2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题(理科)解析版.pdf

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1、绝密启用前 本试卷分第卷和第卷两部分，共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答

2、的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B独立，那么P(AB)=P(A)P(B).第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）若复数 z 满足232i,zz 其中 i 为虚数单位，则 z=（）（A）1+2i （B）12i （C）1 2i （D）1 2i 【答案】B【解析】试题分析：设biaz，则ibiazz2332，故2,1ba，则iz21，选 B.考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师

3、点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.（2）设集合2|2,|10,xAy yxBx x R 则AB=（）（A）(1,1)（B）(0,1)（C）(1,)（D）(0,)【答案】C 考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.（3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位

4、：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5,25)，25，27.5)，27.5，30).根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（）（A）56 （B）60 （C）120 （D）140 【答案】D【解析】试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于 22.5 小时为后三组，有200(0.160.080.04)2.5140（人），选 D.考点：频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查

5、考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.（4）若变量 x，y 满足2,239,0,xyxyx则22xy的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12 【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,22xy表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC,故选 C.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图

6、、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A）1233 （B）1233 （C）1236 （D）216【答案】C 考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.（6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面，内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的（）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【

7、解析】试题分析：“直线a和直线b相交”“平面和平面相交”，但“平面和平面相交”“直线a和直线b相交”，所以“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件，故选 A 考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.（7）函数 f（x）=（3sin x+cos x）（3cos x sin x）的最小正周期是（）（A）2 （B）（C）23 （D）2【答案】B【解析】试题分析：2sin2cos

8、2sin 2663fxxxx,故最小正周期22T,故选 B.考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.（8）已知非零向量 m，n 满足 4m=3n，cos=13.若 n（tm+n），则实数 t 的值为（）（A）4 （B）4 （C）94 （D）94【答案】B【解析】试题分析：由43mn，可设3,4(0)mk nk k，又()ntmn，所以

9、 22221()cos,34(4)41603ntmnn tmn nt mnm nntkkktkk 所以4t ，故选 B.考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()ntmn出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.（9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，3()1f xx；当11x 时，()()fxf x；当12x 时，11()()22f xf x.则 f(6)=（）（A）2 （B）1 （C）0 （D）2【答案】D【解析】试题分析：当12x 时，11()()22f xf

10、 x,所以当12x 时，函数()f x是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)ff，又函数()f x是奇函数，所以 3(1)(1)112ff ，故选 D.考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.（10）若函数()yf x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()yf x具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（）（A）siny

11、x （B）lnyx （C）exy （D）3yx【答案】A 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.第卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.（11）执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和

12、9，则输出的 i 的值为_.【答案】3【解析】试题分析：第一次循环：a1,b8；第二次循环：a3,b6；第三次循环：a6,b3；满足条件，结束循环，此时，i3.考点：循环结构的程序框图【名师点睛】自新课标学习算法以来，程序框图成为常见考点，一般说来难度不大，易于得分.题目以程序运行结果为填空内容，考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握，本题能较好的考查考生应用知识分析问题解决问题的能力等.（12）若（ax2+1x）5的展开式中 x5的系数是80，则实数 a=_.【答案】-2【解析】试题分析：因为51025521551()()rrrrrrrTCaxC axx，所以由510522rr，因此25

13、25802.C aa 考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.（13）已知双曲线 E：22221xyab（a0，b0），若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_.【答案】2【解析】试题分析：假设点A在第一象限，点B在第二象限，则2bA(c,)a，2bB(c,)a，所以22b|AB|a，|BC|2c，由2 AB3 BC，222cab得离心率e2或1e2（舍去），所以 E 的离心率为 2.考点：

14、双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.（14）在 1,1上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆22(5)9xy相交”发生的概率为 .【答案】34 考点：1.直线与圆的位置关系；2.几何概型.【名师点睛】本题是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等

15、.（15）已知函数2|,()24,xxmf xxmxm xm 其中0m，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_.【答案】3,【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要 f xb有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30mmm mm mm，解得3m 考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想

