中考数学压轴题提升训练：击破类比、探究类综合题利器之全等知识.pdf

《中考数学压轴题提升训练：击破类比、探究类综合题利器之全等知识.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学压轴题提升训练：击破类比、探究类综合题利器之全等知识.pdf（29页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题 12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识 模型一、A 字形（手拉手）及其旋转 模型二、K 字型及其旋转 【例 1】.在菱形 ABCD 中，ABC=60，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化（1）探索发现 如图 1，当点 E 在菱形 ABCD 内部或边上时，连接 CE填空：BP 与 CE 的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是 （2）归纳证明 当点 E 在菱形 ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用 如图 4

2、，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE，若 AB=2 3，BE=2 19，请直接写出四边形 ADPE 的面积 图 1 图 2 ABCDEABCDEABCDEADCEBDCEBAADCEB 图 3 图 4【答案】（1）BP=CE，CEAD；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）连接 AC，延长 CE 至 AD，四边形 ABCD 是菱形，ABC=60，BAD=120，BAC=60，CAD=60，ABC 是等边三角形，AB=AC，APE 是等边三角形，AP=AE，PAE=60，BAP=CAE，BAPCAE，BP=CE，ABC=60，ABP=30，BAPCAE，ABP=ACE=30，CAD

3、=60，ACE+CAD=90，即 CDAD.（2）结论仍然成立，理由如下：（以图 2 为例）连接 AC，设 CE 与 AD 交于点 H，四边形 ABCD 是菱形，ABC=60，ABC 和ACD 是等边三角形，ABD=CBD=30，AB=AC，BAC=60，APE 是等边三角形，AP=AE，PAE=60，BAP=CAE，BAPCAE，BP=CE，ACE=ABP=30，CAH=60，AHC=90，即 CEAD；（3）连接 AC 交 BD 于 O，连接 CE，由（2）知，CEBC，AB=2 3，BE=2 19，在 RtBCF 中，由勾股定理得：CE=8，由BAPCAE，得：BP=CE，BD=6，DP

4、=BPBD=2，AO=3，在 RtAOP 中，由勾股定理得：AP=2 7，S=SADP+SAPE=213232 724 =83.【变式 1-1】.在ABC 中，ABC 为锐角，点 M 为射线 AB 上一动点，连接 CM，以点 C 为直角顶点，以 CM 为直角边在 CM 右侧作等腰直角三角形 CMN，连接 NB（1）如图 1，图 2，若ABC 为等腰直角三角形，问题初现：当点 M 为线段 AB 上不与点 A 重合的一个动点，则线段 BN，AM 之间的位置关系是_，数量关系是_；深入探究:当点 M 在线段 AB 的延长线上时，判断线段 BN，AM 之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（

5、2）如图 3，ACB90，若当点 M 为线段 AB 上不与点 A 重合的一个动点，MPCM 交线段 BN 于点 P，且CBA=45，BC=4 2，当 BM=_时，BP 的最大值为_ 图 1 图 2 图 3【答案】（1）BNAM，BN=AM；（2）见解析，（3）2，1.【解析】解：（1）由 AC=BC，ACM=BCN，CM=CN，可证ACMBCN，BN=AM，A=CBN=45，ABN=90，即 BNAM.（2）BNAM，BN=AM；理由如下：图1CBAMNABC图2图3CBAMNP ABC 是等腰直角三角形，AC=BC，A=ABC=45，ACB=90，同理，NCM=90，NC=MC,ACM=BC

6、N，ACMBCN，BN=AM，A=CBN=45，ABN=90，即 BNAM.(3)过 C 作 CGBC 交 BA 的延长线于 G，过 C 作 CHAB 于 H，如图所示，易证GCMBCN，由（2）知，BNAB，CHMMBP，CHHMBMBP,即44BMBMBP,设 BM=x，则 BP=21214x，当 BM=2 时，BP 取最小值，最小值为 1.【例 2】.在正方形 ABCD 中，动点 E、F 分别从 D、C 两点出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移动.（1）如图 1，当点 E 在边 CD 上自 D 向 C 移动，同时点 F 在边 CB 上自 C 向 B 移动时，连接 AE 和DF 交于

7、点 P，请你写出 AE 与 DF 的数量关系和位置关系，并说明理由；ABCMNGBCMNPAH（2）如图 2，当 E，F 分别在边 CD，BC 的延长线上移动时，连接 AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接 AC，请你直接写出ACE 为等腰三角形时 CE：CD 的值；（3）如图 3，当 E，F 分别在直线 DC，CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E，F 的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P 运动路径的草图若 AD=2，试求出线段 CP 的最大值 【答案】见解析.【解析】解：（1）AE=DF，AEDF，理由如下：四边形

