2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(重庆卷)(含答案全解析).pdf

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1、.2015 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆理科数学 数学试题卷(理工农医类)共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.特别提醒:14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.一、

2、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015 重庆,理 1)已知集合A=1,2,3,B=2,3,则()A.A=B B.AB=C.AB D.BA 答案:D 解析:因为A=1,2,3,B=2,3,所以BA.2.(2015 重庆,理 2)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1 B.0 C.1 D.6 答案:B 解析:因为an是等差数列,所以 2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=22-4=0.3.(2015 重庆,理 3)重庆市 2013 年各月的平均气温()数据的茎叶图如下:则这组数据的

3、中位数是()A.19 B.20 C.21.5 D.23 答案:B 解析:由茎叶图可知,这组数据的中位数为=20.4.(2015 重庆,理 4)“x1”是“lo(x+2)0”的()A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:由 lo(x+2)1,即x-1,而x|x1x|x-1,所以“x1”是“lo(x+2)0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1

4、,+)C.(-,0)(0,)D.(-,-)(,+)答案:A 解析:设双曲线半焦距为c,则F(c,0),A(a,0),不妨设点B在点F的上方,点C在点F的下方,则B,C.由于kAC=,且ACBD,则kBD=-,于是直线BD的方程为y-=-(x-c),由双曲线的对称性知AC的垂线BD与AB的垂线CD关于x轴对称,所以两垂线的交点D在x轴上,于是xD=+c=+c,从而D到直线BC的距离为c-xD=-,由已知得-a+,即-a+c,所以b4a2(c-a)(c+a),即b4a2b2,1,从而 0 0,-1 时,f(x)=|x+1|+2|x-a|=所以f(x)在(-,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,

5、则f(x)在x=a处取最小值f(a)=a+1,由a+1=5,得a=4,符合a-1.综上,实数a的值为-6 或 4.三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 13 分,(1)小问 5 分,(2)小问 8 分)(2015 重庆,理 17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取 3 个.(1)求三种粽子各取到 1 个的概率;.(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解:(1)令A表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由

6、古典概型的概率计算公式有 P(A)=.(2)X的所有可能值为 0,1,2,且 P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.综上知,X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)=0+1+2=(个).18.(本小题满分 13 分,(1)小问 7 分,(2)小问 6 分)(2015 重庆,理 18)已知函数f(x)=sinsin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在上的单调性.解:(1)f(x)=sinsin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为,最大值为.(2)当x时

7、,02x-,从而 当 02x-,即 x时,f(x)单调递增,当 2x-,即x时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.19.(本小题满分 13 分,(1)小问 4 分,(2)小问 9 分)(2015 重庆,理 19)如图,三棱锥P-ABC中,PC平面ABC,PC=3,ACB=.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=2.(1)证明:DE平面PCD;(2)求二面角A-PD-C的余弦值.(1)证明:由PC平面ABC,DE平面ABC,故PCDE.由CE=2,CD=DE=得CDE为等腰直角三角形,故CDDE.由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内两条相

8、交直线,故DE平面PCD.(2)解:由(1)知,CDE为等腰直角三角形,DCE=.如图,过D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.由ACB=得DFAC,=,故AC=DF=.以C为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,0,3),A,E(0,2,0),D(1,1,0),=(1,-1,0),=(-1,-1,3),=.设平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1=0,n1=0,得故可取n1=(2,1,1).由(1)可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为,即n2=(1,-1,0).从而

9、法向量n1,n2的夹角的余弦值为 cos=,故所求二面角A-PD-C的余弦值为.20.(本小题满分 12 分,(1)小问 7 分,(2)小问 5 分)(2015 重庆,理 20)设函数f(x)=(aR).(1)若f(x)在x=0 处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在3,+)上为减函数,求a的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f(x)=.因为f(x)在x=0 处取得极值,所以f(0)=0,即a=0.当a=0 时,f(x)=,f(x)=,故f(1)=,f(1)=,从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-=(x-1),化简得 3

10、x-ey=0.(2)由(1)知f(x)=.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0 解得x1=,x2=.当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1x0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQPF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解:(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此 2c=|F1F2|

11、=2,即c=,从而b=1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)解法一:如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1PF2,则+=1,+=c2,求得x0=,y0=.由|PF1|=|PQ|PF2|得x00,.从而|PF1|2=+=2(a2-b2)+2a=(a+)2.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,解得e=-.解法二:如解法

12、一中的图,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.由PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=-.22.(本小题满分 12 分,(1)小问 4 分,(2)小问 8 分)(2015 重庆,理 22)在数列an中,a1=3,an+1an+an+1+=0(nN+).(1)若=0,=-2,求数列an的通项公式;(2)若=(k0N+,k02),=-1,证明:2+0,归纳可得 3=a1a2anan+10.因为an+1=an-+,所以对n=1,2,k0求和得=a1+(a2-a1)+(-)=a1-k0+2+=2+.另一方面,由上已证的不等式知a1a22,得=a1-k0+2+=2+.综上,2+2+.