高考数学培优专题.pdf

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1、 1【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：构造差函数 h xf xg x根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式 具体做法如下：首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 证明 f xg x，,xa b时，可以构造函数 F xf xg x，如果 0Fx，则 F x在,a b上是减函数，同时若 0F a，由减函数的定义可知，当,xa b时，有 0F x，即证明 f xg x【典例指引】例 1 已知函数 2112 ln2fxa xaaxx，

2、fx为其导函数.(1)设 1g xfxx，求函数 g x的单调区间；(2)若0a，设 11,A xfx，22,B xfx为函数 f x图象上不同的两点，且满足 121f xf x，设线段AB中点的横坐标为0,x 证明：01ax.【思路引导】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，0fx 得增区间，0fx 得减区间即可；（2）问题转化为证明 2221*f xfxa令 21F xfxf xa 222112 ln 22 ln2axaaxa xa axaxxa，根据函数单调性证明即可.2 (2)法一：120121212xxaxxxaa 2221210afxaaxxx，故 f x在定义域0,上单调递增.

3、只需证：122fxfxa，即证 2221f xfxa (*)注意到 12111,2f xf xfa 不妨设1210 xxa.令 22221112 ln 22 ln2F xfxf xaxaaxa xa axaaxxa，则 3222222411220222axaaaFxxxaxaxxax 1xa，从而 F x在1,a上单减，故 210F xFa，即得(*)式.法二：(2)2221210afxaaxxx故 f x在定义域0,上单调递增.注意到10fa且11.2fa 3 故 10g xga，且等号仅在1a处取到.所以 h x与 f x图象关系如下：取 3142,h xf xh xf x，则显然有132

4、4,xx xx,从而1234xxxx，另外由三次函数 h x的中心对称性可知342xxa，则有 122xxa.点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.例 2 已知定义域为1,的函数 lnf xa xx存在两个零点（1）求实数a的取值范围；（2）若 0f

5、 mf nfxmn，求证：02mnx【思路引导】（1）分离参数得lnxax，借助函数 1lnxxxx，的图象进行求解；（2）由于 1afxx，则 fx 4 在区间1,上单调递增，02mnffxlnln2amnamnmn 21ln1mamnmmnnn，故只需证明21ln01mamnmmnnn即可由题知,1,m n且mn，不妨设1mn，则0,1mtn，构造 21ln1tg ttt，只需证明 0g t 即可，利用导数的知识可求解 又 0lnln1f mf namnfxmnmn，5 21ln01mmnmnn，又0,0aemn ，21ln01mamnmmnnn，即 002mnffx，02mnffx，1a

6、fxx在区间1,上单调递增，02mnx，得证 点评：解答时注意以下两点：（1）涉及已知函数零点的个数求参数的问题，可通过分析所给函数的特点采用分离参数的方法利用数形结合求解（2）比较大小时，可通过构造函数，利用函数的单调性和函数值的大小关系处理，在解题中多次构造函数处理问题 例 3 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，证明：且 6【思路引导】（1）求导，令和，求得函数单调区间（2）构造函数令，求导后分类讨论，利用单调性证明 点评：关于含参量恒成立问题有两种方法，分离含参量和带参量计算，本题构造新函数，带有参量一起求导，判定新函数的单调性，求得最大值时恒小于或等于零，即可

7、证得结论 【同步训练】1 设函数 f（x）=lnx+ax2+x+1 7（I）a=2 时，求函数 f（x）的极值点；（）当 a=0 时，证明 xexf（x）在（0，+）上恒成立【思路引导】（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；（2）当 a=0时构造函数 F（x）=xexf（x）=xexlnxx 1，（x 0），只要证明 F（x）=0 即可（）证明：当 a=0 时，f（x）=lnx+x+1 令 F（x）=xexf（x）=xexlnxx 1，（x 0），则 F（x）=（xex1），令 G（x）=xex1，则 G（x）=（x+1）ex0，（x 0），函数 G（x）在（0，+）递增，又 G（