8、 ABCD 是正方形，AD=DC，ADE=DCF=90，由题意知：DE=CF，ADEDCF，AE=DF，DAE=FDC，ADE=90，ADP+CDF=90，ADP+DAE=90，APD=18090=90，AEDF；（2）（1）中的结论还成立，CE：CD=2或 2，理由如下：如图，当 AC=CE 时，设正方形 ABCD 的边长为 a，由勾股定理得：AC=CE=2a，则 CE：CD=2a：a=2；如图，当 AE=AC 时，设正方形 ABCD 的边长为 a，由勾股定理得：AC=AE=2a，四边形 ABCD 是正方形，ADC=90，即 ADCE，DE=CD=a，CE：CD=2a：a=2；故，CE：CD

9、=2或 2；（3）点 P 在运动中APD=90，点 P 的路径是以 AD 为直径的圆，如图，设 AD 的中点为 Q，连接 CQ 并延长交圆 Q 于点 P，此时 CP 的长度最大，在 RtQDC 中，由勾股定理得：QC=5，CP=QC+QP=5+1，即线段 CP 的最大值是5+1【变式 2-1】.如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点，且 CE=BF连接 DE，过点 E 作 EGDE，使 EG=DE，连接 FG，FC（1）请判断：FG 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）

10、中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断 图 1 图 2 图 3【答案】（1）FG=CE，FGCE；（2）（3）见解析【解析】解：（1）FG=CE，FGCE；BF=CE，BC=CD，FBC=DCE=90，BCFCDE，DEC=CFB，CFB+FCB=90，DEC+FCB=90，即 CFDE，DEEG，EGCF，EG=DE=CF，四边形 FCEG 是平行四边形，FG=CE，FGCE；（2）BF=CE，BC=CD，FBC=DCE=90，BCFCDE，DEC=CFB，CF=D

11、E，CFB+FCB=90，DEC+FCB=90，即 CFDE，DEEG，EGCF，EG=DE=CF，四边形 FCEG 是平行四边形，FG=CE，FGCE；（3）成立 由上可证：CBFDCE，得：BCF=CDE，CF=DE，EG=DE，CF=EG，DEEG DEC+CEG=90 CDE+DEC=90 CDE=CEG，BCF=CEG，CFEG，四边形 CEGF 平行四边形，FGCE，FG=CE 1.我们定义：如图 1，在ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转（0180）得到 AB，把 AC 绕点 A逆时针旋转 得到 AC，连接 BC，当+=180时，我们称ABC是ABC 的“旋补三角形”，AB

12、C边 BC上的中线 AD 是ABC 的旋补中线，点 A 叫旋补中心.特例感知：（1）在图 2，图 3 中，ABC是ABC 的“旋补三角形”，ABC边 BC上的中线 AD 是ABC 的旋补中线，如图 2，当ABC 是等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系是 如图 3，当BAC=90，BC=8 时，则 AD 的长为 猜想论证：（2）如图 1，当ABC 是任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明.【分析】（1）由ABC 是等边三角形，得 AB=BC=AC=AB=AC，BAC=60，BAC+BAC=180，得B=C=30，即 BC=2AD；可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的

13、一半”，证得：BC=2AD，AD=4；（2）BC=2AD，利用倍长中线构造全等三角形，延长 AD 至 M 使 DM=AD，连接 BM，CM，证得ABCBAM，得 BC=AM，BC=2AD.【解析】解：（1）ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=AB=AC，BAC=60，DB=DC，ADBC，BAC+BAC=180，BAC=120，B=C=30，BC=2AD，即：答案为 BC=2AD.BAC=90，BAC+BAC=180，BAC=BAC=90 AB=AB，AC=AC，BACBAC，BC=BC，BD=DC，BC=2AD，BC=8，AD=4；（2）结论：BC=2AD，理由如下：如图，延长长 AD

14、至 M 使 DM=AD，连接 BM，CM，AD=DM，BD=DC，四边形 ACMB是平行四边形，AC=BM=AC，BAC+BAC=180，ABM+BAC=180，BAC=ABM，AB=AB，BACABM，BC=AM，即 BC=2AD.2.已知如图 1 所示，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，点 D 在 AB 上，DEAB 交 BC 于 E，点 F 是AE 的中点，（1）写出线段 FD 与线段 FC 的关系并证明；（2）如图 2 所示，将BDE 绕点 B 逆时针旋转（090），其它条件不变，线段 FD 与线段 FC 的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将BDE 绕点 B 逆时针旋转一周，

