专题22因式分解章末重难点突破(举一反三)(学生版).pdf

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1、专题 4.1 因式分解章末重难点突破【考点 1 因式分解的意义】【例 1】（2021 秋钢城区期末）多项式 x2+mx+6 因式分解得（x2）（x+n），则 m 【变式 1-1】（2021 春龙口市月考）若关于 x 的二次三项式 x23x+k 有一个因式是（x2），则 k 的值是 【变式 1-2】（2021杭州模拟）若多项式 x3+x+m 含有因式 x2x+2，则 m 的值是 【变式 1-3】（2021 春永嘉县校级期末）若多项式 x2+mx+n（m、n 是常数）分解因式后，有一个因式是 x+1，则 mn 的值为 【考点 2 用常规方法进行因式分解】【例 2】（2021 春滕州市校级月考）分解

2、因式：（1）2x3+12x218x；（2）（a2+4）216a2；（3）2（yx）26（xy）；（4）16（ab）29（a+b）2 【变式 2-1】（2021 秋桐柏县月考）分解因式：（1）a（xy）+b（yx）；（2）3m2n12mn+12n；（3）（x+2y）24（x+2y1）；（4）（x2+9）236x2 【变式 2-2】（2021 秋陵城区月考）把下列各式分解因式：（1）6ab324a3b；（2）x48x2+16；（3）a2（x+y）b2（y+x）；（4）4m2n2（m2+n2）2 【变式 2-3】（2022 春槐荫区校级月考）把下列各多项式因式分解：（1）3x3y2+6x2y33xy

3、4；（2）3x（ab）6y（ba）；（3）18b（ab）2+12（ba）3；（4）（x2+16y2）264x2y2；（5）（m25）2+8（m25）+16；（6）16x472x2y2+81y4 【考点 3 用分组分解法进行因式分解】【例 3】（2021 秋永吉县期末）阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法如：因式分解：am+bm+an+bn（am+bm）+（an+bn）m（a+b）+n（a+b）（a+b）（m+n）（

4、1）利用分组分解法分解因式：3m3y+amay；a2x+a2y+b2x+b2y（2）因式分解：a2+2ab+b21 （直接写出结果）【变式 3-1】（2021 春盐湖区校级期末）先阅读下面材料，再完成后面的问题：要把多项式 am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出 a，再把它的后两项分成组，并提出 b，从而得到 am+an+bm+bna（m+n）+b（m+n）这时，由于 a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有 am+an+bm+bna（m+n）+b（m+n）（m+n）（a+b）这种因式分解的方法

5、叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）abac+bcb2a（bc）b（bc）（请你完成分解因式下面的过程）（2）m2mn+mxnx（3）x2y22x2y4y2+16 【变式 3-2】分解因式 （1）x22xy3y2+2x+10y8；（2）4x24xy3y24x+10y3 【变式 3-3】因式分解：2ax+2ay3bx+4cy+4cx3by 【考点 4 用十字相乘法进行因式分解】【例 4】（2021 秋微山县期末）【知识背景】八年级上册第 121 页“阅读与思考”中，

6、我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq（x+p）（x+q）【方法探究】对于多项式 x2+（p+q）x+pq 我们也可这样分析：它的二次项系数 1 分解成 1 与 1 的积；它的常数项 pq 分解成 p与 q 的积，按图 1 所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）所以 x2+（p+q）x+pq（x+p）（x+q）例如，分解因式：x2+5x+6 它的二次项系数 1 分解成 1 与 1 的积；它的常数项 6 分解成 2 与 3 的积，按图 2 所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数 5 所以 x2+5x+6（x+2）（x+3）

7、类比探究：当二次项系数不是 1 时，我们也可仿照上述方式进行因式分解 例如，分解因式：2x2x6 分析：二次项系数 2 分解成 2 与 1 的积；常数项6 分解成1 与 6（或6 与 1，2 与 3，3 与 2）的积，但只有当2 与 3 时按如图 3 所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数1 所以 2x2x6（2x+3）（x2）【方法归纳】一般地，在分解形如关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c 时，二次项系数 a 分解成 a1与 a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项 c 分解成 c1与 c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把 a1，a2，c1，c2按如图

8、 4 所示方式排列，当且仅当 a1c2+a2c1b（一次项系数）时，ax2+bx+c 可分解因式 即 ax2+bx+c（a1x+c1）（a2x+c2）我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法 【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：（1）x25x+6；（2）10 x2+x21；（3）（x24x）2+7（x24x）+12 【变式 4-1】（2021 秋建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：（x+2）（x+3）x2+5x+6；（x1）（x+3）x2+2x3 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+5x+6（x+2）（x+3）；x2+2x3（x1）（

9、x+3）通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式如将式子 x2+2x3 分解因式这个式子的二次项系数是 111，常数项3（1）3，一次项系数 2（1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写这样，我们就可以得到：x2+2x3（x1）（x+3）利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10 ；（2）x22x3 ；（3）y27y+12 ；（4）x2+7x18 【变式 4-2】（2021 秋新泰市期中）提出问题