8、0）=1 0，G（1）=e1 0，存在唯一 c（0，1）使得 G（c）=0，且 F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+）上单调递增，故 F（x）F（c）=ceclncc1，由 G（c）=0，得 cec1=0，得 lnc+c=0，F（c）=0，F（x）F（c）=0，从而证得 xexf（x）点评：在本题（）的解答中，为了求 F（x）的 最小值，通过求导得到 F（x）=（xex1），不容易判断 F（x）的单调性，故构造 G（x）=xex1，采用二次求导的方法，在求 G（x）零点的过程中遇到了 8 零点不可求的问题，此类问题的解法是利用 G（x）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通

9、过整体代换的方法求函数 F（x）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法 2 已知函数 ln1x xf xx与 1g xa x（1）若曲线 yf x与直线 yg x恰好相切于点1,0P，求实数a的值；（2）当1,x时，f xg x恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：*214ln 21.41niinnNi【思路引导】（1）根据导数几何意义得 1fa,即得实数a的值；（2）利用分参法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题2ln1x xax（x1）最大值,再利用导数研究函数 2ln1x xh xx单调性：单调递减，最后根据洛必达法则求最大值，即得实数a的取值范围(3)先根据和的关系转化为对

10、应项的关系：2214ln2141nnnn，再利用；（2）的结论21ln12x xx，令2121nxn，则代入放缩得证 9（3）不妨设ln 21nSn为 na前n项和，则21ln21nnan 要证原不等式，只需证2214ln2141nnnn 而由（2）知：当12a 时恒有 f xg x 即21ln12x xx当且仅当1x 时取等号 取21121nxn，则22121121ln12121221nnnnnn 即2212118ln2121221nnnnnn即221421ln212121nnnnnn 即2214ln2141nnnn成立，从而原不等式获证 10 点评：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能

11、的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法 3 已知函数 1ln,1a xf xxaRx(1)若2x 是函数 f x的极值点，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；(2)若函数 f x在0,上为单调增函数，求a的取值范围；(3)设,m n为正实数，且mn，求证：lnln2mnmnmn【思路引导】（1）求出导数，由题意可得 30f代入可得83a，可得切线的斜率和切点，进而得到切

12、线的方程；（2）由函数 f x在0,上为增函数，可得 0fx 恒成立，既有22210 xa x，当0 x 时，122axx，求得右边函数的最小值，即可得到a范围；（3）运用分析法证明，要证lnln2mnmnmn，只需证112lnmmnnmn，即证21ln01mmnmnn，设 21ln1xh xxx，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证 11 时，g x有最小值2，222.2.aa所以所以所以a的取值范围是,2.（3）要证，只需证，即证21ln.1mmnmnn只需证21ln0.1mmnmnn 设 21ln1xh xxx，由（2）知 h x在1,上是单调函数，又1mn，所以 10mhhn，即

13、21ln01mmnmnn成立，所以lnln2mnmnmn 点评：本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式，属于难题求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 yf x在0 xx处的导数，即 yf x在点P 00,xfx出的切线斜率（当曲线 yf x在P处的切线与y轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0 xx）；（2）由点斜式求得切线方程 00yyfxxx 4 已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）（1）讨论函数的单调性（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方【思路引导】12 函数的图象恒在的图象上方 点评：本题考查函数导数的综合应用问题，考查数学转化思想方法

14、与分类讨论思想思想方法，是中档题；利用导数求解函数单调性的一般步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间 5 已知函数 xefxx.（1）求曲线 yf x在点22,2eP处的切线方程；（2）证明：2lnf xxx【思路引导】（1）由 导 数 几 何 意 义 得 切 线 斜 率 为 2f，再 根 据 点 斜 式 且 切 线 方 程，（2）构 造 函 数 2lng xf xxx，求导函数零点可得1x ，列表分析