15、如果 BC=4，BE=22，直接写出线段 BF 的范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）FD=FC，FDFC，理由如下：由题意知：ADE=ACE=90，AF=EF，DF=AF=EF=CF，FAD=FDA，FAC=FCA，DFE=FDA+FAD=2FAD，EFC=2FAC，CA=CB，ACB=90，BAC=B=45，DFC=EFD+EFC=2（FAD+FAC）=90，FD=FC，FDFC.（2）结论不变，理由如下：延长 AC 至 M 使得 CM=AC，延长 ED 至 N，使 DN=DE，连接 BN、BM、EM、AN，延长 ME 交 AN 于H，交 AB 于 O，如图所示，BCAM，AC=CM，

16、AB=BM，同理得：BE=BN，ABM=EBN，NBA=EBM，ABNMBE，AN=EM，BAN=BME，AF=FE，AC=CM，CF=12EM，CFEM，同理，FD=12AN，FDAN，FD=FC，BME+BOM=90，BOM=AOH，BAN+AOH=90，AHO=90，即 ANMH，FDFC.（3）由题意知，当点 E 落在线段 AB 上时，BF 的长最大，如图所示，此时 BF=32，当点 E 落在 AB 的延长线上时，BF 的长最小，如图所示，此时，BF=2，2BF32.3.特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90作 CM 平分ACB 交 AB 于点 M，点 D 为

17、射线 CM 上一点，以点 C 为旋转中心将线段 CD 逆时针旋转 90得到线段 CE，连接 DE 交射线 CB 于点 F，连接 BD，BE 填空：线段 BD，BE 的数量关系为 ；线段 BC，DE 的位置关系为 一般：（2）如图 2，在等腰三角形 ABC 中，ACB=，作 CM 平分ACB 交 AB 于点 M，点 D 为 ABC 外部射线 CM 上一点，以点 C 为旋转中心将线段 CD 逆时针旋转 度得到线段 CE，连接 DE，BD，BE请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由 特殊：（3）如图 3，在等边三角形 ABC 中，作 BM 平分ABC 交 AC 于点 M，点 D 为射线 BM 上一

18、点，以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60得到线段 BE，连接 DE 交射线 BA 于点 F，连接 AD，AE若 AB=4，当 ADM 与 AFD 全等时，请直接写出 DE 的值 图 1 图 2 图 3【答案】（1）BD=BE，BCDE；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）由题意知：ACM=BCM=45，由旋转知，DCE=90，CD=CE，ECB=DCB=45，BC=BC，BCDBCE，BD=BE，CD=CE，BC 是线段 DE 的垂直平分线，BCDE，（2）成立，理由如下，CM 平分ACB，ACB=，ACM=BCM=2，由旋转知，DCE=，CD=CE，BCD=BCE=2 又BC

19、=BC，BCDBCE，BD=BE，CD=CE，BC 是线段 DE 的垂直平分线，BCDE.（3）如图 3，可证得：ABE=ABD=30，ABDE，由ADMADF，得：FAD=MAD=30，AF=BF=2，DE=2DF，在 RtADF 中，DF=AFtanDAF=2 33，即 DE=4 33.如下图所示，同理，得FBD=30，AB=AD=4，ADF=ADM=30，DE=2DF=43，综上所述，DE 的长为：4 33，43.4.观察猜想（1）如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC3，点 D 与点 A 重合，点 E 在边 BC 上，连接DE，将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段

20、DF，连接 BF，BE 与 BF 的位置关系是 ，BE+BF ；探究证明（2）在（1）中，如果将点 D 沿 AB 方向移动，使 AD1，其余条件不变，如图，判断 BE 与 BF 的位置关系，并求 BE+BF 的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图，在ABC 中，ABAC，BACa，点 D 在边 BA 的延长线上，BDn，连接 DE，将线ABCDEFM段 DE 绕着点 D 顺时针旋转，旋转角EDFa，连接 BF，则 BE+BF 的值是多少？请用含有 n，a 的式子直接写出结论 图 1 图 2 图 3【答案】（1）BFBE；BC；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）EAFBAC90，

