高三数学一轮复习学案第三章三角函数解三角形(32解三角形).pdf

《高三数学一轮复习学案第三章三角函数解三角形(32解三角形).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习学案第三章三角函数解三角形(32解三角形).pdf（18页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2011 版高三数学一轮精品复习学案：第三章三角函数、解三角形 32 解三角形【高考目标定位】一、正弦定理和余弦定理 1、考纲点击 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2、热点提示（1）利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题；（2）与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变换，这是高考的热点；（3）三种题型均有可能出现，属中低档题目。二、应用举例 1、考纲点击 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2、热点提示（1）本节内容与实际生活紧密相连，是高考命题的热点，应高度重视；（2）

2、主要考查正、余弦定理及分析问题、解决问题的能力；（3）三种题型均有可能出现，属中、低档题目。【考纲知识梳理】一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2sinsinsinabcRABC 2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbcaacBcababC 变 形形式 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;a:b:c=sinA:sinB:sinC;sinsinsinsinabcaABCA 222222222cos;2cos;2cos.2bcaAbcacbBcaabcCab

3、解 决的 问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。注：在 ABC中，sinAsinB是AB的 充 要 条 件。（sinAsinB22abRRabAB）二、应用举例 1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）（2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为（如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）

4、方向角：相对于某一正方向的水平角（如图）北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏本等其他方向角类似。（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，i为坡比）2、ABC 的面积公式（1）1()2aaSa h ha表示 边上的高；（2）111sinsinsin()2224abcSabCacBbcARR为外接圆半径；（3）1()()2Sr abc r为内切圆半径。【热点难点精析】一、正弦定理和余弦定理（一）正弦定理、余弦定理的简单应用 相关链接 1、已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、

5、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断；2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷；3、三角形中常见的结论（1）A+B+C=；（2）在三角形中大边对大角，反之亦然；（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（4）三角形内的诱导公式 sin()sin;cos()cos;tan()tan;sincos;cossin.2222ABCABCABCABCABC （5）在ABC 中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.例题解析 例 1 在ABC 中，（1）若 b=2

6、,c=1,B=450o,求 a 及 C 的值；（2）若 A=600，a=7,b=5,求边 C。思路解析：（1）可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解；（2）题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理理解，但本题不求 B，并且求出 sinB 后发现 B 非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于 c 的方程求解。解答：（1）方法一：由由正弦定理得21sin45sinC，所以 sinC=12.因为 cb,所以Ccb,A为 最 大 角。由 余 弦 定 理 得：2222223571cos22 3 52bcaAbc 。又30180,120,sin

7、sin1202AAA。方法一：由正弦定理得sinsinacAC，35sin5 32sin714cACa，因此最大角 A 为120，sinC 5 314。方法二：22222273511cos22 7 314abcCab。C 为三角形的内角，C 为锐角。sinC=22115 31 cos1()1414C,所以最大角为120，sinC=5 314。（二）三角形形状的判定 相关链接 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函

8、数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A+B+C=这个结论。注：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。例题解析 例在ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边，如果2222()sin()()sin()abABabAB，判断三角形的形状 思路解析：分别以a2和b2为同类项整理已知条件展开sin()AB和sin()AB转化为边或角关系求解得三角形形状。解答：方法一：222222sin()sin()sin()sin(),2cossin2cos sin.sincossinsincossin,

9、sinsin(sincossincos)0sin2sin2,0,2222aABABbABABaABbbAAABBBAABAABBABABABABABC由已知得由正弦定理，得由得或，即是等腰三角形或直角三角形方法二：同方法一可得222cossin2cossinaABbbA，由正、余弦定理，即得 222222222222222222222222,()(),22()()0bcaacba bb aa bcabacbbcacabcababcabABC即或，故为等腰三角形或直角三角形。（三）正、余弦定理在几何中的应用 相关链接 正、余弦定理在几何中的应用（1）首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形；

10、（2）其次确定与未知量相关联的量；（3）最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。例题解析 例 1如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=5，AC=9，BCA=300，ADB=450，求 BD 的长。思路解析：由于 AB=5，ADB=450，因此要求 BD，可在ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定BAD 的正弦值。在ABC 中，AB=5，AC=9，ACB=300，因此可用正弦定理求出sinABC,再依据ABC 与BAD 互补确定 sinBAD 即可。解 答：在 ABC中，AB=5，AC=9，BCA=300，由 正 弦 定 理，得0sin9sin309,sinsinsin5