10、：你能把多项式 x2+5x+6 因式分解吗？探究问题：如图 1 所示，设 a，b 为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）x2+ax+bx+abx2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如 x2+（a+b）x+ab 的多项式进行因式分解即 x2+（a+b）x+ab（x+a）（x+b）观察多项式 x2+（a+b）x+ab 的特征是二次项系数为 1，常数项为两数之积，一次项为两数之和 解决问题：x2+5x+6x2+（2+3）x+23（x+3）（x+2）运用结论：（1）基础运用：把多项式 x2+4x21 进行因式分解（2）知识迁移：对于多项式 4x24x15 进行因式分解还可以这样

11、思考：将二次项 4x2分解成如图 2 所示中的两个 2x 的积，再将常数项15 分解成5 与 3 的乘积，图中的对角线上的乘积的和为4x，就是 4x24x15 的一次项，所以有 4x24x15（2x5）（2x+3）这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”请用十字相乘法进行因式分解：3x219x14；6a213ab+6b2 【变式 4-3】（2021 春奉化区校级期末）【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形 如何把二次三项式 ax2+bx+c 进行因式分解呢？我们已经知道，（a1x+c1）（a2x+c2）a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2a122+（a1c2+a2c1）x+c1

12、c2反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2（a1x+c1）（a2x+c2）我们发现，二次项的系数 a 分解成 a1a2，常数项 c 分解成 c1c2，并且把 a1，a2，c1，c2，如图所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到 a1c2+a2c1，如果 a1c2+a2c1的值正好等于 ax2+bx+c 的一次项系数 b，那么 ax2+bx+c就可以分解为（a1x+c1）（a2x+c2），其中 a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”例如，将式子 x2x6 分解因式的具

13、体步骤为：首先把二次项的系数 1 分解为两个因数的积，即 111，把常数项6 也分解为两个因数的积，即62（3）；然后把 1，1，2，3 按图所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到 1（3）+121，恰好等于一次项的系数1，于是 x2x6 就可以分解为（x+2）（x3）请同学们认真观察和思考，尝试在图的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x6 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2x2+5x7 ；（2）6x27xy+2y2 【探究与拓展】对于形如 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 的关于 x，y 的二元二次多项式也

14、可以用“十字相乘法”来分解，如图，将 a 分解成 mn 乘积作为一列，c 分解成 pq 乘积作为第二列，f 分解成 jk 乘积作为第三列，如果 mq+npb，pk+qje，mk+njd，即第 1，2 列、第 2，3 列和第 1，3 列都满足十字相乘规则，则原式（mx+py+j）（nx+qy+k），请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式 3x2+5xy2y2+x+9y4 （2）若关于 x，y 的二元二次式 x2+7xy18y25x+my24 可以分解成两个一次因式的积，求 m 的值（3）已知 x，y 为整数，且满足 x2+3xy+2y2+2x+3y1，请写出一组符合题意的 x，y

15、 的值 【考点 5 用整体思想进行因式分解】【例 45】（2021 秋濮阳期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成整体，设 x+ym，则原式m2+2m+1（m+1）2 再将 x+ym 代入，得原式（x+y+1）2 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法请你完成下列各题：（1）因式分解：12（xy）+（xy）2；（2）因式分解：25（a+2）210（a+2）+1；（3）因式分解：（y26y）（y26y+18）+81 【变式 5-1】（2021 秋开封期末）阅读下列材料：材料 1：将一个形如 x2+

16、px+q 的二次三项式分解因式时，如果能满足 qmn，且 pm+n，则可以把 x2+px+q 分解因式成（x+m）（x+n）例如：x2+5x+6（x+2）（x+3）；x25x6（x6）（x+1）材料 2：因式分解：4（x+y）2+4（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令 x+ym，则原式4m2+4m+1（2m+1）2 再将“m”还原，得原式（2x+2y+1）2 上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题（1）根据材料 1，分解因式：x27x+12（2）结合材料 1 和材料 2，完成下面小题：分解因式：（xy）2+4（xy）+3；分解因式：x（x+

17、2）（x2+2x2）3 【变式 5-2】（2021 春南山区校级期中）先阅读材料：分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1 解：令 a+bM，则（a+b）2+2（a+b）+1M2+2M+1（M+1）2，所以（a+b）2+2（a+b）+1（a+b+1）2 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：（1）分解因式：（x+y）22（x+y）+1 （2）分解因式：（m+n）（m+n4）+4；（3）证明：若 n 为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1 的值一定是某个整数的平方 【变式 5-3】（2021 春驿城区校级月

18、考）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+2x+3）（x2+2x1）+4 进行因式分解的过程 解：设 x2+2xy 原式（y+3）（y1）+4（第一步）y2+2y+1（第二步）（y+1）2（第三步）（x2+2x+1）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；A提取公因式法 B平方差公式法 C差的完全平方公式 D和的完全平方公式