16、、基本运算求解能力等.三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分.（16）（本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（）证明：a+b=2c;（）求 cosC 的最小值.【答案】（）见解析；（）12【解析】试题分析：（）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（）根据余弦定理公式表示出 cosC，由基本不等式求 cosC 的最小值.试题解析：由题意知sinsinsinsin2coscoscoscoscoscosABABABABAB，化简得2 sincossincossinsinABBAA

17、B，即2sinsinsinABAB.因为ABC,所以sinsinsinABCC.从而sinsin=2sinABC.由正弦定理得2abc.()由()知2abc,故 cosC的最小值为12.考点：1.和差倍半的三角函数；2.正弦定理、余弦定理；3.基本不等式.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.（17）（本小题满分 12 分）在如图所示的圆台中，AC 是下底

18、面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线.（I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；（II）已知 EF=FB=12AC=2 3，AB=BC.求二面角FBCA的余弦值.【答案】（）见解析；（）77【解析】试题分析：（）根据线线、面面平行可得与直线 GH 与平面 ABC 平行；（）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM为二面角FBCA的平面角直接求解.试题解析：（I）证明：设FC的中点为I,连接,GI HI,在CEF,因为G是CE的中点，所以,GIF/E

19、又,FE/OB所以,GI/OB 在CFB中，因为H是FB的中点，所以/HIBC，又HIGII,所以平面/GHI平面ABC，因为GH 平面GHI，所以/GH平面ABC.（II）解法一：连接OO,则OO 平面ABC，又,ABBC且AC是圆O的直径，所以.BOAC 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题意得(0,2 3,0)B，(2 3,0,0)C，过点F作FMOB垂直于点M，所以223,FMFBBM 可得(0,3,3)F 故(2 3,2 3,0),(0,3,3)BCBF.设(,)mx y z是平面BCF的一个法向量.由0,0m BCm BF 解法二：连接OO，过点F作FMOB于

20、点M，则有/FMOO,又OO 平面ABC，所以 FM平面 ABC,可得223,FMFBBM 过点M作MNBC垂直于点N，连接FN，考点：1.平行关系；2.异面直线所成角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等.（18）（本小题满分 12 分）已知数列 na 的前 n 项和 Sn=3n2+8n，nb是等差数

21、列，且1.nnnabb （）求数列 nb的通项公式；（）令1(1).(2)nnnnnacb 求数列 nc的前 n 项和 Tn.【答案】（）13 nbn；（）223nnnT.【解析】试题分析：（）根据1nnnSSa及等差数列的通项公式求解；（）根据（）知数列 nc的通项公式，再用错位相减法求其前n项和.试题解析：（）由题意知当2n时，561nSSannn，当1n时，1111 Sa，所以56 nan.设数列 nb的公差为d，由322211bbabba，即dbdb321721111，可解得3,41db，所以13 nbn.（）由（）知11(66)3(1)2(33)nnnnncnn，又nnccccT 3

22、21，得23413 223 24 2(1)2nnTn ，345223 223 24 2(1)2nnTn ，两式作差，得 234123 2 2222(1)2nnnTn 224(21)3 4(1)22 132nnnnn 所以223nnnT 考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能

23、较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.（19）（本小题满分 12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对 3 个成语的概率；（）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.【答案】（）23（）分布列见解析，236EX【解析】试题分析：（）找出“星队”至少猜对 3

24、个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（）由题意，随机变量X的可能取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到X的分布列，根据期望公式求解.试题解析：()记事件 A:“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”，记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件 D：“乙第二轮猜对”，记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语”.由题意，.EABCDABCDABCDABCDABCD 由事件的独立性与互斥性，P EP ABCDP ABCDP ABCDP ABCDP ABCD P A P B P C P DP A P B P C P DP A P B P C P