11、109/,180,sinsin1099 2,45,1029 2BD2oABACACBCAABCBCAABCABADBCBADABCBADABCABDBADADBBD于是。同理，在中,AB=5,sin解得故的长为 例 2如图，在四边形 ABCD 中，已知 ADCD，AD=10，AB=14，BDA=600，BCD=1350，求 BD 及 BC 的长。解答：在BAD 中，由余弦定理，得222BABDAD2BD ADcosBDA，222021200BD,14102 10cos60,10960,16,16()BD16.BDCBCBD16,BCsin308 2,BD16,8 2sinsinsin135xx

12、xxxxxBCCDBBCD 设则所以所以舍去，所以在中，由正弦定理，得所以所以 注：（1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用；（2）条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理；（3）在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角；（4）正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视。二、应用举例（一）与距离有关的问题 相关链接 1、一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的

13、数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。2、解斜三角形应用题常有以下几种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。例题解析 例 1某观测站 C 在 A 城的南偏西 200的方向。由 A 城出发的一条公路，走向是南偏

14、东 400，在 C 处测得公路上 B 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去，走了 20 千米后到达 D 处，此时 CD 间的距离为 21 千米，问这人还要走多少千米才能到达 A 城？思路解析：本题为解斜三角形的应用问题，人要走多少路可到达 A 城，即求 AD 的长，在ADC 中，已知 CD=21 千米，CAD=600，只需再求出一个量即可。解 答：设 ACD=，CDB=。在 BCD中，由 余 弦 定 理 得2222222021314 3cos,22202177BDCDCBBD CD 则sin 000004 31315 3sinsin(60)sincos60cossin60,72

15、27145 32121AD21sin14ACDAD15sin60sinsin6032A而在中，由正弦定理得，（千米）答：这个人再走15 千米才能到达 城。例 2如图，公路 MN 和 PQ 在 P 处交汇，且QPN=300，在 A 处有一所中学，AP=160 米，假设拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度为 18 千米/小时，那么学校受影响的时间为多少？解答：作 ABMN，B 为垂足，在 RtABP 中，ABP=900，APB=300，AP=160，AB=AP802。点 A 到

16、直线 MN 的距离小于 100 米，所以这所中学会受到噪声的影响。如图所示，若以 A 为圆心，100 米为半径画圆，那么圆 A 和直线 MN 有两个交点，设交点分别为 C、D，连接 AC 和 AD，则 AC=AD=100 米，根据勾股定理和垂径定理得：CB=DB=221008060米，CD=120 米，学校受噪声影响的时间为 t=120180003600=24秒（二）与高度有关的问题 相关链接 1、在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图；3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，

17、注意方程思想的运用。例题解析 例 1某人在塔的正东沿着南偏本 600的方向前进 40 米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 300，求塔高。思路解析：依题意画图，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD=40 米，此时DBF=450，从 C 到 D 沿途测塔的仰角，只有 B 到测试点的距离最短，仰角才最大，这是因为 tanAEB=ABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大。要求出塔高 AB，必须先求 BE，而要求 BE，需先求 BD（或 BC）解答：如图，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD=40，此时DBF=450，过点 B作 BECD 于 E，则A

18、EB=300，在BCD 中，CD=40，BCD=300，DBC=1350，由正弦定理，得sinsinCDBDDBCBCD，BD=40sin3020 2sin135。BDE=1800-1350-300=150。在 RtBED 中，BE=Dbsin150=202624=1031.在 RtABE 中，AEB=300，AB=Betan300=10(33)3(米)故所求的塔高为10(33)3米。例 2 某人在山顶观察地面上相距 2500m 的 A、B 两个目标，测得 A 在南偏本 570，俯角为 300，同时测得 B 在南偏东 780，俯角是 450，求山高（设 A、B 与山底在同一平面上，计算结果精确

19、到 0.1m）.解答:画出示意图(如图所示):设山高 PQ=h,则APQ、BPQ 均为直角三角形，在图（1）中，PAQ=300，PBQ=450。AQ=PQ1tan30=3h。在图（2）中，AQB=570+780=1350，AB=2500m，所以由余弦定理得：2222cos,ABAQBQAQ BQAQB即 22222500(3)2 3cos135(46),hhh hh2500984.4()46hm 所以山高约 984.4m.（三）与角度有关的问题 相关链接 1、测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义；2、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转

