课时分层作业11数学归纳法.pdf

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1、课时分层作业(十一)数学归纳法(60 分钟 100 分)基础对点练基础考点 分组训练 知识点 1 用数学归纳法证明等式 1(5 分)用数学归纳法证明等式 123(n3)n3n42(nN*)时，第一步验证n1，左边应取的项是()A1 B12 C123 D1234 D 解析：当 n1 时，n34，故左边应为 1234.2(5 分)用数学归纳法证明 123n2n4n22，则当 nk1(nN*)时，等式左边应在 nk 的基础上加上()Ak21 B(k1)2 Ck14k122 D(k21)(k22)(k23)(k1)2 D 解析：当 nk 时，等式左边12k2；当 nk1 时，等式左边12k2(k21)

2、(k1)2.故选 D 3.(10 分)用数学归纳法证明：13(2n1)n2(nN*)证明：(1)当 n1 时，左边1，右边1，等式成立(2)假设当 nk(kN*)时，等式成立，即 13(2k1)k2，那么，当 nk1 时，13(2k1)2(k1)1 k22(k1)1k22k1(k1)2.这就是说，当 nk1 时等式成立 根据(1)和(2)可知等式对任意正整数 n 都成立 知识点 2 用数学归纳法证明不等式 4.(5 分)用数学归纳法证明：1221321n12121n2，假设 nk 时，不等式成立，则当 nk1 时，应推证的目标不等式是_ 1221321k121k22121k3 解析：当 nk1

3、 时，目标不等式为1221321k121k22121k3.5.(10 分)证明不等式 112131n2 n(nN*)证明：(1)当 n1 时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当 nk(kN*)时，不等式成立，即 112131k2 k.当 nk1 时，112131k1k1 2 k1k12 k k11k1 k2 k121k12k1k12 k1.所以当 nk1 时，不等式成立 由(1)(2)可知，原不等式对任意 nN*都成立 知识点 3 用数学归纳法证明整除问题 6.(5 分)用数学归纳法证明34n252n1能被 14 整除的过程中，当 nk1 时，34(k1)252(k1)1应变形为

4、 .25(34k252k1)5634k2 解析：当 nk1 时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.7.(10 分)用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被 9 整除(nN*)证明：(1)当 n1 时，13233336 能被 9 整除，所以结论成立；(2)假设当 nk(kN*)时结论成立，即 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除 则当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3 k3(k1)3(k2)3(k3)3k3 k3(k1)3(k2)39k227k27 k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为 k3(k1)3(k2)3能被

5、 9 整除，9(k23k3)也能被 9 整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被 9 整除，即 nk1 时结论也成立 由(1)(2)知命题对一切 nN*都成立 能力提升练能力考点 适度提升 8.(5 分)用数学归纳法证明 1aa2an1an11a(a1，nN*)，在验证 n1 时，左边计算所得的式子是(B)A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 9(5 分)利用数学归纳法证明1n1n11n212n1(nN*，且 n2)，第二步由 k 到 k1 时不等式左端的变化是()A增加了12k1这一项 B增加了12k1和12k2两项 C增加了12k1和12k2两项，减少了1k这一项 D以上都不对

6、C 解析：当 nk 时，左端为1k1k11k212k；当 nk1 时，左端为1k11k21k312k12k112k2，对比可知，C 正确 10(5 分)用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xnyn能被 xy 整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A假设 n2k1(kN*)时正确，再推 n2k3 时正确 B假设 n2k1(kN*)时正确，再推 n2k1 时正确 C假设 nk(kN*)时正确，再推 nk1 时正确 D假设 nk(kN*)时正确，再推 nk2 时正确 B 解析：n 为正奇数，在证明时，应假设 n2k1(kN*)时正确，再推出 n2k1时正确故选 B.11(5 分)对于不等式 n2

7、nn1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当 n1 时，12111，不等式成立(2)假设当 nk(kN*)时，不等式成立，即 k2kk1，则当 nk1 时，k12k1 k23k2 k23k2k2 k22(k1)1，所以当 nk1 时，不等式成立 上述证法()A过程全都正确 Bn1 验证不正确 C假设不正确 D从 nk 到 nk1 的推理不正确 D 解析：n1 的验证及假设都正确，但从 nk 到 nk1 的推理中没有使用假设作为条件，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证明要求故选 D 12.(5 分)用数学归纳法证明 1222(n1)2n2(n1)22212n2n213时，

8、由 nk 的假设到证明 nk1 时，等式左边应添加的式子是_(k1)2k2 解析：当 nk 时，左边1222(k1)2k2(k1)22212.当 nk1 时，左边1222k2(k1)2k2(k1)22212，所以等式左边添加的式子为(k1)2k2.13.(5 分)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，“从 k 到 k1”左端增乘的代数式为_ 2(2k1)解析：令 f(n)(n1)(n2)(nn)，则 f(k)(k1)(k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以fk1fk2k12k2k12(2k1).14.(5 分)若存在正整数

9、m，使得 f(n)(2n7)3n9(nN*)能被 m 整除，则m 的最大值为_ 36 解析：f(1)36，f(2)363，f(3)3610，猜想 m 的最大值为 36.15.(15 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn，其中 anSnn2n1且 a113.(1)求 a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并证明 解：(1)a2S22221a1a26，a113，则 a2115，类似地求得 a3135.(2)由 a1113，a2135，a3157，猜想：an12n12n1.证明：当 n1 时，由(1)可知等式成立 假设当 nk 时猜想成立，即 ak12k12k1，那么，当 nk1 时，由题设 anSnn2n1，得 akSkk2k1，ak1Sk1k12k1，所以 Skk(2k1)ak k(2k1)12k12k1k2k1，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1k2k1.因此，k(2k3)ak1k2k1.所以 ak112k12k3 12k112k11.这就证明了当 nk1 时命题成立 由可知命题对任意 nN*都成立