25、 DP A P B PP A P B P C P DC P D 323212323132=24343434343432.3 ,所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为23.()由题意，随机变量X的可能取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 1111104343144P X ,31111211105124343434314472P X,31313112123112122524343434343434343144P X ,32111132134343434312P X ,考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望.【名师点睛】本题主要考

26、查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.(20)(本小题满分 13 分)已知221()ln,Rxf xa xxax.（I）讨论()f x的单调性；（II）当1a 时，证明 3()2f xfx 对于任意的 1,2x成立.【答案】（）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）求()f x的导函数，对 a 进行分类讨论，求()f x的单调性；（）要证 3()2f xfx 对于任意的 1,2x成立

27、，即证23)()(/xfxf，根据单调性求解.试题解析：（）)(xf的定义域为),0(；3232/)1)(2(22)(xxaxxxxaaxf.当0a，)1,0(x时，0)(/xf，)(xf单调递增；/(1,),()0 xfx时，)(xf单调递减.当0a时，/3(1)22()()()a xfxxxxaa.（1）20 a，12a，当)1,0(x或x),2(a时，0)(/xf，)(xf单调递增；当x)2,1(a时，0)(/xf，)(xf单调递减；（2）2a时，12a，在x),0(内，0)(/xf，)(xf单调递增；（3）2a时，120a，当)2,0(ax或x),1(时，0)(/xf，)(xf单调递增

28、；当x)1,2(a时，0)(/xf，)(xf单调递减.综上所述，当0a时，函数)(xf在)1,0(内单调递增，在),1(内单调递减；当20 a时，)(xf在)1,0(内单调递增，在)2,1(a内单调递减，在),2(a 内单调递增；当2a时，)(xf在),0(内单调递增；当2a，)(xf在)2,0(a内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(内单调递增.（）由（）知，1a时，/22321122()()ln(1)xf xfxxxxxxx 23312ln1xxxxx，2,1 x，令1213)(,ln)(32xxxxhxxxg，2,1 x.则)()()()(/xhxgxfxf，由01)(/xxx

29、g可得1)1()(gxg，当且仅当1x时取得等号.又24326()xxh xx，设623)(2xxx，则)(x在x2,1 单调递减，考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.（21）（本小题满分 14 分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：222210 xyab

30、ab 的离心率是32，抛物线E：22xy的焦点F 是 C 的一个顶点.（I）求椭圆 C 的方程；（II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线l与 C 交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.（i）求证：点 M 在定直线上;（ii）直线l与 y 轴交于点 G，记PFG的面积为1S，PDM的面积为2S，求12SS 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.【答案】（）1422yx;（）（i）见解析；（ii）12SS的最大值为49，此时点P的坐标为)41,22(【解析】试题分析：（）根据椭圆的离心率和焦点求方程

31、；（）（i）由点 P 的坐标和斜率设出直线 l 的方程和抛物线联立，进而判断点 M 在定直线上；（ii）分别列出1S，2S面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点 P 的坐标.试题解析：（）由题意知2322aba，可得：ba2.因为抛物线E的焦点为)21,0(F，所以21,1ba，所以椭圆 C 的方程为1422yx.（）（i）设)0)(2,(2mmmP，由yx22可得xy/，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为)(22mxmmy，即22mmxy.设),(),(),(002211yxDyxByxA，联立方程222241mymxxy 得014)14(4322mxmxm，由0，得520 m且14

32、42321mmxx，因此142223210mmxxx,将其代入22mmxy得)14(2220mmy，因为mxy4100，所以直线OD方程为xmy41.所以)1(41|2121mmmGFS，)14(8)12(|2122202mmmxmPMS，所以222221)12()1)(14(2mmmSS，令122 mt，则211)1)(12(2221tttttSS，当211t，即2t时，21SS取得最大值49，此时22m，满足0，所以点P的坐标为)41,22(，因此12SS的最大值为49，此时点P的坐标为)41,22(.考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.二次函数的图象和性质.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,a b c e的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法-如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.