20、化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。例题解析 例在海岸 A 处，发现北偏东 450方向，距 A 处(31)n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏本 750的方向，距离 A 处 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 103n mile/h 的速度追截走私船。此时，走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 300方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路解析：本例考查正弦、余弦定理的建模应用。如图所示：注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在 D 处相遇，则可先在ABC 中求出 BC，再在BCD 中求BCD。

21、解答：设缉私船用t h 在 D 处追上走私船，则有 CD=103t，BD=10t，在ABC 中，AB=31，AC=2，BAC=1200，由余弦定理，得 222222cos(31)22(31)2 cos1206BCABACAB ACBAC，BC=6，且 sinABC=232sin.226ACBACBCABC=450,BC 与正北方向垂直。CBD=900+300=1200，在BCD中，由正弦定理，得sin10 sin1201sin,210 3BDCBDtBCDCDtBCD=300。即缉私船沿东偏北 300方向最快追上走私船。（四）与三角形面积有关的问题 例在ABC 中，内角 A、B、C 对边的边长

22、分别是 a,b,c,已知 c=2,C=3。（1）若ABC 的面积等于3，求 a,b;(2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC 的面积。思路解析：（1）利用余弦定理与已知条件确定 a,b 的一个关系式利用三角形的面积确定 a,b 的另一个关系式联立方程组求 a,b；（2）化简已知条件求 a,b求ABCS 解答：（1）由余弦定理及已知条件得 2214,ABC3.sin3,42abababCab又的面积等于即，联立方程组得：2224,24aababbab解得（2）sinsin()2sin2,sin()sin()4sincos,sincos2sincos,cos(2sinsin)0

23、cos0,2624 32 3,tan2 tan,sin363sin312 3sin.23cos0sin2sin,ABCCBAABABAAABAAAAABAABcabcBCABCabCABA由得即当时，=则的面积S当时，则有222,2 343,24 3312 3sin,232 33ABCABCbaaababbabABCabCABC由正弦定理得联立方程组解得的面积S综上知：的面积S 注：（1）对于面积公式 S=12absinC=12acsinB=12bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，实施边角转化；（3）正弦定理和余弦定理并不是孤

24、立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用。【感悟高考真题】1、（2010 湖南文数）7.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若C=120，c=2a，则 A.ab B.ab C.ab D.a 与 b 的大小关系不能确定 【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。2、（2010 天津理数）（7）在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若223abbc，sin2 3sinCB，则 A=（A）030 （B）060 （C）0120 （D）0150【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于

25、中等题。由由正弦定理得 2 32 322cbcbRR，所以 cosA=2222+c-a322bbccbcbc=32 3322bcbcbc，所以 A=300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3、（2010 北京理数）（10）在ABC 中，若 b=1，c=3，23C，则 a=。答案 1 4、（2010 广东理数）11.已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b=3,A+C=2B,则 sinC=.解：由 A+C=2B 及 A+B+C=180知，B=60由正弦定理知，13sinsin60A，即1sin2A 由ab知，

26、60AB，则30A，180180306090CAB，sinsin901C 5、（2010 安徽文数）16、（本小题满分 12 分）ABC的面积是 30，内角,A B C所对边长分别为,a b c，12cos13A。()求AB AC；()若1cb，求a的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由12cos13A 得sin A的值，再根据ABC面积公式得156bc；直接求数量积AB AC.由余弦定理2222cosabcbcA，代入已知条件1cb，及156bc 求 a 的值.解：由12

27、cos13A，得2125sin1()1313A.又1sin302bcA，156bc.（）12cos15614413AB ACbcA.（）2222cosabcbcA212()2(1cos)12 156(1)2513cbbcA，5a.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是 30，12cos13A，所以先求sin A的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问中求 a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.6、（2010 全国卷 2 理数）（17）（本小题满分 10 分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5

28、ADC，求AD【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.【参考答案】由 cosADC=0，知 B.由已知得 cosB=，sinADC=.从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.7、

29、（2010 辽宁理数）（17）（本小题满分 12 分）在ABC 中，a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边，且 2 sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC （）求 A 的大小；（）求sinsinBC的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abc bcb c 即 222abcbc 由余弦定理得 2222cosabcbcA 故 1cos2A ，A=120 6 分（）由（）得：sinsinsinsin(60)BCBB 31cossin22sin(60)BBB 故当 B=30时，sinB+sinC 取得最大值 1。12 分 【考点精题精练】一、选择题 1、（2010 届广