15、可得1x 为最小值，而 120ge，所以得证 令 0g x得1x 13 所以 0,1,0 xgx；1,0 xgx 所以 min120gxge 所以当 0,2lnxf xxx 点评：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数 h xf xg x根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式（2）根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数 6 设函数 2ln1f xxbx，其中0b （1）当1b 时，求曲线 yf x在点0,0处的切线方程；（2）讨论函数 f x的单调性；（3）当

16、*nN，且2n 时证明不等式：33311111111ln111232321nnn【思路引导】（）代入1b 时，求得 fx，求得切线的斜率，即可求解切线的方程；（）求得 fx的表达式，分12b 和102b 和0b 三种情况分类讨论，即可求解函数 f x的单调区间；（）先由=1b 时,证得32ln1xxx，再取1xn得32111ln1nnn，进而可证明上述不等式 14 （）证明：当b=-1 时,2f xxln x 1，令 332h xxf xxxln x 1，则 233xx1h xx1在0,上恒正，所以，h x在0,上单调递增，当0,时，恒有 h xh 00，即当0,时，3232xxln x 10

17、,ln x 1xx 即，对任意正整数n，取1xn得32111ln1nnn，所以，333111111ln11123n23n=333111111ln1ln1ln123n23n=333111111ln1ln1ln12233nn 22211111123n2 33 4nn1=11111111+=2334nn12n1 15 点评：本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到导数的几何意义求解在某点的切线方程的求解、利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间，不等关系的证明等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，其中解得中对导数的合理分类讨论和根据题设合理变换和换元是解答的难点 7 设函数

18、ln1afxxx，0a (1)当130a 时，求函数 f x的单调区间；(2)当12a，1,x时，求证：ln11axx【思路引导】（1）本问考查利用导数求函数的单调性，首先确定函数的定义域为 0,11,，对 f x求导数 fx，解 0fx得增区间，解 0fx得减区间；（2）本问考查利有导数证明不等式，当12a 时，只需证：1lnln1121axxxx，即转化为证明21 ln121xxx 当1x 时成立，构造函数 21 ln2111g xxxxx，转化为证明 0g x 在1x 时恒成立即可，转化为求函数 g x的最小值问题 16 点评：利用导数证明不等式的方法：证明 f xg x，,xa b时，

19、可以构造函数 F xf xg x，如果 0Fx，则 F x在,a b上是减函数，同时若 0F a，由减函数的定义可知，当,xa b时，有 0F x，即证明 f xg x利用导数解决不等式恒成立问题的策略：首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 8 已知函数 21e2xfxaxx（Ra）（）若曲线 yf x在点 0,0f处的切线与y轴垂直，求a的值；（）若函数 f x有两个极值点，求a的取值范围；（）证明：当1x 时，1e lnxxxx【思路引导】（）求导函数，利用函数 yf x在

20、点 0,0f处的切线与y轴垂直，可得切线的斜率，从而可求a 的值；（）由（）知 e1xfxax，若函数 f x有两个极值点，则 e10 xfxax，即1exxa有两个不同的根，且1exxa的值在根的左、右两侧符号相反令 1exxh x，讨论其性质即可得到a的 17 取值范围；（）令 1e lnxg xxxx（1x），则 10g，2e1e ln1xxgxxxx 令 h xg x，讨论 h x的性质可得以1x 时，0g x，即1x 时，1e lnxxxx（）证明：令 1e lnxg xxxx（1x），则 10g，2e1e ln1xxgxxxx 令 h xg x，则 ee lnxxh xxx 23ee2xxxxx，因为1x，所以e ln0 xx，e0 xx，2e10 xxx，320 x，所以 0h x，即 h xg x 在1x 时单调递增，又 1e20g，所以1x 时，0g x，即函数 g x在1x 时单调递增 所以1x 时，0g x，即1x 时，1e lnxxxx