21、EAFBAEBACBAE,BAFCAE，AFAE，ABAC，BAFCAE，ABFC，BFCE，ABAC，BAC90，ABCC45，FBEABF+ABC90，BCBE+ECBE+BF，故答案为:BFBE，BC（2）过 D 作 DHAC 交 BC 于 H，DHAC，BDHA90，DBH 是等腰直角三角形，由（1）可证得：BFBE，BF+BEBH，ABAC3，AD1，BDDH2，BH22，BF+BEBH22；（3）过 D 作 DHAC 交 BC 的延长线于 H，作 DMBC 于 M ACDH，ACHH，BDHBAC，ABAC，ABCACB DBHH，DBDH，EDFBDH，BDFHDE，DFDE，D

22、BDH，BDFHDE，BFEH，BF+BEEH+BEBH，DBDH，DMBH，BMMH，BDMHDM，BMMHBDsin2 BF+BEBH2nsin2 5.在ABC 中，ACBC，ACB，点 D 为直线 BC 上一动点，过点 D 作 DFAC 交 AB 于点 F，将AD 绕点 D 顺时针旋转 得到 ED，连接 BE（1）特例猜想 如图 1，当 90时，试猜想：AF 与 BE 的数量关系是 ；ABE ；（2）拓展探究 如图（2），当 090时，请判断 AF 与 BE 的数量关系及ABE 的度数，并说明理由（3）解决问题 如图（3），在ABC 中，ACBC，AB8，ACB，点 D 在射线 BC 上

23、，将 AD 绕点 D 顺时针旋转 得到 ED，连接 BE，当 BD3CD 时，请直接写出 BE 的长度 图 1 图 2 图 3【答案】（1）AFBF，90；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）设 AB 交 DE 于 O ACB90，ACBC，ABC45，DFAC，FDBC90，DFBDBF45，DFDB，ADEFDB90，ADFEDB，DADE，ADFEDB，AFBE，DAFE，AODEOB，ABEADO90，所以答案为 AFBF，90（2）结论：AFBE，ABE理由如下：DFAC ACBFDB，CABDFB，ACBC，ABCCAB，ABCDFB，DBDF，ADFADEFDE，EDBFDBF

24、DE，即ADFEDB，ADDE，ADFEDB，AFBE，AFDEBD AFDABC+FDB，DBEABD+ABE，ABEFDB（3）分两种情况讨论：当点 D 在线段 BC 上时，由（2）可知：BEAF，DFAC，14AFCDBABC，AB8，AF2，BEAF2，当点 D 在 BC 的延长线上时，ACDF，12AFCDBABC，AB8，AF4，即 BE=4，综上所述，BE 的长度为 2 或 4 6.问题发现 如图 1，ABC 是等边三角形，点 D 是边 AD 上的一点，过点 D 作 DEAC 交 AC 于 E，则线段 BD 与CE 有何数量关系？拓展探究 如图 2，将ADE 绕点 A 逆时针旋转

25、角（0360），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明 问题解决 如果ABC 的边长等于 23，AD2，直接写出当ADE 旋转到 DE 与 AC 所在的直线垂直时 BD 的长 图 1 图 2 备用图【答案】见解析【解析】解：（1）如图 1，BDCE，理由是：ABC 是等边三角形，ABAC，DEBC，ADE 是等边三角形，即 AD=AE，BDCE；（2）结论仍然成立，由图 1 得：ADAE，由旋转性质得：BADCAE，AB=AC，BADCAE，BDCE；（3）分两种情况讨论，如图所示，过 D 作 DGAB，垂足为 G，AFDE，AD=AE，DAFEAF30，BAD30，由

26、AD2，得：DG1，AG3，由 AB23，得：BG3，由勾股定理得：BD2 如图，由（2）中证明可知：BADCAE，BDCE，ADAE，DEAC，ADE60 EAFFAD30，EFFD12AD1，AF3，CFAC+CF33，在 RtEFC 中，由勾股定理得：EC27，BDEC27，综上所述，BD 的长为 2 或 27 7.（1）问题发现：如图 1，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 是 BC 的中点，若 AE 是BAD 的平分线，则 AB，AD，DC 之间的数量关系为 （2）问题探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 是 BC 的中点，点 F 是 DC 的延长线上一点，若 AE

27、 是BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图 3，ABCD，点 E 在线段 BC 上，且 BE：EC3：4点 F 在线段 AE 上，且EFDEAB，直接写出 AB，DF，CD 之间的数量关系 图 1 图 2 图 3【答案】（1）ADAB+CD；（2）（3）见解析【解析】解：（1）结论：ADAB+CD 理由：ABCF，CFEEAB，CEEB，CEFAEB，CEFBEA，ABCF AF 平分DAB，DAFEAB，EABCFE，DAFDFA，ADDF，DFDC+CFCD+AB，ADAB+CD（2）结论：ABAF+CF 理由：延长 AE、DC 交于