30、东高三六校联考（理）如图，RtABC 中，ACBC，D 在边 AC 上，已知 BC2，CD1，ABD45，则 AD（B）A2 B5 C4 D1 2、（2010 届 山东诸城高三 1 月质检）在ABC中，若43tanA，120C，32BC，则边长AB等于（C）A.3 B.4 C.5 D.6 3、（广东佛山一中2010 届高三模拟（文）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点5,0A 和5,0C，顶点B在双曲线221169xy上，则sinsinsinBAC为 (C )A.32 B.23 C.54 D.45 4、（湖 北 黄 冈 中 学 2010届 高 三10月 月 考）设G是ABC的 重 心，且

31、(56sin)(40sin)(35sin)0A GAB GBC GC，则B的大小为 A45 B60 C30 D15 答案：B 解析：由重心G满足0GAGBGC知，56sin40sin35sinABC 同时由正弦定理，sinsinsin111564035ABC，故可令三边长111,564035ak bk ck 取5 7 8k ，则5,7,8abc，借助余弦定理求得1cos2B 5、（河南省许昌平顶山2010 届高三调研）在ABC 中，sin2A+cos2B=1，则 cosA+cosB+cosC的最大值为 A54 B2 C1 D32 6、（安徽合肥 168 中高三段考（文）锐角三角形 ABC 中，

32、若ACABBC则,2的范围是（C ）A（0，2）B（2,2）C（3,2）D（2,3）7、（安徽合肥 168 中高三段考（文）ABC为锐角三角形，若角终边上一点 P 的坐标为（sincos,cossinABAC），则cossintansincostany的值是：（B）A1 B1 C 3 D 3 8、（2010 届宁夏银川一中月考（文）在ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a,b,c，若45,2,3Bba，则角 A=(A )A 60或 120 B30或 105 C60 D 30 9、（2010 届辽宁省东北育才高三二模（理）ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b1),且CA、sins

33、inBA都是方程loglog(44)bbxx的根,则ABC（A）.A是直角三角形但不是等腰三角形 .B是等腰三角形但不是直角三角形.C是等腰直角三角形 .D不是等腰三角形,也不是直角三角形 10、（2010届 辽 宁 省 东 北 育 才 高 三 二 模（理）对 于 任 意 的,Rx不 等 式03sinsin22mmxmx恒成立，则 m 的取值范围是（B）.A 23m .B10 m .C 30 m .D 23m或30 m 11、（2010 届辽宁省东北育才高三二模（理）锐角三角形 ABC 中，若2AB，则下列叙述正确的是（B）sin3sin2BC 3tantan122BC 64B(2,3ab.A

34、 .B .C .D 12、在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （D）Ab=10，A=45，B=70 Ba=60，c=48，B=100 Ca=7，b=5，A=80 Da=14，b=16，A=45 二、填空题 13、（2010 届广东高三六校联考（理）10在中，角，所对的边分别是，若，且，则的面积等于_ 14、（2010 届 浙江春浑中学高三 1 月月考）13 在ABC中，边长,a b是方程2520 xx的两个根，120C，则边长c 23 15、（2010 届 福建南靖一中高三月考）13在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为,a b c若 13a，4c，60A，则b 1 或

35、3 16、（湖北实验学校2010 届高三月考（理）在ABC中，角 A，B，C 所对的边长分别为cba,，若acBbca3tan222，则角 B 的值为3或32 三、解答题 17、（湖北黄冈中学2010 届 10 月月考）(本题满分 12 分)ABC中，角A B C、的对边分别为a b c、，且lglglgcoslgcos0abBA（1）判断ABC的形状；（2）设向量(2,)a bm，(,3)abn，且mn，()()14 mnmn，求,a b c 16 解：（1）由题lglgcoslglgcosaAbB，故coscosaAbB，由正弦定理sincossincosAABB，即2sin2sin AB

36、 又cos0,cos0AB，故,(0,)2A B，2,2(0,)AB 因abAB，故22AB 即2AB，故ABC为直角三角形 6 分（2）由于mn，所以22230ab 且22()()14 mnmnnm，即228314ba 联立解得226,4ab，故在直角ABC中，6,2,10abc12 分 18、（北京市西城外语学校2010 届高三测试）（本小题 13分）设锐角三角形ABC的内角A BC，的对边分别为abc，2 sinabA（）求B的大小；（）求cossinAC的取值范围.解答：16.（）由2 sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC为锐角三角形得6B 5 分（）cossincossinACAA cossin6AA 13coscossin22AAA 3sin3A 9 分 由ABC为锐角三角形知，22AB，2263B.2336A，所以13sin232A 由此有333sin3232A,所以，cossinAC的取值范围为3 322，13 分