19、（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（9x26x+3）（9x26x1）+4 进行因式分解 【考点 6 用拆项法进行因式分解】【例 6】（2021 秋隆昌市校级月考）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题 例如：分解因式 x34x2+x+6步骤：解：原式x33x2x2+x+6 第 1 步：拆项法，将4x2拆成3x2和x2；（x33x2）（x2x6）第 2 步：分组分解法，通过添括号进行分组；x2（x3）（x+2）（x3）第

20、 3 步：提公因式法和十字相乘法（局部）；（x3）（x2x2）第 4 步：提公因式法（整体）；（x3）（x2）（x+1）第 5 步：十字相乘法：最后结果分解彻底（1）请你试一试分解因式 x37x+6（2）请你试一试在实数范围内分解因式 x45x2+6 【变式 6-1】（2021 春南京月考）在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项 先阅读，再分解因式：x4+4（x4+4x2+4）4x2（x2+2）2（2x）2（x22x+2）（x2+2x+2）（1）按照这种方法把多项式 x4+

21、4y4分解因式；（2）分解因式：a4+a2b2+b4 【变式 6-2】（2020 秋沂南县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法 如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y21 分组分解法：解：原式（ax+bx）+（ay+by）x（a+b）+y（a+b）（a+b）（x+y）解：原式（x+y）21（x+y+1）（x+y1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法 如：x2+2x

22、3 解：原式x2+2x+14（x+1）222（x+1+2）（x+12）（x+3）（x1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2b2+ab；（2）分解因式：x26x7 【变式 6-3】（2020 秋微山县月考）【阅读材料】对于二次三项式 a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式 a2+2ab8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式 a2+2ab8b2中先加上一项 b2，使其成为完全平方式，再减去 b2这项，（这里也可把8b2拆成+b2与9b2的和），使整个式子的值不变于是有：a2+2ab8b2a2+2ab8b2+b2b2（a2+2ab+b2

23、）8b2b2（a+b）29b2（a+b）+3b（a+b）3b（a+4b）（a2b）我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法【应用材料】（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：m2+6m+8；a4+10a2b2+9b4 【考点 7 由因式分解求值】【例 7】（2021 秋铁西区期中）若 c2a22abb210，a+b+c5，则 a+bc 的值是（）A2 B5 C20 D9【变式 7-1】（2021 秋思明区校级期中）已知 m22n，n2m+2（m+n0），则 m3+2mnn3（）A0

24、B1 C2 D2【变式 7-2】（2021 秋东兴区校级期中）若 ax+19，bx+20，cx+21，则 a2+b2+c2abbcac 【变式 7-3】（2021 秋源汇区校级期中）若实数 x 满足 x22x10，则 2x32x26x+2020 【考点 8 因式分解的应用】【例 8】（2021 秋松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成 9 块，其中 2 块是边长为 a 的小正方形，5 块是长为 b，宽为 a 的小长方形，2 块是边长为 b 的大正方形（1）观察图形，可以发现代数式 2a2+5ab+2b2可以分解因式为 ；（2）若这块长方形纸板的面积为 177，每块长为 b，宽为

25、a 的小长方形的面积是 15 则图中 1 块边长为 a 的小正方形和 1 块边长为 b 的大正方形的面积之和为 ；试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和 【变式 8-1】（2021 秋朝阳区校级期末）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块，其中有 2 块是边长为a 厘米的大正方形，2 块是边长都为 b 厘米的小正方形，5 块是长为 a 厘米，宽为 b 厘米的相同的小长方形，且 ab（1）观察图形，可以发现代数式 2a2+5ab+2b2可以因式分解为 （2）若图中阴影部分的面积为 20 平方厘米，大长方形纸板的周长为 24 厘米，求图中空白部分的面积 【变式 8-2】（2021 春镇江期

26、中）【活动材料】若干个如图 1 所示的长方形和正方形硬纸片【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式 例如，由图 2，我们可以得到 a2+3ab+2b2（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）a2+3ab+2b2【问题解决】（1）选取正方形、长方形硬纸片共 8 块，拼出如图 3 的长方形，直接写出相应的 ；（2）尝试借助拼图的方法，把二次三项式 2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的图形画在图 4 的虚线方框内；（3）将 2b23ab+a2分解因式：（直接写出结果，不需要画图）【变式 8-3】（2021 春沭阳县期中）如图，正方形纸片 A 类，B 类和长方形纸片 C 类若干张，（1）请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形，画出拼好后的图形；观察拼图共用 张 A 类纸片，张 B 类纸片，张 C 类纸片 通过面积计算可以发现（a+2b）（a+b）（2）请你用这三类卡片拼出面积为 3a2+4ab+b2的长方形，画出拼好后的图形 观察拼图共用 张 A 类纸片，张 B 类纸片，张 C 类纸片通过面积计算可以发现 3a2+4ab+b2 利用拼图，把下列多项式因式分解 a2+3ab+2b2 ；3a2+5ab+2b2