28、 G，ABDG，GEAB，CEEB，CEGBEA，CEGBEA，ABCG，GEAB，AE 平分FAB，FAGEAB，GEAB，FAGG，FAFG，CGCF+FGCF+AF，ABAF+CF（3）结论：AB34（CD+DF）延长 AE、CD 交于 G CGAB，34BEABCECG，GA，AB34CG，DFEA，DFGG，DFDG，CD+DFCD+DGCG，AB34（CD+DF）8.如图 1，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 DC，BE，点 P 为 DC 的中点，（1）【观察猜想】图 1 中，线段 AP 与 BE 的数量关系是 ，位置关

29、系是 （2）【探究证明】把ADE 绕点 A 逆时针旋转到图 2 的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出线段 AP 长度的最大值和最小值 图 1 图 2【答案】（1）AP12BE，PABE；（2）（3）见解析【解析】解：（1）设 PA 交 BE 于点 O ADAE，ACAB，DACEAB，DACEAB，BECD，ACDABE，DAC90，DPPC，PA12CDPCPD，PA12BE，CPAE，CAP+BAO90，ABO+BAO90，AOB90，PABE，（2）结论成立 理由：延长 A

30、P 至 M，使 PMPA，连接 MC，延长 PA 交 BE 于 O PAPM，PDPC，APDCPM，APDMPC，ADCM，ADPMCP，ADCM，DAC+ACM180，BACEAD90，EABACM，ABAC，AECM，EABMCA，BEBM，CAMABE，PA12AM，PA12BE，CAM+BAO90，ABE+BAO90，AOB90，PABE（3）AC10，CM4，104AM10+4，6AM14，AM2AP，3PA7 PA 的最大值为 7，最小值为 3 9.如图 1，在ABC 与ADE 中，AB=AC，AD=AE，A 是公共角.（1）BD 与 CE 的数量关系是：；（2）把图 1 的AB

31、C 绕点 A 旋转一定的角度，得到如图 2 所示的图形.求证：BDCE；BD 与 CE 所在直线的夹角与DAE 的数量关系是什么？说明理由.（3）若 AD=10，AB=6，把图 1 中的ABC 绕点 A 顺时针旋转 度(0360)直接写出 BD 长度的取值范围.图 1 图 2【答案】（1）=；（2）（3）见解析.【解析】解：AD=AE，AB=BC，ADAB=AEAC，即 BD=CE；（2）DAE=BAC，DAE+BAE=BAC+BAE.即BAD=CAE.在ABD 和ACE 中，ABACBADCAEADAE ABDACE（SAS）BD=CE.BD 与 CE 所在直线的夹角与DAE 的度数相等.延

32、长 DB 交 CE 于点 F.ABDACE，ADB=AEC AOD=EOF，180-ADB-AOD=180-AEC-EOF，即DAE=DFE 当 B 在线段 AD 上时，BD 最小，最小值为 106=4；当 B 在线段 DA 延长线上时，BD 最大，最大值为 10+6=16，即 4BD16.10.【问题探索】（1）如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC，点 D，E 分别在 AC、BC 边上，DC=CE，连接 DE、AE、BD，点 M、N、P 分别是 AE、BD、AB 的中点，连接 PM、PN、MN.探索 BE 与MN 的数量关系.聪明的小华推理发现 PM、PN 的关系为 ，最后

33、推理得到 BE 与 MN 的数量关系为 .【深入探究】（2）将DEC 绕点 C 逆时针旋转到如图 2 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；OFBDAEC【答案】见解析.【解析】解：（1）PM=PN，PMPM；BE=2MN；AM=ME，AP=PB，PMBE，PM=12BE，同理：PNAD，PN=12AD，AC=BC，CD=CE，AD=BE，PM=PN，ACB=90，ACBC，PMBC，PNAC，PMPN，PMN 的等腰直角三角形，MN=2PM，MN=212BE，BE=2MN.（2）结论仍然成立 连接 AD、延长 BE 交 AD 于点 H ABC 和CDE 是等腰直角三角形，CD=CE，CA=CB，ACB=DCE=90，ACD=ECB，ECBDCA，BE=AD，DAC=EBC，AHB=180-（HAB+ABH）=180-（45+HAC+ABH）=180-（45+HBC+ABH）=90，BHAD，M、N、P 分别为 AE、BD、AB 的中点，PMBE，PM=12BE，PNAD，PN=12AD，PM=PN，MPN=90，BE=2PM=222MN=2MN