OD5,DH的最小值为ODOH51.【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点,联想到直径所对圆周角为直角(定弦定角),故点H在以AB为直径的圆上,点D在圆外,DH的最小值为DOOH.当然此题也可利用DHODOH的基本模型解决.【针对训练】1.如图,在ABC中,ACB90,AC2,BC1,点A,C分别在x轴,y轴上,当点A在x轴正半轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,
4、点B到原点O的最大距离为().A5 B6 C12 D3 2.如图,在矩形ABCD中,AB4,BC6,E是矩形内部的一个动点,且AEBE,则线段CE的最小值为().A32 B.2 10-2 C.2 13-2 3.如图,在ABC中,AB10,AC8,BC6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P、Q分别是边BC和半圆上的运点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是().B.2 131 D.322 4.如图,AC3,BC5,且BAC90,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为().A.213 B.213 D.916 5如图,已知正方形ABCD的边长为2,E是BC边上的动点,BFAE交CD于点F,垂足为G,连结CG,则CG的最小值为()A51 B31 C.21 D.21 6如图,ABC、EFG是边长为 2 的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FG相交于点M,当EFG绕点D旋转时,线段 BM 长的最小值是 A23 B31 C.2 D.31 7如图,在边长为 2 的菱形ABCD中,A60,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN,连结AC,则AC长度的最小值是 .8(2017 威海)如图,ABC为等边三角形,AB=2,若点P为ABC内一动点,且满足PAB=ACP,则线段PB长度的最小值为